2024-09-21T18:32:16+00:00 https://andy.ggu.cz/ Andy andreamikulova02@gmail.com https://andy.ggu.cz/ Jekyll v4.3.4 https://andy.ggu.cz/favicon.ico Content is intelectual property of Andy unless stated otherwise https://andy.ggu.cz/2023/12/07/povaha-lidstva/ 2023-12-07T00:00:00+00:00 2023-12-07T00:00:00+00:00 Andy <blockquote class="note"> <p><a href="">Záznam přednášky</a> ze <a href="https://ksp.mff.cuni.cz/akce/smrst/2023/">Smrště 2022</a>.</p> </blockquote> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#povaha-lidstva-lidství-normální-a-patologické" id="markdown-toc-povaha-lidstva-lidství-normální-a-patologické">Povaha lidstva (lidství normální a patologické)</a> <ul> <li><a href="#sociologická-stránka" id="markdown-toc-sociologická-stránka">Sociologická stránka</a> <ul> <li><a href="#deprivanti-a-deprivantství" id="markdown-toc-deprivanti-a-deprivantství">Deprivanti a deprivantství</a></li> <li><a href="#lidská-normalita" id="markdown-toc-lidská-normalita">Lidská normalita</a></li> <li><a href="#společné-znaky-deprivantů-a-deprivantství" id="markdown-toc-společné-znaky-deprivantů-a-deprivantství">Společné znaky deprivantů a deprivantství</a></li> <li><a href="#příčiny-vzniku-deprivantů" id="markdown-toc-příčiny-vzniku-deprivantů">Příčiny vzniku deprivantů</a></li> <li><a href="#vymezení-pojmů-psychopatie-a-sociopatie" id="markdown-toc-vymezení-pojmů-psychopatie-a-sociopatie">Vymezení pojmů psychopatie a sociopatie</a></li> <li><a href="#typy-psychopatů" id="markdown-toc-typy-psychopatů">Typy psychopatů</a></li> <li><a href="#how-to-take-care-of-your-sociopath" id="markdown-toc-how-to-take-care-of-your-sociopath">How to take care of your sociopath</a></li> </ul> </li> <li><a href="#fyziologická-stránkalékařské-hledisko" id="markdown-toc-fyziologická-stránkalékařské-hledisko">Fyziologická stránka/lékařské hledisko</a> <ul> <li><a href="#proč-psychopaté-nevyhynuli" id="markdown-toc-proč-psychopaté-nevyhynuli">Proč psychopaté nevyhynuli</a></li> <li><a href="#psychopatův-mozek" id="markdown-toc-psychopatův-mozek">Psychopatův mozek</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="povaha-lidstva-lidství-normální-a-patologické">Povaha lidstva (lidství normální a patologické)</h1> <h2 id="sociologická-stránka">Sociologická stránka</h2> <h3 id="deprivanti-a-deprivantství">Deprivanti a deprivantství</h3> <ul> <li><strong>Deprivanti jsou lidé, kteří z biologických, psychologických či sociokulturních důvodů nedosáhli lidské normality či o ni přišli</strong></li> <li>Deprivanty chápeme jako antropologickou, sociokulturní kategorii, nikoli jako kategorii diagnostickou nebo lékařskou (ta by byla užší)</li> <li>deprivanty a deprivantství považujeme za součást společenského charakteru, což je podle Davida Riesmana “ta část charakteru, kterou sdílejí důležité lisdké skupiny a která je výsledkem jejich zkušenosti”</li> </ul> <p>Je výskyt deprivantství epidemický? Projevovali se kdysi méně? Souvisí s vývojem soudobé společnosti? Populační exploze? Rozpad hodnot podmíněný oběma světovými válkami a následná úzkost z jaderné války</p> <p>Domníváme se, že vliv deprivantů a deprivantství ve společnosti roste.</p> <p><em>Deprivant</em> - druh osobnosti, <em>deprivantství</em> - způsob jejího, hlavně skupinového, chování</p> <h3 id="lidská-normalita">Lidská normalita</h3> <p>Deprivanty a deprivantství není možné bez vymezení normality pochopit: odlišují se od ní.</p> <p>Otázka normality je jednou z nejtěžších otázek věd o člověku.</p> <ul> <li>normalita je zdraví (lékařský pohled)</li> <li>“statisticky normální” rozložení vlastností a rysů nebo znaků osobnosti podle Gaussovy křivky (patologie - hodnota vzdálená od středu)</li> <li>normalitu lze chápat jako mnohastupňový vývoj dosažení “zralé” dospělé osobnosti</li> <li>normalita jako utopie - Freudova psychoanalýza - normální by byla harmonická, ideálně průměrná osobnost, která se ve skutečném životě nevyskytuje</li> </ul> <h3 id="společné-znaky-deprivantů-a-deprivantství">Společné znaky deprivantů a deprivantství</h3> <p>Společné znaky deprivantů:</p> <ul> <li>nedostatek sebezaměření (v užším slova smyslu síly vůle)</li> <li>neschopnost tvůrčí spolupráce</li> </ul> <p>Společné znaky různých podob deprivantství</p> <ul> <li>ničivost (vůči všemu hodnotově odlišnému)</li> <li>parazitismus</li> </ul> <p>Deprivanti pod jakoukoli záminkou zničí dítě či jinou lidskou bytost stejně jako katedrálu, park, sochu apod.</p> <p>Jediný smysl bytí prožívají a uznávají samoúčelnou moc a jediné čemu věří je nediferencovaný růst čehokoli, co jim moc dává nebo posiluje - bývají tvůrci či součástí organizací.</p> <p>Lidé a svět jsou pro deprivanty nástrojem a prostředkem.</p> <h3 id="příčiny-vzniku-deprivantů">Příčiny vzniku deprivantů</h3> <p>Domníváme se, že jejich prahnutí po moci a kontrole nad lidmi plyne z <em>nevyvinutosti, poruch vývoje, zmrzačení nebo amputace jejich niterného základu normality</em>.</p> <p>Jedním z projevů niterné normality je vývoj <em>autonomie, schopnosti v tvořivém smyslu být sám sebou</em> - toto chápeme jako celoživotní proces (naplňování a uskutečňování tvořivých možností).</p> <p>Toto nevyvinutí, zmrzačení či zánik niterného základu normality mohou vzniknout v souvislosti s poruchou dědičnosti - stejně jako se může dítě narodit s nevyvinutým orgánem.</p> <p>Velmi často je niterný základ normality poškozen poruchou <em>vazby k matce v raném dětství</em>. Normálně sycená citová vazba k matce znamená niterný pocit, že svět je spíše bezpečné a zajímavé místo. Málo sycená, nesycená nebo patologická vazba znamená niterný pocit, že svět je spíše nebezpečné a chaotické místo, kde je nutné být trvale ve střehu.</p> <p>Podobně často jej poškozují i pozdější události, například opakovaná duševní poranění v dětství, v průběhu dospívání i později - válečné konflikty, uprchlictví či dlouhodobý život v bídě a na dně sociálního žebříčku + drogy.</p> <h3 id="vymezení-pojmů-psychopatie-a-sociopatie">Vymezení pojmů psychopatie a sociopatie</h3> <p>Vlastnosti lidí s antisociální poruchou:</p> <ul> <li>nemají výčitky svědomí</li> <li>skvěle a s půvabem přemlouvají, vysvětlují a manipulují</li> <li>jsou charismatičtí, jsou tvůrci halo efektu</li> <li>přitahuje je vzrušení, adrenalinové sporty apod</li> <li>snadno velmistrovsky lžou</li> <li>mají početné sexuální partnery</li> <li>jsou citově chladní</li> </ul> <p>Tyto vlastnosti mají i psychopaté i sociopaté. Člověk s antisociální poruchou je synonymum pro slovo psychopat.</p> <p><strong>Psychopaté</strong> na rozdíl od sociopatů mohou mít vrozené dispozice, ale není to podmínkou. Jsou fantasticky maskováni, na první pohled jsou sympatičtí, oslňující. Používají citové vydírání ve svůj prospěch.</p> <p><strong>Sociopaté</strong> už nejsou tak manipulativní a rychlejí se poznají, navazují spíše povrchní vztahy, jsou velice přímočaří v tom, co chtějí. Na začátku normálně prožívají stres, empatii nebo strach - postupem času tyto pocity ztrácí (pácháním kriminální činnosti, špatným kolektivem, drogami apod.).</p> <p>Vysvětlit jak prožívají emoce sociopaté (oproti psychopatům)</p> <h3 id="typy-psychopatů">Typy psychopatů</h3> <p>Existují 2 typy psychopatů:</p> <ol> <li>Kriminální psychopaté: sérioví a masoví vrazi, nestvůry plnící sdělovací prostředky a další násilníci, kteří většinu času končí ve vězení</li> <li>“Subkriminální”, “sociálně úspešní”, “sociálně přizpůsobení” psychopaté</li> </ol> <p>Násilně se chovající psychopaté jsou jen nepatrným zlomkem celkového počtu psychopatů ve společnosti.</p> <h3 id="how-to-take-care-of-your-sociopath">How to take care of your sociopath</h3> <h2 id="fyziologická-stránkalékařské-hledisko">Fyziologická stránka/lékařské hledisko</h2> <h3 id="proč-psychopaté-nevyhynuli">Proč psychopaté nevyhynuli</h3> <p>V minulých desetiletích řešili vědci z mnoha oborů jednu z největších záhad evoluční biologie. Tou je altruismus, nesobecká pomoc druhému jedinici. Přes nevýhodu, kterou v přírodě přináší je tmelem lidské společnosti.</p> <p>Stejnou otázku si můžeme položit i u psychopatů. Vždyť jejich chování je tak protilidské a protispolečenské, že každá společnost s větším podílem altruistů ji musí zničit, pokud ji psychopaté sami neovládnou. Přesto psychopaté předali v paleolitických společnostech své geny další generaci. Jedna z možností říká, že psychopati v úzkém slova smyslu nevyhynuli, protože je psychopatie biologicky adaptivní. To znamená, že dává svým nositelům nějakou výhodu proti jedincům, kteří psychopatičtí nejsou.</p> <h3 id="psychopatův-mozek">Psychopatův mozek</h3> <p><strong>Psychopaté mají těžce narušené jak instrumentální, tak averzivní podmiňování</strong>. Nezpracovávají dobře signály oznamující, že druhý člověk má strach nebo je smutný. Jinak řečeno mají zřejmě buď vrozeně, nebo v průběhu nitroděložního vývoje poškozené neuronální systémy, které averzivní signalizaci zprostředkovávají. Instrumentální a averzivní podmiňování zahrnují činnost ostrovů nervových buněk uložených pod kůrou v předních částech spánkových laloků.</p> <p>Další příčinou může být zmenšený objem amygdal. Amygdaly typicky mimo jiné zvyšují činnost při pohledu na smutnou tvář druhého člověka. Amygdaly a patrně i jiné části citového mozku (mezimozku) psychopatů odlišně odpovídají na citově nabité podněty, než je tomu ostatních lidí.</p> <p>Předpokládá se, že děti a dospívající se nechovají antisociálně, protože se bojí důsledku tohoto chování. Psychopaté ne.</p> <p>Další výzkum ukazuje, že možným důvodem narušené pocitové stránky a hlavně absence empatie, jsou zrcadlové neurony, které se nacházejí zejména v čelní temenní a spánkové kůře mozkové. Byly objeveny už u opic, ale lidé jich mají podstatně více. Zdrdcadlové neurony mají zvláštní vlastnost: dívá-li se opice, jak jiná opice bere něco do ruky, aktivují se v jejím mozku ty skupiny nervových buněk, které řídí stejný pohyb, přitom pozorující opice žádný pohyb neudělá. Předpokládá se, že zrcadlové neurony a systémy, které jsou jimi tvořeny, umožňují niterné modelování pozorované situace - jako bychom sami dělali něco, na co se díváme, prožívali to a podobně. Zrcadlové neurony usnadňují učení napodobováním.</p> <p>-&gt; Teoreticky je možné, že psychopati mají částečně narušený systém zrcadlových neuronů, takže nejsou schopni empatie ani soucitu - niterně jim to nic neříká, i když vědí, že něco takového existuje. Podobně jako barvoslepí ví, že existují barvy, ale sám je není schopný poznat ani rozlišit.</p> https://andy.ggu.cz/2023/11/03/podzimni/ 2023-11-03T00:00:00+00:00 2023-11-03T00:00:00+00:00 Andy <p>Malba <a href="https://www.youtube.com/watch?v=XkkKpIrUotI&amp;list=PLe4pzlRZWh8MEwzsveVXn1wkkkeoRTFco&amp;index=1">Podzimní rákosí při západu slunce</a> vznikla ve stejnou dobu jako předchozí malba pro Natálku. Bylo to ještě před začátkem semestru, kdy jsem měla dost času. Hned jak jsem viděla předlohu, řekla jsem si, že je na čase, abych něco namalovala i pro sebe.</p> <p><img src="/assets/images/podzimni.jpg" alt="Podzimni_rakosi" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/10/15/ruze/ 2023-10-15T00:00:00+00:00 2023-10-15T00:00:00+00:00 Andy <p>Malbu <a href="https://www.youtube.com/watch?v=JLwe8dE--vA&amp;list=PLe4pzlRZWh8MEwzsveVXn1wkkkeoRTFco&amp;index=3">Růže měsíčního svitu</a> jsem namalovala moji nejdražší kamarádce Natálce k narozeninám, které slaví na konci řijna.</p> <p>Nad tím, co jí namalovat jsem nemusela dlouho přemýšlet, protože jakmile jsem viděla tuto předlohu od Grace vzpomněla jsem si na Natku a bylo jasno.</p> <p><img src="/assets/images/ruze.jpg" alt="Natalce" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/09/10/alexovi-k-narozeninam/ 2023-09-10T00:00:00+00:00 2023-09-10T00:00:00+00:00 Andy <p>Mé plány na malování růžových obrazů byly vyrušeny telefonátem od mého bratra Alexe, který mě poprosil, abych mu jako dárek k jeho 30. narozeninám namalovala obraz. Ze začátku jsem si nebyla jistá, co namalovat. Jeho požadavky byly, aby:</p> <ol> <li>Obraz odrážel jeho osobnost</li> <li>Obraz odrážel mou osobnost</li> <li>Obraz zobrazoval nějakou reálnou situaci</li> </ol> <p>Kupodivu poslední požadavek byl pro mě největší výzvou, protože při malování se více opírám o pocity, které právě cítím a pocity, které chci aby obraz vzněcoval. Nejraději proto maluji nějaké scenérie, což se ale s reálnou situací nemusí nutně vylučovat.</p> <p>Pro kontext: můj bratr kdysi lítal v rogalu (ano, trochu jsem si spletla tvary).</p> <p><img src="/assets/images/alexovi_k_narozeninam.jpg" alt="Alexovi" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/09/03/jelen-a-les/ 2023-09-03T00:00:00+00:00 2023-09-03T00:00:00+00:00 Andy <p>Rozhodla jsem se po dvouleté pauze k malování vrátit. Tato malba vznikla tedy na přelomu srpna a září tohoto roku. Obraz <a href="https://www.youtube.com/watch?v=WmPDZW2ZJsI">Jelen a les</a> jsem si vybrala, protože jednak nejradši maluji stromy a květinky, ale zároveň jsem v něm viděla výzvu v podobě jelena. Bohužel malování zvířat mi moc nejde, nejspíše se budu držet hlavně klasického přírodního zátiší.</p> <p>Přestože to není moje nejpovedenější malba, alespoň mě vrátila do cviku. Do budoucna plánuji namalovat pár obrazů, kde bych si chtěla vyhrát s růžovou a fialovou barvou.</p> <p><img src="/assets/images/jelen_a_les.jpg" alt="Jelen a les" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/08/05/scenerie-jezera/ 2023-08-05T00:00:00+00:00 2023-08-05T00:00:00+00:00 Andy <p>Další malba vznikla v březnu 2021, opět za stejných okolností. Má mamka slavila narozeniny a já opět nevěděla, co ji dát.</p> <p>Jelikož se mamka narodila v první jarní den a já už kdysi ráda malovala obrazy jezer, ve kterých se odráží příroda, vybrala jsem <a href="https://www.youtube.com/watch?v=ciffij_PhTQ&amp;t=3s">Klidnou scenérii jezera při západu slunce</a>.</p> <p><img src="/assets/images/jarni_krajina.jpg" alt="Scenerie_jezera" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/08/05/slunecnicove-pole/ 2023-08-05T00:00:00+00:00 2023-08-05T00:00:00+00:00 Andy <p>Když jsem byla ještě na základní škole, chodila jsem jednu dobu do kroužku malování. Párkrát jsem se se zúčastnila nějakých soutěží a jednou dokonce vyhrála. Poté jsem přestala kroužek navštěvovat a k pravidelnému malování se už nevrátila.</p> <p>V prosinci 2020, při nakupování vánočních dárků, jsem měla obrovské dilema, co dát mé tetě. Chtěla jsem ji dát něco originálního a speciálního, jenže vše, co mě napadlo jsem ji už dala. Poté jsem náhodou narazila na YouTube kanál <a href="https://www.youtube.com/@GraceJArt">Grace J Art</a>. Nejoblíbenější barva mé tety je žlutá a když jsem narazila na video, kde Grace maluje <a href="https://www.youtube.com/watch?v=iGOi2mBQrBk">slunečnicové pole</a> vzpomněla jsem si na tetu a hned jsem se vrhla do malování.</p> <p><img src="/assets/images/slunecnice.jpg" alt="Slunecnicové_pole" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/07/04/RFP/ 2023-07-04T00:00:00+00:00 2023-07-04T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#první-den" id="markdown-toc-první-den">První den</a> <ul> <li><a href="#lorna-shore" id="markdown-toc-lorna-shore">Lorna Shore</a></li> <li><a href="#i-prevail" id="markdown-toc-i-prevail">I Prevail</a></li> <li><a href="#architects" id="markdown-toc-architects">Architects</a></li> <li><a href="#polaris" id="markdown-toc-polaris">Polaris</a></li> <li><a href="#slipknot" id="markdown-toc-slipknot">Slipknot</a></li> <li><a href="#bloodywood" id="markdown-toc-bloodywood">Bloodywood</a></li> </ul> </li> <li><a href="#druhý-den" id="markdown-toc-druhý-den">Druhý den</a> <ul> <li><a href="#hentai-corporation" id="markdown-toc-hentai-corporation">Hentai Corporation</a></li> <li><a href="#hollywood-undead" id="markdown-toc-hollywood-undead">Hollywood Undead</a></li> <li><a href="#tchert" id="markdown-toc-tchert">Tchert</a></li> <li><a href="#ashnikko" id="markdown-toc-ashnikko">Ashnikko</a></li> <li><a href="#sleep-token" id="markdown-toc-sleep-token">Sleep Token</a></li> </ul> </li> <li><a href="#třetí-den" id="markdown-toc-třetí-den">Třetí den</a> <ul> <li><a href="#heriot" id="markdown-toc-heriot">Heriot</a></li> <li><a href="#landmvrks" id="markdown-toc-landmvrks">Landmvrks</a></li> <li><a href="#while-she-sleeps" id="markdown-toc-while-she-sleeps">While She Sleeps</a></li> <li><a href="#paledusk" id="markdown-toc-paledusk">Paledusk</a></li> </ul> </li> <li><a href="#čtvrtý-den" id="markdown-toc-čtvrtý-den">Čtvrtý den</a> <ul> <li><a href="#burry-tomorrow" id="markdown-toc-burry-tomorrow">Burry Tomorrow</a></li> <li><a href="#man-with-a-mission" id="markdown-toc-man-with-a-mission">Man with a Mission</a></li> <li><a href="#muse" id="markdown-toc-muse">Muse</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <p>Po úspěšně absolvované maturitě mě můj kamarád <a href="https://github.com/Adam-Belej">Adam</a> přemluvil, abych s ním jela na letošní ročník <a href="https://rockforpeople.cz/cs/">Rock For People 2023</a>. Byla to neskutečná jízda. Nejvíce jsem vděčná za to, že se mi konečně podařilo relaxovat a setřást všechen stres z maturity. RFP 2023 byl můj první festival a naprosto jsem si ho zamilovala. Organizace byla špičková, bez větších komplikací.