Trigonometrie

10 Apr 2023

• Sinová věta
• Kosinová věta
• Další trigonometrické věty

---

Oblast goniometrie, která je věnována užití goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících, bývá označována jako trigonometrie.

Sinová věta

Pro každý trojúhelník $ABC$, jehož vnitřní úhly mají velikosti $\alpha , \beta, \gamma$ a strany $a,b,c$ platí

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$

Slovy:
Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí protilehlých úhlů.
Sinovou větu používáme při řešení trojúhelníku, jsou-li dány

• délka jedné strany a velikosti dvou úhlů - vypočítáme délku strany;
• délky dvou stran a velikost úhlů proti jedné z nich - vypočítáme velikost úhlu.

Kosinová věta

Pro každý trojúhelník $ABC$, jehož strany mají délky $a,b,c$ a jehož vnitřní úhel proti stran+ $BC$ má velikost $\alpha$ platí

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha.$$

Kosinovou větu používáme pokud jsou zadané

• délky všech stran trojúhelníku (a chceme určit vnitřní úhly)
• délky dvou stran a úhel jimi sevřený

Další trigonometrické věty

Pro poloměr $r$ kružnice opsané trojúhelníku $ABC$ platí

$$r = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{c}{2 \sin \gamma}.$$

Pro obsah $S$ každého trojúhelníku $ABC$, jehož vnitřní úhly mají velikost $\alpha , \beta , \gamma$ platí

$$S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} bc \sin \alpha = \frac{1}{2} ac \sin \beta$$

---