</p> <p><img src="/assets/images/kolecko.jpg" alt="Kolečko" /></p> <p>Zde je seznam kapel, které jsme viděli a naše hodnocení.</p> <h1 id="první-den">První den</h1> <p>První den nastavil laťku tak vysoko, že už jí následující tři dny nedokázaly překonat. Nejvíce metalových kapel, výborná organizace.</p> <h2 id="lorna-shore">Lorna Shore</h2> <p>Úžasný opening festivalu. Podařilo se nám dostat hned do první řady. Dokonce jsme se seznámili s přátelskými Němci.</p> <p><img src="/assets/images/selfie-lorna.jpg" alt="Selfie_z_Lorny" /></p> <p>Na Lornu jsem se těšila nejvíce a nezklamala mě. Will je neskutečný vokalista a moc na mě zapůsobilo, jak upřímné bylo jejich vystoupení. Přesto, že jsou v tomto osazení ještě poměrně mladá kapela, komunikace s publikem byla výborná. Za mě \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(7/10\), vokály a kytary se občas ztrácely v mixu.</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-08-architects-polaris-lorna-shore/lorna-shore5.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/"><b>BlackBlog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="i-prevail">I Prevail</h2> <p>Na I Prevail jsme zažili první letošní moshpit. Byl trochu opatrnější, ale i tak jsme si ho užili. Upřímně musím říct, že na mě kapela tolik nezapůsobila a nevytvořila tak dobrou atmosféru.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(7.5/10\)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-08-slipknot-i-prevail-bloodywood/i-prevail4.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/slipknot-i-prevail-bloodywood-2023-06-08/"><b>BlackBlog.cz/music/slipknot-i-prevail-bloodywood-2023-06-08/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="architects">Architects</h2> <p>Největší moshpit na RFP. Architects byli úžasní. Mezi tím, co zvukaři napravovali v polovině koncertu zvukové potíže, Sam odvedl pozornost publika. Moc se mi líbilo, jak k nám mluvil o sebeobrazu a duševním zdraví. Nastolil krásnou atmosféru a ráda na to vzpomínám, za mě opět \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8.5/10\)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-08-architects-polaris-lorna-shore/architects3.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/"><b>BlackBlog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="polaris">Polaris</h2> <p>Neskutečný masakr, nezapomenutelná atmosféra. Kapela šla rovnou z nuly na sto. Než jsem se vzpamatovala z toho, že kapela už vyšla na pódium, rozjel se divoký moshpit. Kapela byla velmi dobře nazvučená a také komunikace s publikem úžasná, \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8.5/10\)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-08-architects-polaris-lorna-shore/polaris3.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/"><b>BlackBlog.cz/music/architects-polaris-lorna-shore-2023-06-08/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="slipknot">Slipknot</h2> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-08-slipknot-i-prevail-bloodywood/slipknot1.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/slipknot-i-prevail-bloodywood-2023-06-08/"><b>BlackBlog.cz/music/slipknot-i-prevail-bloodywood-2023-06-08/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <p>Nejlepší zážitek z celého Rock For People. Kromě perfektní hudby a nabité atmosféry si nejvíce pamatuji Coreyho upřímnou a srdečnou komunikaci s publikem. Jeho stage presence a charisma mě naprosto vtáhlo do celého koncertu. Dokonce i všichni lidé kolem nás byli hodní a prožívali koncert s námi. \(10/10\)</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(7/10\), bohužel občas nešlo přes bubny slyšet ostatní členy.</li> </ul> <p><a href="/assets/images/slipknot.jpg"><img src="/assets/images/slipknot.jpg" alt="Slipknot" /></a></p> <p>Na Slipknot #jedině-v-ksp-tričku :D</p> <h2 id="bloodywood">Bloodywood</h2> <p><a href="https://blackblog.cz/music/slipknot-i-prevail-bloodywood-2023-06-08/">Záznam</a> z koncertu.</p> <p>Vzhledem k pozdnímu času a únavě jsme byli jen na část koncertu, ale to, co jsme viděli bylo perfektní - kapela krásně komunikovala s publikem.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8.5/10\)</li> </ul> <h1 id="druhý-den">Druhý den</h1> <p>Druhý den se nesl ve značně pomalejším tempu, bohužel jsme zažili i pár zklamání.</p> <h2 id="hentai-corporation">Hentai Corporation</h2> <p>To, co se kapela snaží navodit dělá dobře. Zpěvákovy vtipy byly opravdu vtipné. Show taky dobrá.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8.5/10\)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-09-hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko/hentai-corporation.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/"><b>BlackBlog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="hollywood-undead">Hollywood Undead</h2> <p>Ze začátku jsme byli ohromeni tím, jak dobře byla kapela nazvučena až nám po chvíli došlo, že vlastně hrají na playback. V průběhu chtěli vybrat z publika člověka, který zahraje sólo na kytaru - vybrali nějakého kluka, ale na pódium přišla basistka od Machine Gun Kellyho, headlinera toho dne. Poté dokonce část, kde hrála akustická kytara, byla “zahrána” na elektrickou kytaru. Jedno z největších zklamání RFP.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(10/10\), playback se zvučí snadno :)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-09-hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko/hollywood-undead.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/"><b>BlackBlog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="tchert">Tchert</h2> <p>Největší Adamův objev na RFP. “Dobré breakdowny, u kterých máte chuť mlátit do zdi.”</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(9/10\)</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-09-hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko/tchert1.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/"><b>BlackBlog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="ashnikko">Ashnikko</h2> <p>Na Ashnikko jsem se celkem těšila, kdysi jsem měla od ní ráda jednu nebo dvě písničky, bohužel jsem byla nakonec zklamaná. Nejen, že začala o patnáct minut později, ale také skončila o deset minut dřív. Za pozdní příchod se neomluvila, po písničkách jen ironicky šeptla “thank you”. Dokonce jednu písničku ukončila s tím, že začala hrát špatná verze… celkem shitshow.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(5/10\), podklady byly nepříjemně hlasité.</li> </ul> <div class="video-display"> <video controls=""> <source src="https://blackblog.cz/assets/music-reports/2023-06-09-hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko/ashnikko.mp4" type="video/mp4" /> Your browser does not support the video tag. </video> <span>Více videí na <a href="https://blackblog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/"><b>BlackBlog.cz/music/hentai-corporation-hollywood-undead-tchert-ashnikko-2023-06-09/</b></a> <i><a href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/">CC-BY 4.0</a></i></span> </div> <h2 id="sleep-token">Sleep Token</h2> <p>Bohužel i Sleep Token začal o nějakých deset minut později, v průběhu se však ukázalo, že to nebyla jejich chyba, ale chyba zvukařů. Představení bylo však dechberoucí - podařilo se jim nastolit tajemnou, ale příjemnou atmosféru.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(9/10\)</li> </ul> <h1 id="třetí-den">Třetí den</h1> <p>Třetí den byl opět nabitý a moc jsme si jej užili.</p> <h2 id="heriot">Heriot</h2> <p>Můj největší objev na RFP. Na Heriot jsme narazili téměř náhodou. Vlastně jsme úplně nevěděli, na co jdeme. Nakonec jsem byla naprosto unešena. Jednak jejich energií a hudbou, ale hlavně vokalistkou a kytaristkou Debbie. Dokázala ladně měnit screams a clear singing a u toho všeho hrát na kytaru. Debbie mě opravdu inspirovala. \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(7/10\), moc silné bubny.</li> </ul> <h2 id="landmvrks">Landmvrks</h2> <p>Jelikož se na Landmvrks Adam hodně těšil, počkali jsme si na ně a opět se dostali přímo do první řady. Čekání se vyplatilo - byl to luxusní zážitek po všech stránkách.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(9/10\)</li> </ul> <h2 id="while-she-sleeps">While She Sleeps</h2> <p>While She Sleeps rozhodně patří do mé top pětky. Hned jak začala kapela hrát, z publika se stal jeden velký moshpit. Moc se mi líbilo, jak s námi zpěvák komunikoval. Jeho šarm mě opět vtáhl do jejich představení. Na jejich show asi nikdy nezapomenu. Rozhodně \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(9/10\)</li> </ul> <h2 id="paledusk">Paledusk</h2> <p>Na Paledusk jsme se hodně těšili. Dokonce jsme několik hodin před vystoupením kapelu potkali a vyfotili se :). Jejich představení bylo nabité energií. Přesto, že jsou poměrně mladá kapela, také perfektně komunikovali s publikem. Opět \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8/10\)</li> </ul> <p><img src="/assets/images/fotka_s_paledusk.jpg" alt="[Fotka_s_Paledusk](/assets/images/fotka_s_paledusk.jpg)" /></p> <h1 id="čtvrtý-den">Čtvrtý den</h1> <p>Perfektní zakončení celého RFP.</p> <h2 id="burry-tomorrow">Burry Tomorrow</h2> <p>Bohužel jsme byli po posledních třech dnech hodně unavení a tak jsme si jejich představení tolik neužili, přestože se opravdu snažili.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(8/10\)</li> </ul> <h2 id="man-with-a-mission">Man with a Mission</h2> <p>Úplně jsem nevěděla, do čeho jdu, ale nakonec se mi to líbilo. Bylo to spíše poklidnější představení, ale i tak pěkné.</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(9/10\), dominovaly vokály, což bylo super. Občas to akorát jednomu vokalistovi ujíždělo.</li> </ul> <h2 id="muse">Muse</h2> <p>Nejlepší ukončení RFP, které mohlo být. Také měli ze všech kapel nejpromyšlenější vystoupení a myšlenku, kterou chtěli předat. \(10/10\).</p> <ul> <li><em>Nazvučení:</em> \(10/10\), nejlépe nazvučená kapela na celém RFP.</li> </ul> https://andy.ggu.cz/2023/04/23/software/ 2023-04-23T00:00:00+00:00 2023-04-23T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#základní-dělení-sw" id="markdown-toc-základní-dělení-sw">Základní dělení SW</a> <ul> <li><a href="#systémový-software" id="markdown-toc-systémový-software">Systémový software</a></li> <li><a href="#aplikační-software" id="markdown-toc-aplikační-software">Aplikační software</a> <ul> <li><a href="#ms-word" id="markdown-toc-ms-word">MS Word</a></li> <li><a href="#ms-excel" id="markdown-toc-ms-excel">MS Excel</a></li> <li><a href="#zpracovávání-fotografií-a-videa---gimp" id="markdown-toc-zpracovávání-fotografií-a-videa---gimp">Zpracovávání fotografií a videa - GIMP</a></li> </ul> </li> <li><a href="#škodlivý-software" id="markdown-toc-škodlivý-software">Škodlivý software</a></li> <li><a href="#dělení-sw-podle-licence" id="markdown-toc-dělení-sw-podle-licence">Dělení SW podle licence</a></li> <li><a href="#autorská-práva-a-autorský-zákon" id="markdown-toc-autorská-práva-a-autorský-zákon">Autorská práva a autorský zákon</a></li> </ul> </li> <li><a href="#historie-sw" id="markdown-toc-historie-sw">Historie SW</a></li> <li><a href="#ochrana-dat-v-počítači" id="markdown-toc-ochrana-dat-v-počítači">Ochrana dat v počítači</a> <ul> <li><a href="#zálohování-dat" id="markdown-toc-zálohování-dat">Zálohování dat</a></li> <li><a href="#počítačové-viry" id="markdown-toc-počítačové-viry">Počítačové viry</a></li> <li><a href="#ochrana-proti-škodlivému-sw" id="markdown-toc-ochrana-proti-škodlivému-sw">Ochrana proti škodlivému SW</a></li> </ul> </li> <li><a href="#operační-systémy" id="markdown-toc-operační-systémy">Operační systémy</a> <ul> <li><a href="#historie-os" id="markdown-toc-historie-os">Historie OS</a></li> <li><a href="#struktura-os" id="markdown-toc-struktura-os">Struktura OS</a></li> <li><a href="#konfigurace-os" id="markdown-toc-konfigurace-os">Konfigurace OS</a></li> <li><a href="#os-pro-počítače" id="markdown-toc-os-pro-počítače">OS pro počítače</a></li> <li><a href="#os-pro-mobilní-telefony-tablety" id="markdown-toc-os-pro-mobilní-telefony-tablety">OS pro mobilní telefony, tablety</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <p><strong>Software</strong> je sada všech počítačových programů používaných v počítači, které provádějí nějakou činnost.</p> <h2 id="základní-dělení-sw">Základní dělení SW</h2> <p>Podle funkce můžeme software rozdělit do několika skupin:</p> <h3 id="systémový-software">Systémový software</h3> <p>Je to speciální programové vybavení, které umožňuje uživateli s počítačem pracovat, ovládat ho, spouštět aplikace apod. Nachází se na pomezí hardware a aplikačního software a běžný uživatel s ním přímo nepracuje (na rozdíl od aplikací). Mezi systémový software patří <strong>operační systém</strong>, pomocné nástroje a <strong>firmware</strong>. Umožňuje efektivní používání počítače.</p> <ul> <li><strong>firmware (mikroprogramové vybavení)</strong> - software, který slouží pro řízení nějakého vestavěného systému. Například operační systém pro mobilní telefon obsahuje firmware (např. Android, Windows Phone, iOS), ale samotný telefon obsahuje firmware pro komunikační čip mobilní telefonní sítě, bezdrátový Wi-Fi čip, apod.</li> <li><strong>operační systém</strong> - základní programové vybavení počítače, které umožňuje běh programů a ovlivňuje, jak bude počítačový systém komunikovat s uživatelem. <ul> <li><strong>jádro</strong> OS (včetně ovladačů zařízení)</li> <li>pomocné systémové nástroje - pro správu OS (formátování disků, nastavení oprávnění, utility, démoni…)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="aplikační-software">Aplikační software</h3> <p>Umožňuje uživateli vykonávat nějakou užitečnou činnost (řešení konkrétního problému, interaktivní tvorbu uživatele - např. textový procesor). Aplikace využívají pro interakci s uživatelem grafické nebo textové rozhraní, případně příkazový řádek.</p> <ul> <li>kancelářské balíky: textový editor, tabulkový procesor, prezentační program…</li> <li>grafické programy: vektorový a rastrový grafický editor</li> <li>vývojové nástroje: vývojové prostředí, překladač</li> <li>zábavní software: počítačové hry</li> <li>řídící (pracovní) software: řízení strojů, informačních systémů,…</li> </ul> <h4 id="ms-word">MS Word</h4> <ul> <li>je textový procesor od firmy Microsoft, který je součástí kancelářského balíku Microsoft Office</li> <li>umožňuje vytvářet a upravovat dokumenty, formátovat text, vkládat další objekty, …</li> <li>standardizovaný formát textových dokumentů v rámci komunikace s úřady</li> <li>jednoduché ovládání a přehledné rozhraní</li> <li>provázání s dalšími aplikacemi MS Office</li> <li>cloudové úložiště OneDrive</li> </ul> <h4 id="ms-excel">MS Excel</h4> <ul> <li>je to tabulkový procesor od firmy Microsoft</li> <li>zpracovává různě velkou tabulku informací, samotná tabulka je složena z jednotlivých buněk</li> <li>v minulosti se především využíval v bankovním sektoru - dnes se používá všude, kde je potřeba zpracovávat a analyzovat libovolná data</li> <li>rozsáhlé matematické, logické, vyhledávací nebo převodní funkce</li> </ul> <h4 id="zpracovávání-fotografií-a-videa---gimp">Zpracovávání fotografií a videa - GIMP</h4> <ul> <li>GIMP je svobodný a otevřený rastrový grafický editor, který se používá zejména pro retušování a úpravy obrázků a fotografií</li> </ul> <p><strong>Rastrová grafika</strong> (bitmapová grafika)</p> <ul> <li>jeden ze dvou základních způsobů, jakým počítače ukládají a zpracovávají obrazové informace</li> <li>celý obrázek je popsán pomocí jednotlivých barevných kódů (pixelů)</li> <li>body jsou uspořádány do mřížky, každý bod má určen svou přesnou polohu a barvu v nějakém barevném modelu (př. RGB),</li> <li>tento způsob popisu obrázku používá např. televize nebo digitální fotoaparát</li> <li>kvalitu záznamu obrázku ovlivňuje zejména rozlišení a barevná hloubka</li> <li>nevýhody: <ul> <li>změna velikosti vede k zhoršení kvality obrázku</li> <li>zvětšování jen v omezené míře</li> <li>velké nároky na paměťové zdroje</li> </ul> </li> <li>výhody: <ul> <li>přirozená volba pro digitální fotografii</li> <li>pořízení obrázku je velmi snadné</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Vektorová grafika</strong></p> <ul> <li>jeden ze dvou základních způsobů, jakým počítače ukládají a zpracovávají obrazové informace</li> <li>vektorový obrázek je složen ze základních, přesně definovaných útvarů, jako jsou body, přímky, křivky a mnohoúhelníky</li> <li>výhody: <ul> <li>obrázky jde libovolně zmenšovat a zvětšovat bez ztráty kvality</li> <li>je možné pracovat s každým objektem v obrázku odděleně</li> <li>výsledná paměťová náročnost je u jednotlivých barevných obrázků menší</li> </ul> </li> <li>nevýhody: <ul> <li>složitější pořízení obrázku</li> <li>překročí-li složitost grafického objektu určitou mez, začne být vektorová grafika náročnější na operační paměť a procesor</li> <li>nehodí se na zápis složitých barevných ploch, např. fotografie</li> </ul> </li> <li>používá se zejména pro počítačovou sazbu, tvorbu ilustrací, diagramů, logotypů, animace,…</li> </ul> <h3 id="škodlivý-software">Škodlivý software</h3> <p>Software může provádět i nezamýšlenou činnost a v takovém případě hovoříme buď o programátorské chybě nebo o počítačových virech, malware, spyware, trojských koních apod. Proto existují antivirové programy, antispyware apod., které leží na pomezí aplikačního a systémového software a pokouší se činnost nežádoucího software eliminovat.</p> <h3 id="dělení-sw-podle-licence">Dělení SW podle licence</h3> <ol> <li><strong>Open-source</strong>: Program, ke kterému je dostupný zdarma nejen vlastní program, ale i jeho zdrojové kódy. Licence programu následně upravuje možné nakládání se zdrojovými kódy, např. jeho úpravy a další distribuce. <strong>Příklady:</strong> <em>OS Linux, databázový systém MySQL, vektorový editor Inkspace, bitmapový editor GIMP</em></li> <li><strong>Freeware</strong>: Program, který je dostupný zdarma za podmínek, které vydal autor, většinou si takový program nikdo nesmí vydávat za vlastní ani ho upravovat. Již se jedná o tzv. uzavřený software, nejsou dostupné zdrojové kódy. Některé programy mohou být freeware pouze pro nekomerční využití. <strong>Příklady</strong>: <em>Správce ovladačů a grafického nastavení her nVidia GeForce Experience, internetový prohlížeč Google Chrome</em></li> <li><strong>Shareware</strong>: Program, který je možné volně šířit, ale uživateli dává obvykle určitý čas na vyzkoušení programu, po uplynutí této doby, případně podle toho, jak často program uživatel používá ho ve většině případů vyzve k zaplacení licence. <strong>Příklady</strong>: <em>Souborový manažer Total Commander, kompresní program WinRAR</em></li> <li><strong>Trial</strong>: Podobné shareware, v tomto případě se však jedná o čistě komerční software. Trial verze bývá časově omezena, pokud je omezená funkčně, nazývá se demo verze. <strong>Příklady</strong>: <em>Bitmapový editor Zoner Photo Studio, mutlimediální balík Nero, simulátor Bus Driver</em></li> <li><strong>Adware</strong>: Program, který je volně šiřitelný, ale zobrazuje reklamu většinou stahovanou z internetu. <strong>Příklady</strong>: <em>Jednorázová virová kontrola počítače Eset Online Scanner, přehrávač BSPlayer</em></li> <li><strong>Komerční software</strong>: Standardní placený software, většinou vyvíjený nadnárodními korporacemi. Typické pro počítačové hry, které nedovolují program vyzkoušet. <strong>Příklady</strong>: OS Microsoft Windows, simulátor Euro Truck Simulator 2, hra GTA V</li> </ol> <h3 id="autorská-práva-a-autorský-zákon">Autorská práva a autorský zákon</h3> <p>Software je považován za <strong>autorské dílo</strong> a vlastnictví softwaru tedy řeší <strong>autorský zákon</strong>. Vlastníkem software je vždy jeho autor. Autorská práva nelze prodat, nelze se jich vzdát a jsou nepřevoditelná, jsou předmětem dědického řízení. Lze však postoupit <strong>výkon autorských práv</strong> - výkon autorských práv je v případě software vytvořeného <strong>vlastními zaměstnanci</strong> a software vytvořeného <strong>na smlouvu o dílo</strong> přenesen na zaměstnavatele (zadavatele smlouvy o dílo).</p> <p>Softwarové právo se zabývá těmito oblastmi:</p> <ul> <li>software a jeho vývoj - vlastnická práva na software a zdrojové kódy</li> <li>vlastnictví dat</li> <li>licencování software</li> <li>právní aspekty implementace a dodání software</li> <li>právní aspekty servisu a údržby</li> <li>outsourcing</li> <li>softwarové pirátství</li> <li>internetové právo <ul> <li>registrace doménových jmen</li> <li>odpovědnost za provoz internetových stránek</li> <li>internetové obchodování</li> <li>autorská práva na internetu</li> <li>e-government</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="historie-sw">Historie SW</h2> <p>Historii softwaru můžeme rozdělit do několika fází:</p> <ul> <li><strong>Fáze před rokem 1950</strong>: Ada Lovelace a Alan Turing jsou předchůdci konceptu software.</li> <li><strong>50.-70. léta</strong>: Software se změnil z teoretického abstraktního konceptu na uznávaný jako nepostradatelný faktor pro vynález a vývoj zařízení nebo strojů. Poprvé vytvořen pojem “softwarové inženýrství” na NATO konferenci. Nejpoužívanější jazyky: COBOL a FORTRAN</li> <li><strong>80.-90. léta</strong>: Velká poptávka převyšovala nabídku profesionálů v tomto odvětví. Windows spuštěn v roce 1985 a Linux v roce 1992. Vznik HTML je navíc díky vzestupu WWW, jednoho z hlavních milníků digitálního věku.</li> <li><strong>21.století</strong>: Velký pokrok - od příchodu smartphonu může integrovaný software provádět úkoly, které dříve vyžadovaly počítače. Velký boom AI nebo kryptoměn.</li> </ul> <h2 id="ochrana-dat-v-počítači">Ochrana dat v počítači</h2> <h3 id="zálohování-dat">Zálohování dat</h3> <p><strong>Záloha (backup)</strong> je kopie dat uložená na jiném datovém nosiči (nebo i místě). Záložní data jsou využívána v případě ztráty, poškození nebo jiné potřeby práce s daty uloženými v minulosti.</p> <ul> <li>základní dělení - manuální a automatické (automatické je bezpečnější, ale počítač musí být zapnutý a médium, na které zálohujeme připojené = pro domácí zálohování je praktičtější manuální)</li> <li>online (Cloud, NAS) a offline (HDD, pásky)</li> </ul> <p>Zařízení pro zálohování dat: HDD, USB disky, Cloud</p> <h3 id="počítačové-viry">Počítačové viry</h3> <p>Jako virus se označuje program, který se dokáže šířit bez vědomí uživatele. Pro množení se vkládá do jiných spustitelných souborů či dokumentů. Viry jsou jedním z druhů malwaru, zákeřného softwaru.</p> <h3 id="ochrana-proti-škodlivému-sw">Ochrana proti škodlivému SW</h3> <p>Počítačová ochrana ve 3 základních krocích:</p> <ol> <li><em>prevence</em> - ochrana před hrozbami (riziky)</li> <li><em>detekce</em> - odhalení neoprávněných činností a slabých míst v systému</li> <li><em>náprava</em> - odstranění slabých míst v systému</li> </ol> <p>Počítačová bezpečnost, zabezpečení informací v počítači, tj. odhalení a zmenšení rizik spojených s používáním počítače, zahrnuje:</p> <ul> <li>omezení fyzického přístupu k počítači a jeho zařízením, ochrana před manipulováním se zařízeními počítačového systému</li> <li>ochrana informací před krádeží</li> <li>použití hardwarových zařízení, např. hardwarových klíčů</li> <li>využití mechanismů OS</li> <li>omezení množství programů, kterým je nutné důvěřovat</li> <li>využití záznamů o změnách v programech a systémech (logování a verzování)</li> <li>zabezpečení OS</li> <li>využití bezpečného šifrování</li> <li>využití bezpečného ukládání a zálohování údajů</li> </ul> <h2 id="operační-systémy">Operační systémy</h2> <p><strong>Operační systém</strong> je základní programové vybavení počítače, které umožňuje běh programů a ovlivňuje, jak bude počítačový systém komunikovat s uživatelem.</p> <p>Kromě počítačů používají OS i některá zařízení, která za počítač nepovažujeme, ale mají v sobě nějaký druh počítače zabudovaný - mobilní telefony, herní konzole, televizory, set top boxy, routery, apod. Použití OS v určitém zařízení usnadňuje vývoj programového vybavení.</p> <h3 id="historie-os">Historie OS</h3> <p>První počítače OS neměly. Zárodky OS lze vysledovat v knihovnách pro obsluhu <em>vstupních a výstupních zařízení</em>. První OS byly dodávány k sálovým počítačům (mainframe) - 60. léta.</p> <h3 id="struktura-os">Struktura OS</h3> <p>Operační systém bývá zpravidla uložen ve formě programů a dalších souborů ve <em>vnější paměti</em>, odkud se načítá při startu počítače nebo při zapnutí zařízení. OS lze rozdělit na několik částí (toto členění se může u různých autorů lišit a bývá ovlivněno i konkrétním OS):</p> <ul> <li><strong>zavaděč operačního systému (boot loader)</strong> - program, který při bootování spuštěn po provedení POST testů BIOSu a jeho cílem je aktivace nějakého OS</li> <li><strong>jádro operačního systému (kernel)</strong> - část OS, která je při startu počítače zavedena do operační paměti, kde zůstává až do vypnutí počítače. <ul> <li>po zavedení do paměti je jádru předáno řízení, jádro dokončí inicializaci hardwaru (vytvoření jednoduchého API) a následně zajišťuje správu prostředků (mazání a vytváření souborů), umožňuje spuštění programů a poskytuje jim své služby</li> <li>hlavní úkol jádra spočívá v přidělování paměti a času procesoru programům, ovládání zařízení počítače a abstrakcí funkcí</li> <li>základem pro komunikaci s kernelem by měl být shell (u Windows omezeno)</li> <li>na základě struktury rozdělujeme na 3 druhy: <ul> <li> <ol> <li><strong>monolitické jádro</strong> - všechny podstatné služby spouští kernel jako svoje procesy (tj. spouští se v prostoru paměti vyhrazeném jádru, kam uživatel nemá přístup); komunikace s aplikacemi je zajištěna přes API, proti mikrojádru je jednodušší na správu a opravování chyb, zároveň velmi bezpečný a rychlý; nevýhoda je teoreticky menší stabilita - např. Linux, Unix</li> </ol> </li> <li> <ol> <li><strong>mikrojádro</strong> - obsahuje jen nezbytné funkce (API, správa procesů, virtuální paměť, přidělování hardwaru), zbytek běží jako aplikace (servery - např. komunikace po síti, souborové systémy), komunikují s kernelem pomocí speciálního volání, výhodou je rychlost, rozšířitelnost, stabilita (pokud se nějaká funkce pokazí stačí restartovat server, nemá vliv na jádro), při dobrém návrhu i bezpečnost; nevýhodou je komplikovaný návrh a nižší výkon - např. macOS</li> </ol> </li> <li> <ol> <li><strong>hybridní jádro</strong> - kombinace předchozího, základní jádro je větší než u mikrojádra, ale přece jen jeho část běží jako servery, využívá MS Windows</li> </ol> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>ovladače zařízení</strong> - zajišťují řízení hardware a zároveň komunikuje se zbytkem operačního systému pomocí obecnějších rozhraní, která zajišťuje abstrakci zařízení</li> <li><strong>vrstva abstrakce hardwaru</strong> - vytváří jednotné rozhraní (API) ovládající různě fungující hardware</li> <li><strong>implementace různých podsystémů</strong> (souborových systémů, protokolových zásobníků, síťových a dalších služeb, apod.) v podobě modulů, procesů, knihoven, ovladačů, apod.</li> <li><strong>interpret příkazů</strong> - program, který přijímá od uživatele příkazy nebo povely zadávané pomocí příkazového řádku a ihned je vykonává (interpretuje)</li> <li><strong>vizuální prostředky</strong> jako fonty, ikony, dialogy, popis terminálu apod.</li> <li><strong>konfigurace různých součástí OS</strong></li> <li><strong>systémové programy</strong></li> </ul> <h3 id="konfigurace-os">Konfigurace OS</h3> <p>Každý OS se dodává se sadou programů, které umožňují ho nastavit, kontrolovat jeho běh a upravovat ho.</p> <p>Ve <strong>Windows</strong> je základním nástrojem Nastavení, které je doplněné řadou programů pro specifičtější úkoly (zobrazení systémových zpráv, práce s disky, čištění systému, zobrazení HW informací, registr), které vesměs zůstávají určené profesionálnějším uživatelům, zvláště u registrů špatná dokumentace.</p> <p><strong>Linux</strong> se primárně konfiguruje úpravou textových konfiguračních souborů (v Unixu vše soubor, tímto způsobem jde nastavit vše od tapety na ploše až po úroveň jasu monitoru), ta může být buď přímá nebo přes terminálový program; typicky dobrá dokumentace; s rozšiřováním Linuxu se u uživatelsky zaměřených distribucí objevuj klasické plnohodnotné grafické programy na nastavení PC (i když neobsahují vše běžnému uživateli bohatě stačí)</p> <p><strong>Android</strong> - nastavení pomocí předinstalovaného nastavení, nebo reinstalací programů, konfigurace obvykle dost strohá</p> <h3 id="os-pro-počítače">OS pro počítače</h3> <p>Mezi nejpoužívanější druhy operačních systémů osobních počítačů patří Microsoft Windows, macOS a Linux.</p> <p><strong>Microsoft Windows</strong></p> <ul> <li><strong>Windows</strong> je označení pro několik různých operačních systémů od firmy Microsoft</li> <li>všechny mají grafické uživatelské rozhraní, avšak liší se použitím jádrem systému, úrovní podpory multitaskingu (současného běhu více úloh najednou) i používanými knihovnami a účelem použití</li> <li>současně je v jádře systému podpora pro rozlišení jednotlivých uživatelů a jejich procesů spolu s omezením jejich možností zasahovat si navzájem do své práce</li> </ul> <p><strong>Linux</strong></p> <ul> <li>samotný Linux je pouze jádro a základní služby (ty lze do jádra zahrnout, nebo je vynechat)</li> <li>pro uživatele by bylo vytvoření Linuxového OS komplikované, proto vychází ve formě distribucí = předpřipravený systém se vším, co uživatel potřebuje</li> <li>masivní použití na internetových serverech, v superpočítačích, v drobné elektronice, zabudovaných systémech (auta, ledničky, průmyslové stroje)</li> <li>v domácnostech méně - spíše programátoři, technici a fanoušci - ale začíná i v komerční sféře (Windows značně potlačen politikou Microsoftu), použití Linux přináší několik výhod - lepší bezpečnost, snadná editovatelnost, levnější</li> <li>distribuce obvykle obsahuje DE (desktop environment - grafická podoba systému + kompletní sada grafických nástrojů pro práci s počítačem - např. GNOME, KDE, Cinnamon), program a systém pro instalování programů (atp, rmp, pacman), další programy usnadňující práci s počítačem (webový prohlížeč, kancelářské programy), přednastavení systému apod.</li> <li>základem správy a práce s Linuxem na vyšší úrovni zůstává terminál (převzato z Unixu), na rozdíl od Windows, který do terminálu přejal pár příkazů z DOSu, lze na Linuxu ovládat a nastavovat celý systém pouze přes terminál (výhoda u serverů, vzdálená správa)</li> <li>distribuce např. pro uživatele (Ubuntu, Mint, Fedora, MX), serverové (Debian, Rocky), přenosné (Tails, Slax), profesionální (Kali Linux - testování sítí), pro náročné (Gentoo, Arch)</li> <li>celý systém je svobodný a otevřený tj. každý si může prohlédnout a upravit zdrojové kódy, přispívat do projektu, vydávat vlastní verze</li> <li>hlavní výhodou je bezpečnost, podpora všemožných technologií</li> <li>Linux je největší projekt opensource, ke kterému se poté přidalo velké množství softwaru; část z něj dosáhla kvality komerčních programů a je používána i mimo Linux (Firefox, Libre Office, Blender, GIMP, VLC, Shotcut…)</li> </ul> <h3 id="os-pro-mobilní-telefony-tablety">OS pro mobilní telefony, tablety</h3> <ul> <li>před příchodem chytrých telefonů nebyl OS moc podstatných, telefony uměly volat, psát SMS + jednoduché hry</li> <li>základním problémem je hardware telefonu - malé rozměry, malá spotřeba, malé zahřívání a velký výkon - OS musí být specificky upraven pro konfiguraci každého zařízení, což nejde bez podpory výrobců</li> <li>1.smartphone představila firma Apple - vyrábí dodnes, určuje trendy na poli chytrých telefonů, má ale podobné nevýhody jako PC systém - malá konfigurovatelnost, uzavřenost jejich systému; výhodou je provázanost s ostatními produkty; drahé</li> <li>2.dnes používaný systém vyvíjí Google - Android <ul> <li>staví na Linuxu - i když Google si upravil Linux a nad ním staví dodnes</li> <li>stejně jako Linux upravitelný, ale uživateli tyto možnosti obvykle nejsou přístupné (systémy si upravují výrobci pro své telefony, na základě polotovaru od Google)</li> <li>upravitelnost systému - např. možnost změnit vzhled domovské obrazovky, instalace alternativních programů (část systému je natvrdo nastavena Googlem a výrobci)apod.</li> <li>řešení: rootnutí systému, to vyžaduje reinstalaci zavaděče a poté buď přeinstalování celého systému (alternativní derivace je např. LineagOS, GrapheneOS) nebo doinstalování binárního programu se (umožňujícího získat práva root) do současného systému - v tomto stavu už se systém téměř neliší od Linuxu</li> <li>je rozšířen i mimo telefony - chytré televize, tablety, auta</li> <li>kvůli licenci je základ Androidu vydáván jako svobodný software - Android Open source project; nad tím teprve staví Google a ostatní proprietární verze</li> <li>problémy s aktualizacemi</li> </ul> </li> <li>dodnes existuje několik nezávislých výrobců těchto systémů nebo úprav svobodného Androidu, ale tyto verze existují jen pro omezené spektrum zařízení</li> </ul> https://andy.ggu.cz/2023/04/10/trigonometrie/ 2023-04-10T00:00:00+00:00 2023-04-10T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#sinová-věta" id="markdown-toc-sinová-věta">Sinová věta</a></li> <li><a href="#kosinová-věta" id="markdown-toc-kosinová-věta">Kosinová věta</a></li> <li><a href="#další-trigonometrické-věty" id="markdown-toc-další-trigonometrické-věty">Další trigonometrické věty</a></li> </ul> <hr /> <p>Oblast goniometrie, která je věnována užití goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících, bývá označována jako <em>trigonometrie</em>.</p> <h2 id="sinová-věta">Sinová věta</h2> <blockquote> <p>Pro každý trojúhelník \(ABC\), jehož vnitřní úhly mají velikosti \(\alpha , \beta, \gamma\) a strany \(a,b,c\) platí</p> \[\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\] </blockquote> <p>Slovy:<br /> <strong>Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí protilehlých úhlů.</strong><br /> <em>Sinovou větu používáme</em> při řešení trojúhelníku, jsou-li dány</p> <ul> <li>délka jedné strany a velikosti dvou úhlů - vypočítáme délku strany;</li> <li>délky dvou stran a velikost úhlů proti jedné z nich - vypočítáme velikost úhlu.</li> </ul> <h2 id="kosinová-věta">Kosinová věta</h2> <blockquote> <p>Pro každý trojúhelník \(ABC\), jehož strany mají délky \(a,b,c\) a jehož vnitřní úhel proti stran+ \(BC\) má velikost \(\alpha\) platí</p> \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha.\] </blockquote> <p><em>Kosinovou větu používáme</em> pokud jsou zadané</p> <ul> <li>délky všech stran trojúhelníku (a chceme určit vnitřní úhly)</li> <li>délky dvou stran a úhel jimi sevřený</li> </ul> <h2 id="další-trigonometrické-věty">Další trigonometrické věty</h2> <p>Pro poloměr \(r\) kružnice opsané trojúhelníku \(ABC\) platí</p> \[r = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{c}{2 \sin \gamma}.\] <p>Pro obsah \(S\) každého trojúhelníku \(ABC\), jehož vnitřní úhly mají velikost \(\alpha , \beta , \gamma\) platí</p> \[S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} bc \sin \alpha = \frac{1}{2} ac \sin \beta\] https://andy.ggu.cz/2023/03/18/site-a-internet/ 2023-03-18T00:00:00+00:00 2023-03-18T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#počítačová-síť" id="markdown-toc-počítačová-síť">Počítačová síť</a> <ul> <li><a href="#dělení-sítí-podle-topologie" id="markdown-toc-dělení-sítí-podle-topologie">Dělení sítí podle topologie</a> <ul> <li><a href="#sběrnicová-topologie-uspořádání-počítačů-bus" id="markdown-toc-sběrnicová-topologie-uspořádání-počítačů-bus">Sběrnicová topologie uspořádání počítačů (BUS)</a></li> <li><a href="#hvězdicová-topologie-uspořádání-počítačů-star" id="markdown-toc-hvězdicová-topologie-uspořádání-počítačů-star">Hvězdicová topologie uspořádání počítačů (STAR)</a></li> <li><a href="#kruhová-topologie-uspořádání-počítačů-ring" id="markdown-toc-kruhová-topologie-uspořádání-počítačů-ring">Kruhová topologie uspořádání počítačů (RING)</a></li> <li><a href="#mesh" id="markdown-toc-mesh">MESH</a></li> </ul> </li> <li><a href="#dělení-sítí-podle-rozlehlosti" id="markdown-toc-dělení-sítí-podle-rozlehlosti">Dělení sítí podle rozlehlosti</a> <ul> <li><a href="#pan-personal-area-network---osobní-síť" id="markdown-toc-pan-personal-area-network---osobní-síť">PAN (Personal Area Network - osobní síť)</a></li> <li><a href="#lan-local-area-network---lokální-síť" id="markdown-toc-lan-local-area-network---lokální-síť">LAN (Local Area Network - lokální síť)</a></li> <li><a href="#man-metropolitan-area-network---městská-metropolitní-síť" id="markdown-toc-man-metropolitan-area-network---městská-metropolitní-síť">MAN (Metropolitan Area Network - městská, metropolitní síť)</a></li> <li><a href="#wan-wide-area-network---rozlehlá-síť" id="markdown-toc-wan-wide-area-network---rozlehlá-síť">WAN (Wide Area Network - rozlehlá síť)</a></li> <li><a href="#gan-global-area-network---globální" id="markdown-toc-gan-global-area-network---globální">GAN (Global Area Network - globální)</a></li> </ul> </li> <li><a href="#dělení-sítí-podle-role" id="markdown-toc-dělení-sítí-podle-role">Dělení sítí podle role</a> <ul> <li><a href="#client-to-server" id="markdown-toc-client-to-server">Client-to-server</a></li> <li><a href="#peer-to-peer" id="markdown-toc-peer-to-peer">Peer-to-peer</a></li> </ul> </li> <li><a href="#dělení-sítí-podle-vlastnictví" id="markdown-toc-dělení-sítí-podle-vlastnictví">Dělení sítí podle vlastnictví</a> <ul> <li><a href="#veřejná-datová-síť" id="markdown-toc-veřejná-datová-síť">Veřejná datová síť</a></li> <li><a href="#privátní-síť" id="markdown-toc-privátní-síť">Privátní síť</a></li> <li><a href="#virtuální-privátní-síť" id="markdown-toc-virtuální-privátní-síť">Virtuální privátní síť</a></li> </ul> </li> <li><a href="#hardware-počítačových-sítí" id="markdown-toc-hardware-počítačových-sítí">Hardware počítačových sítí</a> <ul> <li><a href="#pasivní-prvky" id="markdown-toc-pasivní-prvky">Pasivní prvky</a></li> <li><a href="#aktivní-prvky" id="markdown-toc-aktivní-prvky">Aktivní prvky</a></li> </ul> </li> <li><a href="#referenční-model-počítačové-sítě-osirm" id="markdown-toc-referenční-model-počítačové-sítě-osirm">Referenční model počítačové sítě OSI/RM</a></li> <li><a href="#internet" id="markdown-toc-internet">Internet</a></li> <li><a href="#architektura-tcpip" id="markdown-toc-architektura-tcpip">Architektura TCP/IP</a> <ul> <li><a href="#tcp" id="markdown-toc-tcp">TCP</a></li> <li><a href="#udp" id="markdown-toc-udp">UDP</a></li> <li><a href="#dns-domain-name-system" id="markdown-toc-dns-domain-name-system">DNS (Domain Name System)</a></li> <li><a href="#url-uniform-resource-locater" id="markdown-toc-url-uniform-resource-locater">URL (Uniform Resource Locater)</a></li> <li><a href="#vpn-virtual-private-network" id="markdown-toc-vpn-virtual-private-network">VPN (Virtual private network)</a></li> <li><a href="#firewall" id="markdown-toc-firewall">Firewall</a></li> <li><a href="#další-důležité-pojmy" id="markdown-toc-další-důležité-pojmy">Další důležité pojmy</a></li> <li><a href="#historie-internetu" id="markdown-toc-historie-internetu">Historie Internetu</a></li> <li><a href="#hw-nároky-připojení-k-internetu" id="markdown-toc-hw-nároky-připojení-k-internetu">HW nároky připojení k internetu</a></li> <li><a href="#sw-nároky-připojení-k-internetu" id="markdown-toc-sw-nároky-připojení-k-internetu">SW nároky připojení k internetu</a></li> <li><a href="#typy-připojení" id="markdown-toc-typy-připojení">Typy připojení</a></li> <li><a href="#jak-funguje-internet" id="markdown-toc-jak-funguje-internet">Jak funguje Internet</a></li> <li><a href="#sociální-sítě" id="markdown-toc-sociální-sítě">Sociální sítě</a></li> </ul> </li> <li><a href="#vlastnosti-informací-a-vyhledávání" id="markdown-toc-vlastnosti-informací-a-vyhledávání">Vlastnosti informací a vyhledávání</a> <ul> <li><a href="#vyhledávání" id="markdown-toc-vyhledávání">Vyhledávání</a></li> <li><a href="#dezinformace" id="markdown-toc-dezinformace">Dezinformace</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <blockquote class="note"> <p>Motivací ke vzniku tohoto článku, kromě vypracovávání maturitních otázek, byla ještě legendární přednáška <a href="https://vkane.cz/">Vojty Káně</a> o sítích na Matfyzu na Malé Straně v učebně S0 v jednu ráno :D</p> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/prednaska_v_S0.jpg" alt="Přednáška v S0" /></p> <p>Dále bych chtěla ještě poděkovat mému spolužákovi <a href="https://gitlab.com/Simon_Adamek">Šimonu Adámkovi</a> za pomoc při vypracovávání.</p> </blockquote> <h1 id="počítačová-síť">Počítačová síť</h1> <p><strong>Počítačová síť</strong> je spojení dvou a více počítačů tak, aby mohli navzájem sdílet své prostředky. Zahrnuje jak hardwarové prostředky (počítače, kabely a technická zařízení), softwarové prostředky (např. programy, pracující na základě síťových protokolů), tak i technické prostředky, které zabezpečují spojení a výměnu informací mezi počítači.</p> <p><strong>Pakety</strong> (Datové zprávy)</p> <ul> <li>základní jednotka informačního přenosu ve všech moderních počítačových sítích</li> <li>efektivní a spolehlivý přenos dlouhých zpráv</li> <li>přenos dat technologií přepojování paketů</li> <li>každý paket se skládá z řídících a uživatelských dat</li> </ul> <p><strong>Sdílení</strong> - poskytnutí různých zařízení jednou pracovní stanici druhé (vstupních a výstupních zařízení, ukládacích zařízení, připojení k internetu, datových souborů). Je připojeno přes nějaké rozhraní, např. USB.</p> <h2 id="dělení-sítí-podle-topologie">Dělení sítí podle topologie</h2> <p>Je důležité rozlišovat 2 druhy:</p> <ol> <li>Fyzická topologie - popisuje reálnou konstrukci sítě, jednotlivé uzly a jak jsou zařízení rozmístěna a pospojována kabely</li> <li>Logická topologie - jak data sítí protékají (nemusí kopírovat fyzickou)</li> </ol> <p>Nejjednodušší je přímé spojení dvou PC</p> <h3 id="sběrnicová-topologie-uspořádání-počítačů-bus">Sběrnicová topologie uspořádání počítačů (BUS)</h3> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/sbernice.jpg" alt="Sběrnicová topologie" /></p> <ul> <li>je jednoduchá, ale zastaralá - neefektivně řešené vysílání</li> <li>jedna centrální linka a na ní napojeny všechny počítače - účastníci sítě jsou připojeni na společné koaxiální vedení (tenký koaxiální kabel RG58/50 \(\Omega\)), prostřednictvím odbočovacích prvků (T-konektory BNC)</li> <li>na konci sběrnice musí být ukončovací člen - terminátor (50 \(\Omega\))</li> <li>ve sběrnicové topologii se nemusí vyskytovat centrální nebo řídící stanice (server)</li> <li>datové zprávy (pakety), se šíří všemi směry a všechny stanice k nim mají přístup \(\rightarrow\) kolize a potřeba opakovat vysílání (u velkých sítí řešeno Bridgem)</li> </ul> <h3 id="hvězdicová-topologie-uspořádání-počítačů-star">Hvězdicová topologie uspořádání počítačů (STAR)</h3> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/hvezda.png" alt="Hvězdicová topologie" /></p> <ul> <li>je tvořena uzly, které jsou připojeny do jednoho centrálního bodu (většinou kroucenou dvojlinkou UTP), do přepínače (SWITCH) nebo dříve do rozbočovače (HUB)</li> <li>u dnešního Ethernetu prakticky jediná využívaná</li> <li>výhodou této topologie je, že při výpadku jednoho segmentu sítě, ostatní uzly pracují bez problémů dále, může vysílat i více PC najednou</li> <li>nevýhoda: pokud selže centrální prvek, spadne celá síť</li> <li>dvojitá hvězda - 2 switche jako záloha</li> <li>nevýhodou je fatální porucha centrálního bodu (switche nebo hubu), potom nepracuje žádný z uzlů této sítě, které jsou k tomuto bodu připojeny kabelem UTP</li> <li>rozšířená hvězda - více hvězd spojených centrálními prvky (subsítě)</li> </ul> <h3 id="kruhová-topologie-uspořádání-počítačů-ring">Kruhová topologie uspořádání počítačů (RING)</h3> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/kruh.jpg" alt="Kruhová topologie" /></p> <ul> <li>představuje zapojení počítačů tak, že první je propojený s druhým, ten s třetím atd., až poslední opět s prvním - čímž vytváří kruh, uzavřen jiným zařízením (hub, router)</li> <li>datové zprávy (pakety) se předávají postupně jedním směrem mezi stanicemi - každý PC může posílat paket jen nejbližšímu sousedovi - vysílá vždy stanice, která vlastní token (pešek, právo vysílat)</li> <li>nevýhody: velmi komplikované zapojení nebo vypojení PC z kruhu, při výpadku jednoho PC vypadne celá síť (ne nutně)</li> <li>k zamezení poruchových stavů na optických kabelech se používá dvojité vedení orientované opačnými směry, které v případě poruchy stanice nebo přerušení optického spojení je schopno přemostit místo poruchy opačným směrem (FDDI)</li> <li>je řešen 2 technologiemi: <ol> <li>Token ring <ul> <li>v síti jeden náhodně vybraný PC, který celou síť moderuje (nikdo nesmí držet token příliš dlouho)</li> <li>fyzická topologie hvězda (centrum MAU - media access unit)</li> <li>v praxi síť dělena - více MAU</li> <li>logický kruh je pak vytvořen tak, že PC přijde z MAU paket a když není pro něj tak ho tam pošle zpátky</li> <li>obrázek</li> </ul> </li> <li>FDDI <ul> <li>fyzicky i logicky kruh</li> <li>robustnější, pro větší sítě (rekordní rozloha až 200 km)</li> <li>jako první využívala optiku (jednosměrná, proto kruh)</li> <li>používá dva kruhy (jeden záložní)</li> <li>concentrator - oddělení jedno (SAS) a dvoukruhové (DAS) sítě (DAS drahý)</li> </ul> </li> </ol> </li> </ul> <h3 id="mesh">MESH</h3> <ul> <li>full mesh - každý s každým (spíše u routerů páteřních sítí)</li> <li>partial mesh - některé spojení přímo jiné ne</li> </ul> <h2 id="dělení-sítí-podle-rozlehlosti">Dělení sítí podle rozlehlosti</h2> <p>Toto dělení je velmi subjektivní, dnes už v praxi málo využíváno. Bezvýznamné - neovlivňuje tok dat.</p> <h3 id="pan-personal-area-network---osobní-síť">PAN (Personal Area Network - osobní síť)</h3> <ul> <li>tvoří ji počítače umístěné v těsné blízkosti nebo jiná zařízení (telefony, tiskárny, atd.)</li> <li>pro přenos údajů se nejčastěji využívá bezdrátové připojení (IrDA, Bluetooth, atd.), u internetu se prakticky nevyužívá</li> <li>hlavním cílem sítě je přenos a synchronizace údajů</li> <li>přenosová rychlost obvykle dosahuje desítky Mb/s</li> </ul> <h3 id="lan-local-area-network---lokální-síť">LAN (Local Area Network - lokální síť)</h3> <ul> <li>je počítačová síť, kterou využívají domácnosti, podniky, instituce, školy, atd., typické je sdílení prostředků mezi počítači (tiskárny)</li> <li>pracuje v režimu neustálého spojení</li> <li>maximální vzdálenosti mezi počítači jsou stovky metrů až několik kilometrů</li> <li>většinou jsou umístěné v jedné nebo více blízkých budovách</li> <li>rychlost přenosu dat dosahuje řádově Gb/s</li> <li>technologie: přepínaný ethernet nebo Wi-Fi</li> </ul> <h3 id="man-metropolitan-area-network---městská-metropolitní-síť">MAN (Metropolitan Area Network - městská, metropolitní síť)</h3> <ul> <li>je speciálním případem LAN (několik málo spojených LAN, často optikou) , pro kterou je charakteristická větší rozloha jako pro standardní LAN</li> <li>zatímco klasická LAN je většinou využívána zaměstnanci vlastníka sítě, MAN slouží velkému množství různých uživatelů, kteří za umožnění přístupu do ní obvykle platí provozovateli této sítě</li> <li>např. Pražská akademická síť PASNET (sdružující VŠ)</li> </ul> <h3 id="wan-wide-area-network---rozlehlá-síť">WAN (Wide Area Network - rozlehlá síť)</h3> <ul> <li>používá prostředky pro dálkový přenos údajů a nevyžaduje neustálé spojení</li> <li>její rozloha je v podstatě neomezena</li> <li>spojuje počítače na větších územích (jako stát, kontinent) nebo i na celém světě</li> <li>rychlost WAN závisí na typu spojení a pohybuje se v řádu desítek Gb/s</li> <li>nejznámější sítí WAN je internet</li> </ul> <h3 id="gan-global-area-network---globální">GAN (Global Area Network - globální)</h3> <ul> <li>Internet = největší WAN = GAN</li> </ul> <h2 id="dělení-sítí-podle-role">Dělení sítí podle role</h2> <h3 id="client-to-server">Client-to-server</h3> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/klient_server.png" alt="Client to server" /></p> <ul> <li>je architektura založena na dvou typech počítačů, a to na <strong>serveru</strong>, který poskytuje služby nebo údaje tzv. podřazeným počítačům označovaným jako <strong>klienti</strong> (pracovní stanice nebo uzly)</li> <li>na jednom počítači může běžet i více serverových služeb a v rámci sítě může pracovat několik stanic jako server</li> <li>je základem internetu (DNS, HTTP, E-mail)</li> <li>s rostoucím počtem klesá kapacita</li> <li>výhody: snadná správa, údržba a bezpečnost</li> </ul> <h3 id="peer-to-peer">Peer-to-peer</h3> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/peer_to_peer.png" alt="Peer to peer" /></p> <ul> <li>je označení pro počítačovou síť, ve které jsou všechny pracovní stanice rovnocenné a každá z nich může, ale nemusí, vyčlenit část svých prostředků i ostatním stanicím (tiskárny, disková kapacita atd.)</li> <li>komunikují přímo</li> <li>v praxi je nastavení takové architektury komplikované, proto se používá server, který jen nastaví podmínky</li> <li>hlavní výhodou je, že s rostoucím počtem uživatelů roste kapacita sítě, použití u sdílení souborů</li> <li>výhodou tohoto zapojení je, že v případě poruchy libovolné stanice mohou ostatní bez omezení pokračovat v práci</li> <li>typický zástupce je BitTorrent - server se označuje jako tracker, ten (jako server) soubor rozdělí na části a pošle klientům, ti si ji mezi sebou vymění</li> </ul> <h2 id="dělení-sítí-podle-vlastnictví">Dělení sítí podle vlastnictví</h2> <h3 id="veřejná-datová-síť">Veřejná datová síť</h3> <ul> <li>síť zřízená společností, která zajišťuje přenos dat mezi klienty tj. zřídila síť, aby po ní (po zaplacení) mohli komunikovat klienti</li> </ul> <h3 id="privátní-síť">Privátní síť</h3> <ul> <li>síť buduje jedna organizace a ta za ni zodpovídá a používá je, může ale nemusí být připojen k internetu; používá se zvláštní rozsah IP adres; připojení ven je realizováno přes NAT (tj. celá síť vystupuje jako jeden homogenní celek)</li> </ul> <h3 id="virtuální-privátní-síť">Virtuální privátní síť</h3> <ul> <li>počítače v různých sítích spolu komunikují pomoci typicky šifrovaného protokolu - tváří se jako privátní síť</li> </ul> <h2 id="hardware-počítačových-sítí">Hardware počítačových sítí</h2> <p>Mezi technické (hardwarové) prvky sítě můžeme zařadit následující prvky:</p> <ol> <li>Pasivní prvky - zajišťují pouze přenos dat - patří sem kabely, konektory, ukončovací prvky (terminátory)</li> <li>Aktivní prvky - ty, které přenášená data zesilují, převádějí, nebo filtrují pro zajištění bezchybného odesílání paketů v počítačové síti</li> </ol> <h3 id="pasivní-prvky">Pasivní prvky</h3> <p><strong>Koaxální kabel</strong></p> <ul> <li>tvořil jej vnitřní vodič (měděný nebo postříbřený), kolem kterého je nanesena izolující vrstva dialektrika, na ní je naneseno vodivé opletení (stínění), které je překryto další izolující vrstvou (vnějším pláštěm)</li> <li>byl zakončen BNC konektorem, který se zasunuje do T konektoru a do síťové karty</li> <li>používaly se pro sběrnicovou topologii sítě, kde rychlost přenášených dat byla 10 Mb/s</li> <li>vlnová impedance kabelu byla 50 \(\Omega\), označení RG-59</li> </ul> <p><strong>Kroucená dvoulinka (twisted pair cable - TP cable)</strong></p> <ul> <li>je tvořena páry vodičů, které jsou po své délce pravidelným způsobem zkrouceny</li> <li>kroucení vodičů zlepšuje elektrické vlastnosti kabelu</li> <li>minimalizuje rušení mezi jednotlivými páry vodičů a snižuje se interakce mezi dvoulinkou a jejím okolím</li> <li>druhy TP kabelů: <ol> <li>UTP (Unshielded Twisted Pair) - nestíněná dvoulinka</li> <li>STP, FTP - stíněná dvoulinka, všechny nebo jednotlivé páry</li> </ol> </li> <li>kabel je zakončen konektorem RJ45</li> <li>slouží k přímému propojení 2 počítačů, k propojení více počítačů je potřeba aktivní síťový prvek (switch)</li> </ul> <p><strong>Optický kabel (fiber optic cable)</strong></p> <ul> <li>je založen na odlišném principu než předešlé kabely</li> <li>data nejsou přenášená jako elektrické impulsy v kovových vodičích, ale světelnými impulsy v optických vláknech (křemičité sklo, plast)</li> <li>optické kabely dosahují mnohonásobně vyšších přenosových rychlostí než kabely s metalickým jádrem (koaxální kabel, kroucená dvojlinka)</li> <li>existují dva druhy optických kabelů, které se liší způsobem vedení paprsku ve vlákně: <ol> <li>mnohovidová vlákna (Multi-mode)</li> <li>jednovidová vlákna (single-mode)</li> </ol> </li> </ul> <h3 id="aktivní-prvky">Aktivní prvky</h3> <p><strong>Síťové karty (NIC - network interface cards)</strong></p> <ol> <li>Rozhraní zajišťující přenos dat z počítače do sítě a naopak podle pravidel daných síťovými standardy (přístupová metoda, síťový protokol)</li> <li>Technicky mohou být řešeny pro koaxální kabel a BNC konektor, kroucenou dvoulinkou (UTP, STP), bezdrátové rozhraní (pro kmitočet 2.4 GHz nebo 5 GHz) nebo optický kabel</li> </ol> <p><strong>Bridge</strong></p> <ul> <li>linková (2.) vrstva ISO/OSI = pracuje na základě MAC adres (tabulka MAC -&gt; port)</li> <li>2 využití: <ul> <li>spojuje 2 sítě s různými technologiemi (např. TR a Ethernet)</li> <li>rozděluje Ethernet BUS na více kolizních domén (méně PC = méně kolizí)</li> </ul> </li> <li>pokud nemá záznam, posílá všude; pokud příjemce a odesílatel leží v jedné síti nedělá nic</li> <li>dnes nepoužívaný - nahrazen switchi</li> </ul> <p><strong>Opakovač (repeater)</strong></p> <ul> <li>první vrstva OSI/ISO</li> <li>je jednoduchý aktivní síťový prvek</li> <li>jeho úkolem je přijímat poškozený signál a opravený, zesílený a správně časovatelný jej poslat dále - především u sběrnicové, nelze mít dlouhý páteřní kabel kvůli zeslabování signálu (reapter data <strong>zesiluje</strong>)</li> <li>umožňuje zvýšit dosah přenosového kanálu bez ztráty kvality a obsahu signálu</li> <li>nedokáže filtrovat data (pakety), proto je rozesílá všem počítačovým stanicím v dané síti</li> <li>pošle data z jednoho portu na druhý, nepoužívá se</li> </ul> <p><strong>Rozbočovač (Hub, Koncentrátor)</strong></p> <ul> <li>funguje na principu opakovače (multiport repeater), veškerá data, která přicházejí od jednoho koncového uzlu okamžitě rozesílá všem ostatním zařízením</li> <li>u větších dochází ke zbytečnému přetěžování těch zařízení, kterým data ve skutečnosti nejsou určena</li> <li>hvězdicová topologie</li> </ul> <p><strong>Přepínač (Switch)</strong></p> <ul> <li>multiport bridge</li> <li>linková vrstva (tabulka CAM (contents addressable memory))</li> <li>základ zapojení do hvězdy</li> <li>je velmi podobný rozbočovači (HUBu) s tím rozdílem, že se chová jako “inteligentní” HUB</li> <li>analyzuje pakety a posílá je do té větve sítě, kde se nachází cílová adresa (filtrace paketů podle MAC adresy)</li> <li>tím dochází k menšímu zatížení daného segmentu sítě, než v případě použití rozbočovačů</li> <li>switch může plnit funkci tzv. mostu (bridge), dokáže fyzicky propojit několik částí (segmentů), lokální (místní) sítě a řídit komunikaci mezi nimi</li> <li>je taky základem technologie přepínaného ethernetu (náhrada za BUS)</li> </ul> <p><strong>Směrovač (Router)</strong></p> <ul> <li>3.síťová vrstva - pracuje na základě IP adres = spojuje různé sítě</li> <li>je to zařízení, které provádí směrování paketů v rozlehlé síti WAN (např. při připojení k internetu)</li> <li>propojuje počítače lokální sítě s počítači , které se nacházejí v jiných sítích</li> <li>pracuje s logickými IP adresami (IP4 nebo IP6)</li> <li>obsahuje tzv. směrovací (routovací) tabulku, ve které jsou zaznamenané informace o dalších směrovačích, které přísluší jiným sítím + ARP tabulky, sestavují se podle připojených sítí i dalších routerů</li> <li>pro každý příchozí paket najde ve směrovací tabulce podle IP adresy cílové sítě informaci o tom, kterému sousednímu směrovači má paket odeslat</li> </ul> <p><strong>Přístupový bod (Access point - AP)</strong></p> <ul> <li>přístupový bod komunikuje s bezdrátovými zařízeními, zabezpečuje směřování paketů mezi bezdrátovými zařízeními a také mezi kabelovou sítí</li> <li>přístup k AP může být zabezpečen pomocí filtrace MAC adres síťových zařízení, snažících se o připojení nebo přístupového klíče atd.</li> </ul> <p><strong>Gateway (Brána)</strong></p> <ul> <li>v počítačové síti má nejvyšší postavení</li> <li>jakékoli zařízení, které je schopné komunikovat pomocí více než jednoho protokolu - převádí data z jednoho formátu do jiného; lze aplikovat na libovolné vrstvě</li> <li>příkladem brány je počítač, který pomocí webové stránky přijme z internetu zprávu, kterou odešle do mobilní GMS sítě v podobě SMS zprávy</li> </ul> <h2 id="referenční-model-počítačové-sítě-osirm">Referenční model počítačové sítě OSI/RM</h2> <ul> <li>Open Systems Interconnection Basic Reference Model</li> </ul> <p>Popisuje a rozděluje síťovou komunikaci. protokoly a hardware. Dělí se do sedmi vrstev, při každé komunikaci musí data projít všemi vrstvami \(\rightarrow\) zbytečná komplikovanost a zátěž (především vrchní vrstvy jsou pro mnoho aplikací nepodstatné). Důvodem vzniku byla snaha o standardizaci internetové komunikace (SW i HW), aby sítě postavené jiným výrobcem mohly vzájemně komunikovat. Byl tedy vyvíjen pouze teoreticky a prakticky je odtržen od reality. <strong>Nikdy nebyl uveden do praxe, žádná síť nefunguje na jeho principech</strong>, díky svému detailnímu popisu a rozdělení je využíván pro základní popis obecného fungování sítí.</p> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/rm.webp" alt="Referenční model" /></p> <p><strong>Layer 1 - Fyzická vrstva</strong></p> <ul> <li>zajišťuje fyzické spojení mezi dvěma a více body (kabeláž, síťový hardware,…)</li> <li>nijak se nestará o data, jen je přenáší jako posloupnost reprezentovaných bitů</li> <li>obsahuje definice: způsobu přenosu signálu (napětí, světlo); parametry kabelů (maximální délka) a jejich koncovek (piny); frekvenci bezdrátových sítí; způsob komunikace (síťová, paralelní)</li> <li>patří zde zařízení, která nijak neupravují, ani nečtou data: hub, repeater, NIC - síťová karta, DSL modem</li> </ul> <p><strong>Layer 2 - Linková vrstva</strong></p> <ul> <li>umožňuje přenos rámců, v nich jsou data síťové vrstvy a jsou přenášeny fyzickou vrstvou</li> <li>nejdůležitější úkol “vytáhnout” z proudu dat L1 jednotlivé rámce, zkontrolovat je a případně předat L3</li> <li>u příjemce rámec zahazuje v případě, že data jsou určena pro jinou adresu MAC, nebo nesedí kontrolní součet</li> <li>pracuje s MAC adresami, adresy jednotlivých síťových karet, jiné pro každou karu a nezměnitelné</li> <li>počítá s propojením “každý s každým” \(\rightarrow\) neřeší směrování (při směrování router nastavuje MAC dalšího routeru na cestě)</li> <li>dále se dělí na několik podvrstev, které zajišťují jednotlivé úkoly <ul> <li>podvrstva MAC <ul> <li>řeší adresování (v případě více než dvoubodového spoje), doručování paketů v lokální síti</li> </ul> </li> <li>podvrstva Logical Link Control (LLC) <ul> <li>řízení přístupu k médie; u starších sdílených linek token ring, sběrnice (naslouchání)</li> <li>původně osmá vrstva</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>zařízení: switch (vyjímečně L3) a bridge</li> </ul> <p><strong>Layer 3 - Síťová vrstva</strong> a <strong>Layer 4 - Transportní vrstva</strong></p> <ul> <li>viz TCP/IP</li> </ul> <p><strong>Layer 5 - Relační vrstva</strong></p> <ul> <li>zabývá se řízením spojení mezi systémy (obnovení při výpadku, synchronizace, určení vysílajícího zařízení)</li> <li>např.: <ul> <li>protokol Samba - využíván ve Windows např. pro sdílení tiskáren; obecně se řadí do 7. vrstvy, ale má některé vlastnosti navíc</li> <li>NetBIOS - dříve používané API pro komunikaci v síti; umožňoval vytvoření sítě (v rámci existujících sítí) s vlastními jmény PC a snadnou komunikaci a spojení mezi nimi - asi jediný opravdový L5 protokol</li> </ul> </li> <li>asi nejzbytečnější vrstva - u většiny komunikace by vůbec ničemu nesloužila</li> </ul> <p><strong>Layer 6 - Prezentační vrstva</strong></p> <ul> <li>zabývá se strukturou dat (ne významem)</li> <li>úkolem je transformovat data do tvaru, který umí zpracovat druhá strana (např změna znaku konce řádku, změna kódování textu)</li> <li>tj. obě strany by ve výsledku měly na 7. vrstvě mít stejný výstup</li> <li>patří zde i komprese a dekomprese dat a jejich šifrování a dešifrování</li> <li>příklady (z TCP/IP): TLS, SSL, MIME</li> </ul> <p><strong>Layer 7 - Aplikační vrstva</strong></p> <ul> <li>umožňuje aplikacím komunikovat po síti</li> <li>základem tzv. aplikační entity - služby využívané programy pro komunikaci (v původní koncepci byl i program součástí této vrstvy dnes jsou řazeny “nad model” a entity využívají jako knihovny)</li> <li>samostatné aplikační entity OSI/RM nejsou (jako model) používány</li> <li>z TCP/IP sem lze zařadit: Telnet a SSH (ovládání počítačů), FTP a NFS (sdílení souborů), SMTP a IMAP (emaily), HTTP</li> </ul> <h2 id="internet">Internet</h2> <p>Internet je celosvětový systém propojených počítačových sítí, ve kterých mezi sebou počítače komunikují a sdílejí data. Počet připojených zařízení se podle odhadů pohybuje v desítkách miliard.</p> <p>Zahrnuje množství služeb k různým účelům:</p> <ul> <li>nejtypičtější je služba WWW (k odkazování a prohlížení webových stránek a souborů), email instant messaging, videohovory, cloudové ukládání a zálohování souborů… <ul> <li>přes systém WWW je dnes distribuováno velké množství služeb - sociální sítě, bankovnictví, e-shopy, souborová úložiště i plnohodnotné aplikace (Photopea, Office)</li> </ul> </li> <li>k významu internetu přispěl i trend poskytování výkonných počítačových prostředků přes síť - cloud computing</li> <li>využití pro hostování umělé inteligence, aplikací, zálohování, správu vlastního výkonného serveru, shromažďování a práci s daty z různých senzorů</li> </ul> <h2 id="architektura-tcpip">Architektura TCP/IP</h2> <p><img src="/assets/images/site-a-internet/tcp.png" alt="Architektura TCP/IP" /></p> <p>Model TCP/IP byl vyvíjen “za pochodu” firmami, které tvořily základ prvního internetu (DARPA, AT&amp;T,…). Vývoj probíhal od jednoduššího ke složitějšímu. Základní rozdíl od OSI/RM, který byl vytvářen teoreticky \(\rightarrow\) odtržen od reality, nereaguje na reálné problémy a požadavky (např. potřeba řízení toku dat podle vytížení není dodnes implementována).</p> <p>Navzdory názvu obsahuje kompletní specifikaci většiny potřebných (a dnes používaných) protokolů, rozdělení a parametry síťového HW, popisy komunikace i orgány starající se o správu internetu (IETF, IANA, ICANN) a formát standardizace (RFC dokumenty), definuje také formát IP adres, systém DNS a mnoho dalšího.</p> <p>Pokud nějaká technologie existovala už předtím a byla úspěšná a používaná, implementuje ji nezměněnou \(\rightarrow\) neprosazuje za každou cenu vlastní řešení (proto spojuje L1 a L2 - vše už objeveno, netřeba nic přidat ani klasifikovat). Základní schéma podobné OSI/RM (vrstvy), ale <strong>snižuje počet vrstev na 4</strong></p> <ul> <li>je kladen větší důraz na síťovou část, neřeší tolik část zpracování dat, věc softwaru ne internetu</li> <li>preferuje jednoduchost nespojitá a nespolehlivá komunikace</li> <li>jediná “komplikovanost” společná s OSI/RM je nutnost využít všechny vrstvy (ale je jich alespoň méně) až na výjimky (dvoubodé spoje) se musí použít i Ip adresa i v LAN</li> </ul> <p>Obsahuje tedy 4 vrstvy:</p> <ul> <li>Aplikační (v OSI Aplikační + Prezenční + Relační), ale neobsahuje všechny služby - model se stará jen o síťovou komunikaci</li> <li>Transportní</li> <li>Síťová</li> <li>Vrstva síťového rozhraní (v OSI Linková + Fyzická) <ul> <li>TCP/IP dodefinovává pouze 2 technologie (pro spojení 2 PC point-to-point) zbytek, už nepoužívaný, nemění (na rozdíl od ISO/OSI, který definoval znovu)</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Layer 2 - Síťová (OSI/RM 3)</strong></p> <ul> <li>stará se o směrování dat mezi uzly internetu (tj. mezi sítěmi)</li> <li>2 úkoly: <strong>routing</strong> (nalezení vhodné cesty) a <strong>forwarding</strong> (faktické poslání dat určeným směrem)</li> <li>navíc: zabránění zahlcení (congestion control) a teoreticky QOS</li> <li>je navržena jako co nejjednodušší, nejrobustnější a nejrychlejší ??</li> <li>přenáší IP datagramy</li> <li>základní zařízení je router (směrovač) - řeší jak routing tak forwarding; propojuje vzájemné sítě <ul> <li>má povědomí o topologii sítí, do kterých směřuje směrovací tabulky</li> <li>pro sdílení informací o sítích mezi routery se používá více protokolů</li> <li>pro zmenšení směrovacích tabulek je internet dělen na Autonomní systémy (množina sítí pod jedním fyzickým subjektem; např. poskytovatel připojení ISP), pak dělíme směrování na interní (v rámci AS) a externí (mezi AS)</li> <li>např. BGP (jediný externí), OSPF, RIP, IGRP…</li> <li>snaha o zrychlení komunikace = snahy o obcházení původního modelu \(\rightarrow\) peering přímé spojení dvou nebo více sítí nehledě na logiku (routování složitý proces)</li> </ul> </li> <li>směřování probíhá podle IP adresy, IP je zároveň prakticky jediný protokol <ul> <li>dnes existují 2 verze: IPv4 a IPv6 (protokol i adresy)</li> <li>IPv6 vznikla, když začaly docházet IPv4 adresy (definitivně došly v 2015)</li> <li>mnoho operátorů kvůli drahému přechodu dlouhou dobu implementovalo všemožné techniky, aby se vyhnuli vyčerpání IPv4</li> <li>kromě samotného směrování, obsahuje IP datagram ještě tyto informace: <ul> <li>TTL (time to live) - brání zacyklení, každý router toto číslo snižuje o 1, pokud dosáhne nuly, je zahozen a zpátky pošle zprávu “Nebylo možno doručit”</li> <li>Fragmentace - každá síť má nastavenou hodnotu MTU (maximum transmission unit), která definuje jak velký objem dat můžeme poslat. Pokud je datagram větší, dochází k fragmentaci tj. rozdělení na několik samostatných IP datagramů (každý obsahuje informace z jaké “série” pochází a kolikátý je)</li> <li>kontrolní součty k ověření nepoškození datagramu (vyžadováno, ale prakticky na nic, protože stejnou položku už obsahuje nižší linková vrstva)</li> <li>DSCP (differentiated services code point) implementace QOS</li> </ul> </li> <li>IPsec <ul> <li>upravená verze IP protokolu, umožňující šifrování a autentizaci</li> <li>původně se podle filozofie TCP/IP šifrování řešilo až na úrovni aplikací</li> <li>přidání podpory do 3. vrstvy má značné výhody - podpora v OS = aplikace jednodušší (pošle data a ta se automaticky šifrují a na druhé straně dostane aplikace od systému dešifrovaná data)</li> <li>navíc aplikační protokoly často omezeny jen na některé služby (SSH), IPsec univerzální</li> </ul> </li> <li>IPv4 <ul> <li>skládá se ze 4 oktetů (osm bitů), obvykle zapisována v desítkové soustavě, odděleno tečkou</li> <li>je rozdělena na 2 části: network (síťová) a host</li> <li>síťová je pro danou síť stále stejná a mění se pouze host</li> <li>pro oddělení se používá “adresa” subnet mask</li> </ul> </li> <li>IPv6 <ul> <li>16-ti bytové adresy; zapisuje se jako 8x4 16-tková čísla oddělena tečkami</li> <li>jednodušší paket (už ne datagram), volitelné součásti (pokud není fragmentováno, neobsahuje zbytečně fragmentací položky), podpora mobility (stejná IP v rámci různých podsítí, u mobilů a NTB), poviný IPsec, povinně QOS</li> <li>zatím není příliš využíváno: na IPv4 stojí všechny služby DNS, routovací tabulky a protokoly, hardware… přechod velmi drahý a z pohledu zákazníka nepřináší zjevné výhody</li> </ul> </li> <li>ICMP <ul> <li>druh IP datagramu, sloužící ne k přenosu dat, ale zpráv</li> <li>např. informace o vypršení TTL, překročení MCU, neexistence služby na požadovaném portu, PING (ověření, jestli je IP dostupná)</li> </ul> </li> <li>ARP <ul> <li>používá se ke zjištění MAC adresy k IP</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Layer 3 - Transportní (OSI/RM 4)</strong></p> <ul> <li>zajišťuje předávání dat mezi systémy, navázání a ukončení spojení</li> <li>je-li požadována, garantuje doručení dat</li> <li>umožňuje rozlišit více odesílatelů z jednoho uzlu (pracuje s porty) tj. různé servery/klienty <ul> <li>tzv. multiplex (sběr dat od více služeb a jejich společný přenos) a demultiplex (data ze síťové vrstvy dělí mezi jednotlivé služby)</li> <li>porty se dělí podle registrace u IANA</li> </ul> </li> <li>řídí tok dat (řeší zahlcení, odesílání dat po zpracování předchozích, znovu odeslání dat, posílání dat po částech podle kapacity linky)</li> <li>v TCP/IP 2 protokoly: TCP a UDP</li> </ul> <h3 id="tcp">TCP</h3> <p>Funguje spojovaně, nejdřív se naváže spojení, domluví se jeho parametry a pak se posílají data, na konci dojde ke “konkrétnímu” ukončení spojení. Data se posílají po předem domluvené trase a zajišťuje spolehlivost dodání dat. Komunikace probíhá pomocí bufferů; server zná jeho velikost a posílá do něj data až do zaplnění; z druhé strany zpracovává klient; po uvolnění určité části je znovu zaplněn. Volné místo v bufferu klienta se označuje jako “okénko” (kolik dat ještě můžu přijmout). Pracuje s tzv. segmenty (data jsou rozdělena a znovu spojena, vyšším vrstvám se předává celá zpráva např HTML stránka přijata v několika segmentech a zobrazena jako výsledek). Poměr velikost bufferu:okénka:velikost segmentu ovlivňuje rychlost a kvalitu přenosu (v praxi nutno vzít v potaz i nižší vrstvy)</p> <h3 id="udp">UDP</h3> <p>Nespojované (data se pošlou do sítě a je na druhé straně, aby na ně čekala a přijala je) a nespolehlivé (pošlu a nestarám se). Jsou jednodušší, menší nároky. Pracuje s UDP datagramy (neplést s IP), vzhledem k tomu, že nepoužívá parametry pro spojovanou komunikaci může přenést mnohem více data ve stejně velkém “balíku”. Např. stream videa; začnu sdílet a je na uživatelích, aby je připojily</p> <h3 id="dns-domain-name-system">DNS (Domain Name System)</h3> <p>Byl standardizován v rámci TCP/IP modelu (samotný protokol na Aplikační vrstvě). Slouží k překladu mezi obecnějším názvem služby (doménové jméno) a jeho IP reprezentací (uživatel není nucen si pamatovat IP adresy serverů). S rozvojem internetu přebírá i další funkce: dnes funguje jako univerzální internetová databáze (emaily, informace pro internetové služby - facebook, google, informace pro prohlížeč, nebo easter eggs). Rozděluje se podle typu záznamů (každý záznam obsahuje typ a jednu nebo více hodnot), např. A (IPv4 adresa), AAAA (IPv4), NS (odkaz na další DNS server), TXT (poznámky), …</p> <p>Má hierarchickou strukturu (decentralizovaná jako zbytek internetu):</p> <ul> <li>základem je 13 kořenových (root) serverů, které obsahují adresy TLD serverů</li> <li>druhou úroveň tvoří servery pro domény nejvyšší úrovně (top-level domain)</li> <li>dále se dělí na: <ul> <li>národní (ccTLD; country code): cz, sk, de, at</li> <li>generické (gTLD) org, gov, com, edu</li> <li>geografické: london, ny, wein</li> <li>firemní</li> <li>infrastrukturní</li> <li>rezervované</li> </ul> </li> <li>samotné adresy webových stránek se neukládají do TLD, dalším mezistupněm jsou servery registrátora, který zajišťuje zveřejnění adresy na internetu</li> <li>počet úrovní je v podstatě neomezený (např. <a href="https://kdm.karlin.mff.cuni.cz/">kdm.karlin.mff.cuni.cz</a> - česko, Karlova Univerzita, MatFyz, Karlín, Katedra didaktiky) <ul> <li>seznam všech adres pro jednu doménu se nazývá zóna</li> </ul> </li> <li>obvykle PC nekomunikuje přímo s root servery, ale s tzv. resolverem (druh DNS serveru), kterému předá požadavek a on mu vrátí adresu - výhodou cashování, resolver si pamatuje často používané adresy a vrací je rychleji a bez zatěžování root serverů</li> </ul> <p>DNSSEC</p> <ul> <li>systém může snadno být zneužit k hackingu, stačí když hacker přesvědčí PC, že je DNS serverem a může snadno poskytnout počítači jinou IP adresu (uživatel to nepozná, protože v příkazovém řádku je správná adresa, dnes řeší i HTTPS)</li> <li>využívá dvojice klíčů a hierarchické struktury DNS (každý záznam je podepsán klíčem, který je podepsán klíčem vyšší úrovně; tzv. řetězec důvěry končící u root serveru)</li> </ul> <h3 id="url-uniform-resource-locater">URL (Uniform Resource Locater)</h3> <ul> <li>adresování na aplikační vrstvě (nižší vrstvy končí adresování u portu; specifické služby).</li> <li>specifikuje co chceme aby služba vrátila (text, obrázek, video…)</li> <li>URL typ URI (Uniform Resource Identifier) - vzhledem k tomu, že z praktických důvodů je jeho jediným druhem jsou pojmy často zaměňovány <ul> <li>standart přesné specifikace objektu</li> <li>2 přístupy URL (kde to přesně je) a URN (co to přesně je)</li> <li>příkladem URN je ISBN u knih, z praktických důvodů se v internetu nevyužívá</li> </ul> </li> <li>standart URL obsahuje několik schémat pro různé služby (odděleno dvojtečkou schéma:specifická část) <ul> <li>např. https://b-g.cz</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="vpn-virtual-private-network">VPN (Virtual private network)</h3> <ul> <li>umožňuje spojit více počítačů, na různých fyzických místech a z různých sítí do jedné zdánlivě homogenní (spojené počítače mají v rámci VPN vlastní IP adresu).</li> <li>navíc poskytuje zabezpečený, šifrovaný přenos dat mezi počítači (řeší případ jak bezpečně přenést data mezi počítači veřejného internetu).</li> <li>funguje na principu vytvoření tunelu mezi počítači nebo routery, přes který se poté posílají data</li> <li>využívá se ke spojení více sítí, zpřístupnění služeb vnitřní sítě některým počítačům z internetu, k anonymizaci IP (připojením se k VPN serveru a přes něj prohlížím internet), obcházení geografických omezení, bezpečné připojení ve veřejné Wi-Fi síti</li> <li>nejpoužívanější protokoly (programy): Wireguard, OpenVPN, IPsec, SSH</li> <li>služby: NordVPN, ProtonVPN, ExpressVPN</li> </ul> <h3 id="firewall">Firewall</h3> <ul> <li>softwarový program nebo hardwarové zařízení filtrující internetový provoz</li> <li>velmi široké využití</li> <li>původní byl požadavek zabezpečit, aby se z internetu do sítě dostaly pouze specifičtí klienti (IP, port)</li> <li>dnes využíváno i k blokování přístupu na webové stránky, filtrování emailů (spam, viry) nebo pro optimalizaci rychlosti (cache webových stránek, DNS)</li> <li>existuje množství technologií, podle vrstvy, na které pracují a sofistikovanost</li> <li>dnes firewall posuzuje např. <ul> <li>kdo je odesílatel a příjemce (adresy i porty)</li> <li>jestli paket patří do již existujícího spojení a kdo ho navázal (stavový filtr)</li> <li>jaká data obsahuje na aplikační vrstvě (obvykle posuzují HTTP, FTP, mail…)</li> </ul> </li> <li>v Linuxu implementováno pomocí nftables - tabulek nastavujících, jak se chovat k určitým paketům</li> </ul> <h3 id="další-důležité-pojmy">Další důležité pojmy</h3> <ul> <li><strong>IANA (Internet Assigned Numbers Authority)</strong> - je organizace, která dohlíží celosvětově na přidělování IP adres a spravuje kořenové DNS</li> <li><strong>IP adresa</strong> jednoznačně identifikuje síťové rozhraní v síti, která používá IP (internetový protokol). V současné době se používá IPv6, která je 128bitová, dříve používané IPv4 jsou již skoro vyčerpány</li> <li><strong>MAC adresa (Media Access Control)</strong> - identifikátor síťového zařízení. Je přiřazována síťové kartě při výrobě (fyzická adresa). Skládá se z 48bitů (šestice dvojciferných hexadecimálních čísel oddělených pomlčkami nebo dvojtečkami).</li> <li><strong>WWW (World Wide Web)</strong> - <strong>(celosvětová pavučina)</strong> - jde o službu, poskytující informace ve formě hypertextu</li> <li><strong>HTTP (HTTPS) (Hyper Transfer Protocol)</strong> - po zadání požadavků na získání informací naváže spojení <em>TCP</em> a připojí se na port cílového počítače (<em>_HTTP 80</em> nebo <em>HTTPS 443</em>)</li> <li><strong>HTML (Hyper Text Markup Language)</strong> - jazyk, zabezpečující zobrazení a formátování textu, případně grafických informací webových stránek.</li> <li><strong>FTP (File Transfer Protocol)</strong> - služba, která umožňuje přenos souborů. Pracuje na portech <em>20</em> (data) a <em>21</em> (příkazy). Na FTP serveru je možno vytvořit libovolný počet účtů a přidělit jim různá práva pro přístup</li> <li><strong>E-mail (electronic mail) - elektronická pošta</strong>, která umožňuje psaní a příjem zpráv s tím, že adresát na libovolném místě ve světě dostane zprávu téměř okamžitě</li> <li><strong>E-mailová schránka</strong> - má svoji jedinečnou elektronickou (e-mailovou) adresu. Je složena ze dvou částí spojených znakem <code class="language-plaintext highlighter-rouge">@</code>. První část identifikuje uživatele a druhá část server, kde se nachází jeho e-mailová schránka.</li> </ul> <h3 id="historie-internetu">Historie Internetu</h3> <p>Vývoj komunikačních sítí můžeme datovat až k poštovní síti, telegrafní síti (budování telegrafních sloupů a drátových rozvodů, později bezdrátové) a telefonní síti.</p> <p>První myšlenka vznikla během studené války - potřeba decentralizovat náhrady za telefonní síť s ústřednami (v případě výpadku ústředny bez připojení velká oblast).</p> <p>1946 - první elektronkový počítač ENIAC, 1969 - první počítačová síť ARPAnet; určená pro účely americké armády a došlo k propojení 4 amerických univerzit. Projekt byl financován ministerstvem obrany USA, důvodů pro vznik počítačové sítě bylo několik:</p> <ul> <li>experiment pro využití přepojování paketů v síti</li> <li>umožnit vzdálený přístup k počítačům</li> <li>úspěšná komunikace v případě jaderné války</li> <li>zajistit fungování v případě zničení některých jejich částí (síť neměla centrální složku)</li> </ul> <p>1973 se připojilo Norsko a Spojené Království, v 80.letech síť rozdělena:</p> <ul> <li>MILNET - vojenská počítačová síť</li> <li>NSFNET - síť pro vědu a výzkum</li> <li>ARPAnet - původní univerzitní síť</li> </ul> <p>V 90. letech počátky komerční sítě Internet. Internet jako celek nemá žádného vlastníka, existují pouze konkrétní majitelé dílčích sítí. ČR připojena k Internetu v roce 1992.</p> <h3 id="hw-nároky-připojení-k-internetu">HW nároky připojení k internetu</h3> <ul> <li>hardwarové nároky - připojení k internetu není výpočetně náročné, minimální požadavek NIC - síťová karta, nebo WiFi karta a zavedení internetu do domácnosti,</li> </ul> <h3 id="sw-nároky-připojení-k-internetu">SW nároky připojení k internetu</h3> <p>Softwarové nároky se odvíjejí od toho, co chceme dělat</p> <p><strong>Pro uživatele</strong></p> <ul> <li>je základem samozřejmě podpora v OS a připojení počítače k síti</li> <li>minimem je dnes webový prohlížeč - Chrome, Firefox, Internet Explorer :)</li> <li>mailový klient je obvykle integrován do prohlížeče, ale samostatná aplikace umožňuje prohlížení více schránek najednou</li> <li>další např. pro synchronizaci souborů (Google Drive, Onedrive), videohovory (Skype, Microsoft Team), instant messaging (převážně mobilní zařízení; Messenger, WhatsApp, Telegram, Signal)</li> <li>trend je spíše převádění dříve lokálních aplikací do online podoby než obráceně - většina služeb má i webové rozhraní</li> <li>pro poskytování služeb po internetu je potřeba server dané služby (HTTP, SSH, FTP)</li> <li>na serveru často běží další program a server je jen prostředek ke komunikaci s klientem</li> </ul> <h3 id="typy-připojení">Typy připojení</h3> <ul> <li>připojení zajišťuje poskytovatel internetu - ISP</li> <li>u nás ještě existuje společnost CETIN, vlastníci celou fyzickou infrastrukturu (kabelová vedení, DSLAMY), kterou ISP pronajímá (např. natažení optiky k novostavbě neřeší operátor, ale právě CETIN, nebo zrychlení technologie xDSL je záležitost právě CETINu)</li> <li> <p>celorepublikově 3 největší - 02, T-Mobile, Vodafone</p> </li> <li><strong>xDSL</strong></li> <li><strong>mobilní/LTE</strong> internet</li> <li>Wi-Fi internet</li> <li>Internet přes kabelové televizní rozvody</li> <li>optický kabel</li> <li>satelit</li> <li>spolky</li> </ul> <h3 id="jak-funguje-internet">Jak funguje Internet</h3> <p>Internet pracuje na základě protokolů TCP/IP.</p> <ul> <li><strong>TCP</strong> - protokol transportní vrstvy zabezpečuje spojení a kontrolu doručení údajů (paketů)</li> <li><strong>IP</strong> - protokol síťové vrstvy zajišťuje vlastní přenos, přičemž cíl identifikuje prostřednictvím jeho IP adresy a portu (služby, aplikace), přes který komunikuje</li> <li>Prostřednictvím adresy IPv4 (32b) nebo dnes adresy IPv6 (128b) můžeme identifikovat počítač v rámci sítě WAN nebo LAN</li> <li>S IP adresou však pracují směrovače (routery) na síťové vrstvě komunikačního modelu</li> <li>Uživatelé pracují s doménovými jmény, které jsou DNS servery převáděny na adresy IP</li> </ul> <p><strong>Překlad doménových jmen na IP adresy a opačně</strong></p> <ol> <li>Zajišťuje systém DNS (Domain Name System), tvoří jej soustava navzájem spolupracujících serverů s databázemi obsahujícími údaje o doménách a přiřazených IP adresách</li> <li>Po zadání adresy uživatelem se tato adresa odešle na DNS server, který pro ni vyhledá IP adresu cílového počítače</li> <li>IP adresa se vrací jako výsledek dotazu a jejím základě, směrovače sestaví cestu k adresátovi, uživatelův počítač jej kontaktuje</li> </ol> <p><strong>Adresa URL (Uniform Resource Locator)</strong></p> <ul> <li>Celosvětový standard</li> <li>Obsahuje 3 části: <ol> <li>identifikace služby typu objektu nebo protokolu, jehož prostřednictvím se získává přístup k objektu</li> <li>adresa uzlu v počítačové síti zadávaná prostřednictvím IP adresy nebo doménového jména</li> <li>relativní adresa v rámci uzlu a jeho jméno</li> </ol> </li> </ul> <h3 id="sociální-sítě">Sociální sítě</h3> <p>Virtuální internetový prostor, na kterém má každý registrovaný uživatel svůj profil a může posílat zprávy a sdílet soubory s ostatními uživateli. Obecně se sem řadí i internetová diskuzní fóra; obvykle zaměřena na jedno nebo více témat, např. Stack OverFlow, ČSFD. Dnes nejznámější sociální sítě: Facebook, Instagram, TikTok atd.</p> <h2 id="vlastnosti-informací-a-vyhledávání">Vlastnosti informací a vyhledávání</h2> <p>Informace v informatice je definována jako kódovaná data, která lze počítačově zpracovat a uložit, při vysílání je to protiklad šumu</p> <p>Vlastnosti:</p> <ul> <li>pravdivá</li> <li>srozumitelná - různé jazyky, různé kódy, šifrování</li> <li>relevantní</li> <li>etická</li> </ul> <h3 id="vyhledávání">Vyhledávání</h3> <ul> <li>pro vyhledávání informací na internetu se dnes používají webové vyhledávače - tvoří si seznam webových stránek indexováním, během toho procesu si zároveň ukládá podstatné části webů</li> <li>základem je vyhledávací robot (slangově spider), který se snaží projít všechny weby na internetu a zaindexovat je (stránku lze přidat ručně, nebo jsou nalézány pomocí odkazů na již nalezených webech, index je postupně obnovován)</li> <li>samotné vrácení seznamu stránek na základě uživatelova požadavku závisí na množství parametrů</li> <li>SEO - soubor technik, jak udělat stránku “hezčí” pro robota, obsahuje soubor doporučení, jak stránku vytvořit, aby se umístila na předních místech seznamu</li> <li>vyhledávače: Google, DuckDuckGo, Bing, Yahoo; v Česku Seznam</li> <li>dříve se používaly tzv. katalogy</li> </ul> <h3 id="dezinformace">Dezinformace</h3> <p>Na webových stránkách, blozích nebo sociálních sítích se vyskytuje velké množství informací a s tím se rozmáhá i trend záměrného šíření informací, které jsou lživé (dezinformace, fake news). Je často zaměňována s hoaxy, které ale typicky mají více recesivní povahu a snaží se vyvolat paniku. Příkladem dezinformací můžou být některé “zpravodajské” weby, které schválně manipulují s fakty - Sputnik, AC24,…</p> https://andy.ggu.cz/2023/03/07/funkce/ 2023-03-07T00:00:00+00:00 2023-03-07T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#funkce-a-její-graf" id="markdown-toc-funkce-a-její-graf">Funkce a její graf</a> <ul> <li><a href="#definice-funkce" id="markdown-toc-definice-funkce">Definice funkce</a></li> <li><a href="#graf-funkce" id="markdown-toc-graf-funkce">Graf funkce</a></li> <li><a href="#obor-hodnot-funkce" id="markdown-toc-obor-hodnot-funkce">Obor hodnot funkce</a></li> <li><a href="#rostoucí-a-klesající-funkce" id="markdown-toc-rostoucí-a-klesající-funkce">Rostoucí a klesající funkce</a></li> <li><a href="#sudá-a-lichá-funkce" id="markdown-toc-sudá-a-lichá-funkce">Sudá a lichá funkce</a></li> <li><a href="#omezená-funkce" id="markdown-toc-omezená-funkce">Omezená funkce</a></li> <li><a href="#minimum-a-maximum-funkce" id="markdown-toc-minimum-a-maximum-funkce">Minimum a maximum funkce</a></li> <li><a href="#inverzní-funkce" id="markdown-toc-inverzní-funkce">Inverzní funkce</a></li> <li><a href="#lineární-funkce" id="markdown-toc-lineární-funkce">Lineární funkce</a> <ul> <li><a href="#definice-lineární-funkce" id="markdown-toc-definice-lineární-funkce">Definice lineární funkce</a></li> <li><a href="#graf-lineární-funkce" id="markdown-toc-graf-lineární-funkce">Graf lineární funkce</a></li> <li><a href="#některé-vlastnosti-lineárních-funkcí" id="markdown-toc-některé-vlastnosti-lineárních-funkcí">Některé vlastnosti lineárních funkcí</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kvadratické-funkce" id="markdown-toc-kvadratické-funkce">Kvadratické funkce</a> <ul> <li><a href="#grafy-kvadratických-funkcí" id="markdown-toc-grafy-kvadratických-funkcí">Grafy kvadratických funkcí</a></li> <li><a href="#grafy-kvadratických-funkcí-při-řešení-rovnic-a-nerovnic" id="markdown-toc-grafy-kvadratických-funkcí-při-řešení-rovnic-a-nerovnic">Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic</a></li> </ul> </li> <li><a href="#lineární-lomené-funkce" id="markdown-toc-lineární-lomené-funkce">Lineární lomené funkce</a> <ul> <li><a href="#nepřímá-úměrnost" id="markdown-toc-nepřímá-úměrnost">Nepřímá úměrnost</a></li> </ul> </li> <li><a href="#mocninné-funkce" id="markdown-toc-mocninné-funkce">Mocninné funkce</a> <ul> <li><a href="#mocninné-funkce-s-přirozeným-exponentem" id="markdown-toc-mocninné-funkce-s-přirozeným-exponentem">Mocninné funkce s přirozeným exponentem</a></li> <li><a href="#mocninné-funkce-s-celým-exponentem" id="markdown-toc-mocninné-funkce-s-celým-exponentem">Mocninné funkce s celým exponentem</a></li> <li><a href="#definice-n-té-mocniny" id="markdown-toc-definice-n-té-mocniny">Definice \(n\)-té mocniny</a></li> <li><a href="#počítání-s-odmocninami" id="markdown-toc-počítání-s-odmocninami">Počítání s odmocninami</a></li> <li><a href="#mocniny-s-racionálním-exponentem" id="markdown-toc-mocniny-s-racionálním-exponentem">Mocniny s racionálním exponentem</a></li> </ul> </li> <li><a href="#exponenciální-funkce" id="markdown-toc-exponenciální-funkce">Exponenciální funkce</a> <ul> <li><a href="#exponenciální-rovnice" id="markdown-toc-exponenciální-rovnice">Exponenciální rovnice</a></li> </ul> </li> <li><a href="#logaritmické-funkce" id="markdown-toc-logaritmické-funkce">Logaritmické funkce</a> <ul> <li><a href="#logaritmus" id="markdown-toc-logaritmus">Logaritmus</a></li> <li><a href="#věty-o-logaritmech" id="markdown-toc-věty-o-logaritmech">Věty o logaritmech</a></li> </ul> </li> <li><a href="#goniometrické-funkce" id="markdown-toc-goniometrické-funkce">Goniometrické funkce</a> <ul> <li><a href="#periodická-funkce" id="markdown-toc-periodická-funkce">Periodická funkce</a></li> <li><a href="#goniometrické-funkce-ostrého-úhlu" id="markdown-toc-goniometrické-funkce-ostrého-úhlu">Goniometrické funkce ostrého úhlu</a></li> <li><a href="#velikost-úhlu-v-obloukové-míře" id="markdown-toc-velikost-úhlu-v-obloukové-míře">Velikost úhlu v obloukové míře</a></li> <li><a href="#funkce-sinus-a-kosinus" id="markdown-toc-funkce-sinus-a-kosinus">Funkce sinus a kosinus</a></li> <li><a href="#funkce-tangens-a-kotangens" id="markdown-toc-funkce-tangens-a-kotangens">Funkce tangens a kotangens</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="funkce-a-její-graf">Funkce a její graf</h1> <h3 id="definice-funkce">Definice funkce</h3> <p><strong>Funkce</strong> na množině \(A \subset \R\) je předpis, který každému číslu z množiny \(A\) přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina \(A\) se nazývá <strong>definiční obor</strong> funkce.</p> <p>Číslo \(f(x_0)\) budeme nazývat <strong>hodnota funkce</strong> <em>\(f\)</em> v bodě \(x_0\) nebo <strong>funkční hodnota</strong>.</p> <p>Dále platí, že v bodě \(x_0\) může funkce nabývat pouze jedné funkční hodnoty.</p> <p><strong>Funkci můžeme mít zadanou</strong>:</p> <ul> <li>předpisem</li> <li>tabulkou bodů a funkčních hodnot</li> </ul> <h3 id="graf-funkce">Graf funkce</h3> <p><strong>Graf funkce \(f\)</strong> ve zvolené soustavě souřadnic \(Oxy\) v rovině je množina všech bodů \(X[x, f(x)]\), kde \(x\) patří do definičního oboru funkce \(f\).</p> <h3 id="obor-hodnot-funkce">Obor hodnot funkce</h3> <p><strong>Obor hodnot</strong> funkce \(f\) je množina všech \(y \in \R\), ke kterým existuje aspoň jedno \(x\) z definičního oboru funkce \(f\) tak, že \(y = f(x)\).</p> <h3 id="rostoucí-a-klesající-funkce">Rostoucí a klesající funkce</h3> <p>Funkce \(f\) se nazývá <strong>rostoucí</strong>, právě když pro všechna \(x_1, x_2 \in D_f\) platí: Je-li \(x_1 &lt; x_2\), pak \(f(x_1) &lt; f(x_2)\). <br /> Funkce \(f\) se nazývá <strong>klesající</strong>, právě když pro všechna \(x_1, x_2 \in D_f\) platí: Je-li \(x_1 &lt; x_2\), pak \(f(x_1) &gt; f(x_2)\).</p> <p>Funkce \(f\) nemusí být na celém definičním oboru jen rostoucí nebo jen klesající. V jedné části jejího definičního oboru hodnoty funkce s růstem hodnot proměnné \(x\) rostou, ve druhé části klesají.</p> <p>Abychom mohli přesněji popsat průběh funkce, vyslovíme ještě jednu definici:</p> <p>Je dána funkce \(f\), \(J\) je interval, který je částí jejího definičního oboru \((J \subset D_f)\). <br /> Funkce \(f\) se nazývá <strong>rostoucí v intervalu \(J\)</strong>, právě když pro všechna \(x_1, x_2 \in J\) platí: je-li \(x_1 &lt; x_2\), pak \(f(x_1) &lt; f(x_2)\). <br /> Funkce \(f\) se nazývá <strong>klesající v intervalu \(J\)</strong>, právě když pro všechna \(x_1, x_2 \in J\) platí: je-li \(x_1 &lt; x_2\), pak \(f(x_1) &lt; f(x_2)\).</p> <p>Uvedeme další důležitou vlastnost, kterou mohou funkce mít:</p> <blockquote> <p>Funkce \(f\) se nazývá <strong>prostá</strong>, právě když pro všechna \(x_1, x_2 \in D_f\) platí: Je-li \(x_1 \ne x_2\), pak \(f(x_1) \ne f(x_2)\).</p> </blockquote> <p>Je-li funkce rostoucí, pak je prostá. <br /> Je-li funkce klesající, pak je prostá.</p> <h3 id="sudá-a-lichá-funkce">Sudá a lichá funkce</h3> <p><strong>Funkce</strong> \(f\) se nazývá <strong>sudá</strong>, právě když zároveň platí:</p> <ol> <li>Pro každé \(x \in D_f\) je také \(-x \in D_f\).</li> <li>Pro každé \(x \in D_f\) je \(f(-x) = f(x)\).</li> </ol> <p>Graf sudé funkce je <strong>souměrný podle osy</strong> \(y\). Příkladem sudé funkce je např. \(y = -\lvert x\rvert\).</p> <p><strong>Funkce</strong> \(f\) se nazývá <strong>lichá</strong>, právě když zároveň platí:</p> <ol> <li>Pro každé \(x \in D_f\) je také \(-x \in D_f\).</li> <li>Pro každé \(x \in D_f\) je \(f(-x) = -f(x)\).</li> </ol> <p>Graf liché funkce je <strong>souměrný podle počátku soustavy souřadnic</strong> \(Oxy\). Příkladem liché funkce je např. \(y= 2x\).</p> <h3 id="omezená-funkce">Omezená funkce</h3> <p>Funkce \(f\) se nazývá <strong>zdola omezená</strong>, právě když existuje číslo \(d\) takové, že pro všechna \(x \in D_f\) je \(f(x) \geq d\).<br /> Funkce \(f\) se nazývá <strong>shora omezená</strong>, právě když existuje číslo \(h\) takové, že pro všechna \(x \in D_f\) je \(f(x) \leq h\).<br /> Funkce \(f\) se nazývá <strong>omezená</strong>, právě když je zdola omezená a zároveň shora omezená.</p> <h3 id="minimum-a-maximum-funkce">Minimum a maximum funkce</h3> <p>Říkáme, že <strong>funkce \(f\) má v bodě \(a\) maximum</strong>, právě když pro všechna \(x \in D_f\) je \(f(x) \leq f(a)\).<br /> Říkáme, že <strong>funkce \(f\) má v bodě \(b\) minimum</strong>, právě když pro všechna \(x \in D_f\) je \(f(x) \geq f(b)\).</p> <h3 id="inverzní-funkce">Inverzní funkce</h3> <p><strong>Inverzní funkce</strong> k <em>prosté</em> funkci \(f\) je funkce \(f^{-1}\), pro kterou platí:</p> <ol> <li>\(D_{f^{-1}} = H\),</li> <li>Každému \(y \in D_{f^{-1}}\) je přiřazeno právě to \(x \in D_f\), pro které je \(f(x)=y\)</li> </ol> <p><strong>Grafy funkcí \(f\) a \(f^{-1}\) sestrojené v téže soustavě \(Oxy\)</strong> se stejnou délkovou jednotkou na obou osách <strong>jsou souměrně sdruženy podle přímky \(y=x\)</strong>.</p> <h2 id="lineární-funkce">Lineární funkce</h2> <h3 id="definice-lineární-funkce">Definice lineární funkce</h3> <p><strong>Lineární funkce</strong> je každá funkce na množině \(\R\), která je dána ve tvaru</p> \[y = ax + b,\] <p>kde \(a, b\) jsou reálná čísla. <br /> Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je \(a=0\), tj. funkce</p> \[y=b,\] <p>které nazýváme <strong>konstantní funkce</strong>. <br /> Pro lineární funkce, vyjádřené ve tvaru</p> \[y=ax,\] <p>tj. pro funkce dané vzorcem \(y=ax+b\), v němž je \(b=0\), užíváme také název <strong>přímá úměrnost</strong>.</p> <h3 id="graf-lineární-funkce">Graf lineární funkce</h3> <p>Grafem lineární funkce je <strong>přímka</strong>.</p> <h3 id="některé-vlastnosti-lineárních-funkcí">Některé vlastnosti lineárních funkcí</h3> <p>Lineární funkce \(y=ax+b\)</p> <ul> <li><strong>je rostoucí pro</strong> \(a&gt;0\),</li> <li><strong>je klesající pro</strong> \(a&lt;0\),</li> <li><strong>není prostá, je-li</strong> \(a=0\).</li> </ul> <p>Pro číslo \(a\) v lineární funkci \(f: y= ax+b\) platí</p> \[a = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1},\] <p>kde \(x_1, x_2\) jsou libovolně zvolená, vzájemně různá reálná čísla.</p> <p><em>sem bych chtěla vložit obrázek</em></p> <h2 id="kvadratické-funkce">Kvadratické funkce</h2> <p><strong>Kvadratická funkce</strong> je každá funkce na množině \(\R\) daná ve tvaru</p> \[y=ax^2+bx+c,\] <p>kde \(a \in \R \setminus \{ 0 \}, b,c \in \R\).</p> <h3 id="grafy-kvadratických-funkcí">Grafy kvadratických funkcí</h3> <p>Grafem funkce \(y=x^2\) je plynulá nepřerušovaná křivka, která se nazývá <strong>parabola</strong>.</p> <p>obrazek</p> <p>Z obrázku lze usoudit, že funkce \(y=x^2\) má tyto vlastnosti:</p> <ul> <li>jejím oborem hodnot je interval \(&lt;0, \infty)\);</li> <li>funkce je v intervalu \((- \infty, 0&gt;\) klesající,</li> <li>v intervalu \(&lt;0, + \infty)\) rostoucí</li> <li>v bodě \(0\) má minimum</li> <li>v žádném bodě maximum</li> <li>je zdola omezená</li> <li>není shora omezená</li> <li>je sudá</li> </ul> <h3 id="grafy-kvadratických-funkcí-při-řešení-rovnic-a-nerovnic">Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic</h3> <p>Pomocí grafů kvadratických funkcí lze řešit kvadratické rovnice i nerovnice (předem je všem nutné převést tyto rovnice a nerovnice na anulovaný tvar). Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce \(f\) rovna nule.</p> <h2 id="lineární-lomené-funkce">Lineární lomené funkce</h2> <p><strong>Lineární lomená funkce</strong> je každá funkce na množině \(\R \setminus \{ - \frac{d}{c} \}\) vyjádřená ve tvaru</p> \[y= \frac{ax+b}{cx+d},\] <p>kde \(a,b,c,d\) jsou reálná čísla, \(c \ne 0\) a \(ad-bc \ne 0\).</p> <p>Grafem každé lineární lomené funkce je <strong>hyperbola</strong>, kterou získáme z grafu funkce \(y= \frac{k}{x}\) pomocí posunutí.</p> <h3 id="nepřímá-úměrnost">Nepřímá úměrnost</h3> <p><strong>Nepřímá úměrnost</strong> je každá funkce na množině \(\R \setminus \{ 0 \}\) daná ve tvaru</p> \[y= \frac{k}{x},\] <p>kde \(k\) je reálné číslo různé od nuly.</p> <p>Graf funkce \(y= \frac{k}{x}\) je křivka, která se nazývá rovnoosá <strong>hyperbola</strong>.</p> <h2 id="mocninné-funkce">Mocninné funkce</h2> <h3 id="mocninné-funkce-s-přirozeným-exponentem">Mocninné funkce s přirozeným exponentem</h3> <p>Pro všechna \(a \in \R\) a pro všechna \(n \in \N\) definujeme</p> \[a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \rightarrow n-krát\] <p>\(a \ldots\) <strong>základ mocniny (mocněnec)</strong><br /> \(x \ldots\) <strong>exponent (mocnitel)</strong></p> \[y= x^n ; n \in \N\] <p>\(n\) liché<br /> obrázek <strong>Vlastnosti</strong>:</p> <ul> <li>Oborem hodnot je \(\R\)</li> <li>Je rostoucí</li> <li>Je lichá</li> <li>Není shora omezená, ani zdola omezená</li> <li>Nemá maximum, ani minimum</li> </ul> <p>\(n\) sudé<br /> obrázek <strong>Vlastnosti</strong>:</p> <ul> <li>Oborem hodnot \(&lt;0,+ \infty )\)</li> <li>Je rostoucí v \(&lt;0, + \infty )\)</li> <li>Je klesající v \((- \infty , 0&gt;\)</li> <li>Je sudá</li> <li>Je zdola omezená, není shora omezená</li> <li>V bodě \(0\) má minimum, v žádném bodě nemá maximum</li> </ul> <h3 id="mocninné-funkce-s-celým-exponentem">Mocninné funkce s celým exponentem</h3> <p>Funkce</p> \[y= x_n ; n \in \Z^{-}\] <p>\(-n\) liché obrazek <strong>Vlastnosti</strong>:</p> <ul> <li>Oborem hodnot je \(\R \setminus \{ 0 \}\)</li> <li>Je klesající v \((- \infty , 0), (0, + \infty )\)</li> <li>Není ani zdola omezená, ani shora omezená</li> <li>Nemá žádné maximum, ani minimum</li> <li>Je lichá</li> </ul> <p>\(-n\) sudé obraze <strong>Vlastnosti</strong>:</p> <ul> <li>Oborem hodnot je \(\R^+\)</li> <li>Je rostoucí v \((- \infty , 0)\)</li> <li>Je klesající v \((0, + \infty)\)</li> <li>Je zdola omezená, není shora omezená</li> <li>Nemá v žádném bodě ani maximum, ani minimum</li> <li>Je sudá</li> </ul> <h3 id="definice-n-té-mocniny">Definice \(n\)-té mocniny</h3> <p>Pro každé \(n \in \N\) je \(n\)-<strong>tá odmocnina z nezáporného čísla</strong> \(a\) takové <strong>nezáporné</strong> číslo \(b\), pro než platí \(b^n = a\). Budeme zapisovat</p> \[b= \sqrt[n]{a}\] <p>Číslo \(n\) se nazývá <strong>odmocnitel (exponent odmocniny)</strong>, číslo \(a\) <strong>odmocněnec (základ mocniny)</strong>.</p> <h3 id="počítání-s-odmocninami">Počítání s odmocninami</h3> <p>Pro všechna nezáporná reálná čísla \(a,b\) a pro každé přirozené číslo \(n\) platí:</p> \[\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\] <blockquote> <p>“<em>Součin \(n\)-tých odmocnin čísel \(a,b\) je roven \(n\)-té odmocnině jejich součinu.</em>”</p> </blockquote> <p>Pro každé nezáporné reálné číslo \(a\), každé kladné reálné číslo \(b\) a každé přirozené číslo \(n\) platí:</p> \[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\] <blockquote> <p>“<em>Podíl \(n\)-tých odmocnin čísel \(a,b\) je roven \(n\)-té odmocnině jejich podílu.</em>”</p> </blockquote> <p>Pro každé celé číslo \(s\), každé kladné reálné číslo \(a\) a každé přirozené číslo \(n\) platí:</p> \[( \sqrt[n]{a} )^s = \sqrt[n]{a^s}\] <p>Pro všechna přirozená čísla \(m,n\) a pro každé nezáporné reálné číslo \(a\) platí:</p> \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\] <h3 id="mocniny-s-racionálním-exponentem">Mocniny s racionálním exponentem</h3> <p>Pro každé kladné reálné číslo \(a\), pro každé celé číslo \(m\) a pro každé přirozené číslo \(n\) je</p> \[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{m}\] <p>Číslo \(a\) budeme nazývat <strong>základ mocniny</strong> čili <strong>mocněnec</strong>, číslo \(\frac{m}{n}\) se nazývá <strong>exponent</strong> čili <strong>mocnitel</strong>.</p> <p>Pro všechna kladná reálná čísla \(a,b\) a pro všechna racionální čísla \(r,s\) je</p> \[\begin{align} a^r \cdot a^s &amp;= a^{r+s}\notag\\ (a^r)^s &amp;= a^{rs}\notag\\ \frac{a^r}{a^s} &amp;= a^{r-s}\notag\\ (ab)^r &amp;= a^r \cdot b^r\notag\\ \end{align}\] <h2 id="exponenciální-funkce">Exponenciální funkce</h2> <p><strong>Exponenciální funkce o základu</strong> \(a\) je funkce na množině \(\R\) vyjádřená ve tvaru</p> \[y=a^x,\] <p>kde \(a\) je kladné číslo různé od \(1\).</p> <p>Pro \(a&gt;1\) je funkce rostoucí, a tedy prostá a pro \(0&lt;a&lt;1\) je funkce klesající, a tedy prostá.</p> <p><strong>Další vlastnosti:</strong></p> <ul> <li>Definiční obor je \(\R\)</li> <li>Obor hodnot je \((0;+ \infty )\)</li> <li>Je zdola omezená, není shora omezená</li> <li>Nemá ani maximum ani minimum</li> <li>Funkční hodnota v bodě \(0\) je rovna \(1\)</li> </ul> <h3 id="exponenciální-rovnice">Exponenciální rovnice</h3> <p>\(a \ldots\) <strong>základ mocniny (mocněnec)</strong><br /> \(x \ldots\) <strong>exponent (mocnitel)</strong></p> <p>Pro všechna reálná čísla \(x_1, x_2\) platí: je-li \(x_1 \ne x_2\), pak \(a^{x_1} \ne a^{x_2}\), čili</p> \[a^{x_1} = a^{x_2}, x_1 = x_2.\] <p><strong>Věty užívané při řešení exponenciálních rovnic:</strong></p> <h2 id="logaritmické-funkce">Logaritmické funkce</h2> <p><strong>Logaritmická funkce o základu</strong> \(a\) je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci \(y=a^x\) ; \(a\) je libovolné kladné číslo různé od jedné.</p> <p>Čteme “<strong>logaritmus \(x\) o základu \(a\)</strong>”. V souladu s tímto označením budeme logaritmickou funkci \(f^{-1}\) o základu \(a\) zapisovat ve tvaru</p> \[y= \log_ax.\] <p>Definičním oborem logaritmické funkce je množina \((0, + \infty)\).</p> \[y= \log_ax ; a\in \R \setminus \{ 1 \}\] <p>Pro \(a&gt;1\) je funkce rostoucí, a tedy prostá a pro \(0&lt;a&lt;1\) je funkce klesající, a tedy prostá.</p> <p><strong>Další vlastnosti:</strong></p> <ul> <li>Obor hodnot je \(\R\)</li> <li>Není ani shora, ani zdola omezená</li> <li>Nemá ani minimum, ani maximum</li> <li>Funkční hodnota v bodě \(1\) je rovna \(0\)</li> </ul> <h3 id="logaritmus">Logaritmus</h3> <p>Uvažujme logaritmickou funkci \(y= \log_ax\), kde základ \(a\) je libovolné kladné číslo různé od jedné. <strong>Určit</strong> její funkční hodnotu v bodě \(r^2\), tj. <strong>logaritmus čísla \(r\) o základu \(a\) znamená najít takové číslo, kterým musíme umocnit základ \(a\), abychom obdrželi číslo \(r\)</strong>:</p> \[r=a^{log_ar}.\] <h3 id="věty-o-logaritmech">Věty o logaritmech</h3> <p>Pro každé \(a&gt;0, a \ne 1\) a pro všechna kladná reálná čísla \(r,s\) je</p> \[\log_a(r \cdot s) = \log_ar + \log_as.\] <blockquote> <p><em>“Logaritmus součinu dvou kladných čísel je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů.”</em></p> </blockquote> <p>Pro každé \(a&gt;0, a \ne 1\) a pro všechna kladná reálná čísla \(r, s\) je</p> \[\log_a \frac{r}{s} = \log_ar - \log_as.\] <blockquote> <p><em>“Logaritmus podílu dvou kladných čísel je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele (v tomto pořadí).”</em></p> </blockquote> <p>Pro každé \(a&gt;0, a \ne 1\), pro všechna \(r \in \R^+\) a pro všechna \(s \in \R\) je</p> \[\log_ar^s = s \cdot \log_ar.\] <blockquote> <p><em>“Logaritmus mocniny kladného čísla je roven součinu mocnitele a logaritmu základu mocniny.”</em></p> </blockquote> <p>Logaritmy o základu \(10\) obvykle označujeme jako <strong>dekadické logaritmy</strong> a zapisujeme je pouze \(\log x\) a čteme “<strong>logaritmus x</strong>.”</p> <h2 id="goniometrické-funkce">Goniometrické funkce</h2> <h3 id="periodická-funkce">Periodická funkce</h3> <p>Funkce \(f\) se nazývá <strong>periodická funkce</strong>, právě když existuje takové číslo \(p &gt; 0\), že pro každé \(k \in \Z\) platí následující podmínky:</p> <ul> <li>Je-li \(x \in D_f\), pak \(x + kp \in D_f\);</li> <li>\(f(x +kp) = f(x)\).<br /> Číslo \(p\) se nazývá <strong>perioda funkce \(f\)</strong>.</li> </ul> <h3 id="goniometrické-funkce-ostrého-úhlu">Goniometrické funkce ostrého úhlu</h3> <p><strong>Sinus</strong> \(\alpha\) je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu \(\alpha\) a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku.</p> \[\sin \alpha = \frac{a}{c}\] <p><strong>Kosinus</strong> \(\alpha\) je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu \(\alpha\) a délky přepony.</p> \[\cos \alpha = \frac {b}{c}\] <p><strong>Tangens</strong> \(\alpha\) je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu \(\alpha\) a odvěsny přilehlé.</p> \[\tan \alpha = \frac{a}{b}\] <p><strong>Kotangens</strong> \(\alpha\) je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu \(\alpha\) a odvěsny protilehlé.</p> \[\cot \alpha = \frac{b}{a}\] <h3 id="velikost-úhlu-v-obloukové-míře">Velikost úhlu v obloukové míře</h3> <blockquote> <p><strong>Radián</strong> je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku o délce \(1\)</p> </blockquote> <h3 id="funkce-sinus-a-kosinus">Funkce sinus a kosinus</h3> <p>obrazek</p> <p>Funkcí <strong>sinus</strong> se nazývá funkce na množině \(\R\), kterou je každému číslu \(x \in \R\) přiřazeno číslo \(y_L\). <br /> Funkcí <strong>kosinus</strong> se nazývá funkce na množině \(\R\), kterou je každému číslu \(x \in \R\) přiřazeno číslo \(x_L\).</p> <p>Obě funkce jsou periodické, jejich nejmenší perioda je \(2 \pi\).</p> <blockquote> <p>Pro každé \(k \in \Z\) a pro každé \(x \in \R\)</p> \[\sin(x + k \cdot 2 \pi) = \sin x,\] \[\cos(x + k \cdot 2 \pi) = \cos x.\] </blockquote> <p><strong>Vlastnosti funkcí sinus a kosinus</strong>:</p> <ul> <li>Obě funkce jsou shora i zdola omezené</li> <li>Funkce \(y = \sin x, x \in &lt;0, 2 \pi)\) má v bodě \(x_1 = \frac{\pi}{2}\) maximum, v bodě \(x_2 = \frac{3}{2} \pi\) minimum</li> <li>Funkce \(y = \cos x, x \in &lt;0, 2 \pi)\) má v bodě \(x_3 = 0\) maximum, v bodě \(x_4 = \pi\) minimum.</li> <li>Oborem hodnot obou funkcí je interval \(&lt;-1,1&gt;\)</li> <li>Funkce sinus je <strong>lichá</strong> a funkce kosinus je <strong>sudá</strong>.</li> </ul> <blockquote> <p>Pro každé \(x \in \R\)</p> \[\sin(-x) = - \sin x,\] \[\cos(-x) = \cos x.\] </blockquote> <p><strong>Sinusoida</strong></p> <ul> <li>Grafem funkce sinus je tzv. sinusoida</li> </ul> <p><img src="/assets/images/sinusoida.png" alt="Sinusoida" /></p> <p><strong>Kosinusioda</strong></p> <ul> <li>Grafem funkce kosinus je tzv. kosinusoida</li> </ul> <p><img src="/assets/images/kosinusoida.png" alt="Kosinusoida" /></p> <h3 id="funkce-tangens-a-kotangens">Funkce tangens a kotangens</h3> <p>Funkcí <strong>tangens</strong> se nazývá funkce daná vztahem</p> \[y = \frac{\sin x}{\cos x}.\] <p>Funkcí <strong>kotangens</strong> se nazývá funkce daná vztahem</p> \[y = \frac{\cos x}{\sin x}.\] <p>Tyto funkce zapisujeme</p> \[y = \tg x,\] \[y = \cotg x.\] <p><strong>Vlastnosti funkcí tangens a kotangens:</strong></p> <ul> <li>Definičním oborem funkce \(y = \tg x\) je množina všech \(x \in \R\), pro něž \(x \neq (2k +1) \frac{\pi}{2}\), kde \(k \in \Z\)</li> <li>Definičním oborem funkce \(y= \cotg x\) je množina všech \(x \in \R\), pro něž \(x \neq k \pi\)</li> <li>Funkce tangens a kotangens jsou liché funkce.</li> <li>Obě funkce jsou periodické a jejich nejmenší perioda je \(\pi\)</li> </ul> <p><strong>Graf funkce tangens</strong></p> <p><img src="/assets/images/tangentoida.png" alt="Tangentoida" /></p> <p><strong>Graf funkce kotangens</strong></p> <p><img src="/assets/images/kotangentoida.png" alt="Kotangens" /></p> https://andy.ggu.cz/2023/03/06/pravdepodobnost-a-statistika/ 2023-03-06T00:00:00+00:00 2023-03-06T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#pravděpodobnost" id="markdown-toc-pravděpodobnost">Pravděpodobnost</a> <ul> <li><a href="#náhodný-pokus" id="markdown-toc-náhodný-pokus">Náhodný pokus</a></li> <li><a href="#jev" id="markdown-toc-jev">Jev</a> <ul> <li><a href="#opačné-jevy" id="markdown-toc-opačné-jevy">Opačné jevy</a></li> </ul> </li> <li><a href="#pravděpodobnost-1" id="markdown-toc-pravděpodobnost-1">Pravděpodobnost</a> <ul> <li><a href="#součet-pravděpodobností" id="markdown-toc-součet-pravděpodobností">Součet pravděpodobností</a></li> <li><a href="#nezávislé-jevy" id="markdown-toc-nezávislé-jevy">Nezávislé jevy</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#statistika" id="markdown-toc-statistika">Statistika</a> <ul> <li><a href="#statistický-soubor" id="markdown-toc-statistický-soubor">Statistický soubor</a> <ul> <li><a href="#statistický-znak" id="markdown-toc-statistický-znak">Statistický znak</a></li> <li><a href="#rozdělení-četnosti" id="markdown-toc-rozdělení-četnosti">Rozdělení četnosti</a></li> <li><a href="#relativní-četnost" id="markdown-toc-relativní-četnost">Relativní četnost</a></li> <li><a href="#kvantitativní-znaky" id="markdown-toc-kvantitativní-znaky">Kvantitativní znaky</a></li> </ul> </li> <li><a href="#charakteristiky-polohy" id="markdown-toc-charakteristiky-polohy">Charakteristiky polohy</a> <ul> <li><a href="#aritmetický-průměr" id="markdown-toc-aritmetický-průměr">Aritmetický průměr</a></li> <li><a href="#geometrický-průměr" id="markdown-toc-geometrický-průměr">Geometrický průměr</a></li> <li><a href="#harmonický-průměr" id="markdown-toc-harmonický-průměr">Harmonický průměr</a></li> <li><a href="#modus-a-medián" id="markdown-toc-modus-a-medián">Modus a medián</a></li> </ul> </li> <li><a href="#charakteristiky-variability" id="markdown-toc-charakteristiky-variability">Charakteristiky variability</a> <ul> <li><a href="#rozptyl" id="markdown-toc-rozptyl">Rozptyl</a></li> <li><a href="#směrodatná-odchylka" id="markdown-toc-směrodatná-odchylka">Směrodatná odchylka</a></li> <li><a href="#variační-koeficient" id="markdown-toc-variační-koeficient">Variační koeficient</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="pravděpodobnost">Pravděpodobnost</h1> <h2 id="náhodný-pokus">Náhodný pokus</h2> <p>Je to pokus, u kterého při dodržení předepsaných podmínek můžeme dostávat různé výsledky. Tyto výsledky jsme schopni předem výjmenovat, navzájem se vylučují a jeden z nich musí vždy nastat. Př. hod kostkou, mincí, ruleta apod.</p> <p>\(\Omega \ldots\) množina všech možných výsledků</p> <h2 id="jev">Jev</h2> <p>Je to jakákoli podmnožina množiny všech výsledků \(\Omega\). Jev většinou popisujeme nějakou vlastností společnou prvkům této množiny.</p> <p><strong>Speciální případy jevů</strong>: <br /> \(\emptyset \ldots\) nemožný jev <br /> \(\Omega \ldots\) jistý jev <br /> \(\omega \ldots\) výsledek pokusu <br /> \(A, B \ldots\) jev</p> <ul> <li>Jestliže \(\omega \in A \ldots\) říkáme, že výsledek je příznivý jevu \(A\)</li> <li>\(A \subset B \ldots\) jev \(A\) je podjevem \(B\)</li> <li>\(A \cap B \ldots\) průnik jevů \(A, B\). Je-li průnik neprázdný, jsou to jevy <em>neslučitelné</em></li> <li>Jev \(A' \ldots\) nastává právě tehdy, když jev \(B\) nenastává, jsou to jevy <em>opačné</em></li> </ul> <h3 id="opačné-jevy">Opačné jevy</h3> \[P(A') = 1 - P(A)\] <h2 id="pravděpodobnost-1">Pravděpodobnost</h2> <p>Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo vyjadřující očekávatelnost určitého jevu, obvykle výsledku náhodného pokusu. Je to číslo z intervalu \(&lt;0;1&gt;\). Každému výsledku z množiny \(\Omega\) je jedno takové číslo přiřazeno. Jejich součet pro všechny možné výsledky je vždy \(1\).</p> <p>Často se stává, že všechny výsledky jsou stejně možné, potom jejich pravděpodobnost je:</p> \[\frac{1}{n}\] <blockquote> <p><em>Při hodu kostkou je pravděpodobnost každého výsledku \(\frac{1}{6}\)</em></p> </blockquote> <p>Pravděpodobnost jevu \(A\) je potom součet pravděpodobností výsledků příznivých tomuto jevu.</p> <p>Pokud jsou všechny výsledky náhodného pokusu stejně možné, potom pravděpodobnost jevu je rovna podílu počtu výsledků přítnivých tomuto jevu a počtu všech možných výsledků pokusu.</p> \[p(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\] <h3 id="součet-pravděpodobností">Součet pravděpodobností</h3> <p><strong>Vylučující se jevy</strong> <br /> Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem vylučujících se jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností:</p> \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] <p><strong>Jevy s neprázdným průnikem</strong><br /> Nechť jevy \(A, B\) se navzájem nevylučují, tedy mají společný průnik:</p> \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\] <h3 id="nezávislé-jevy">Nezávislé jevy</h3> <p>Říkáme, že jevy \(A, B\) jsou nezávislé, pokud platí:</p> \[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\] <h1 id="statistika">Statistika</h1> <p>Zkoumá jevy, které mají hromadný charakter.</p> <h2 id="statistický-soubor">Statistický soubor</h2> <p>Je to množina prvků, které jsou předmětem statistického zkoumání. Každý prvek, který je součástí statistického souboru se nazývá <strong>statistická jednotka</strong>.</p> <h3 id="statistický-znak">Statistický znak</h3> <p>“Vlastnost”, kterou sledujeme u jednotek statistického souboru se nazývá <strong>znak</strong>. U znaků sledujeme jejich hodnotu:</p> <ul> <li>kvantitativní znak - určený číslem (výška, počet, cena,…)</li> <li>kvalitativní znak - není daný číslem (jméno, povolání)</li> </ul> <h3 id="rozdělení-četnosti">Rozdělení četnosti</h3> <ul> <li>zaměříme se na jediný znak \(x\)</li> <li>jednotky označíme a očíslujeme: \(x_1, x_2, \ldots ,x_n\)</li> <li>pro každou hodnotu \(x_j\) zjišťujeme, kolikrát se vyskytla mezi jednotkami \(1, 2, \ldots , n\). Tomuto počtu \(n_j\) se říká <strong>četnost</strong> hodnoty \(x_j\).</li> </ul> <h3 id="relativní-četnost">Relativní četnost</h3> <p>Udává, jaká část souboru má danou vlastnost. Součet všech četností musí být \(1\). Udává se v \(\%\).</p> <h3 id="kvantitativní-znaky">Kvantitativní znaky</h3> <p>U hodnot znaků zjišťujeme (počítáme), jaké vlastnosti mají. Těmto vlastnostem říkáme <strong>charakteristiky</strong>.</p> <h2 id="charakteristiky-polohy">Charakteristiky polohy</h2> <p>Je to poloha znaku na číselné ose. Např. Jaká je průměrná hodnota? Jaká hodnota nějčastěji vychází?</p> <h3 id="aritmetický-průměr">Aritmetický průměr</h3> <p>Je to součet všech hodnot znaku dělený počtem všech jednotek.</p> \[x_A = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1 + \ldots + x_n)\] <h3 id="geometrický-průměr">Geometrický průměr</h3> <p>Používá se, když nás zajímá tempo růstu - veličina se nechová “lineárně”, ale skáče násobně.</p> \[x_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots \cdot x_n}\] <h3 id="harmonický-průměr">Harmonický průměr</h3> <p>Používá se tam, kde hodnoty vznikají jako převrácená hodnota, př. společná práce</p> \[x_H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\] <h3 id="modus-a-medián">Modus a medián</h3> <p><strong>Modus</strong> znaku \(x\) je hodnota s nějvětší četností (ta, která se nejčastěji opakuje).<br /> <strong>Medián</strong> je prostřední hodnota znaku, pokud hodnoty uspořádáme podle velikosti. Pokud je počet hodnot sudý, zprůměrujeme prostřední dve hodnoty.</p> <p><strong>Maximum</strong> (a <strong>minimum</strong>) je největší (nejmenší) hodnota, které znak nabývá.</p> <h2 id="charakteristiky-variability">Charakteristiky variability</h2> <p>Popisují velikost a způsob kolísání hodnot znaku kolem mediánu, průměru, atd.</p> <h3 id="rozptyl">Rozptyl</h3> <ul> <li>Pokud máme průmer, počítáme většinou <strong>rozptyl</strong> = jedná se o průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru.</li> </ul> \[s_{x}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_A)^2\] <h3 id="směrodatná-odchylka">Směrodatná odchylka</h3> <ul> <li>Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá <strong>směrodatná odchylka</strong> = průměrná odchylka.</li> </ul> \[s_x = \sqrt{s_x^2}\] <h3 id="variační-koeficient">Variační koeficient</h3> <ul> <li>Pokud chceme variabilitu vyjádřit bezrozměrně, použijeme <strong>variační koeficient</strong></li> </ul> \[v_x = \frac{s_x}{x_A} \cdot 100 \%\] https://andy.ggu.cz/2023/02/22/algoritmizace-a-programovani/ 2023-02-22T00:00:00+00:00 2023-02-22T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#algoritmy" id="markdown-toc-algoritmy">Algoritmy</a> <ul> <li><a href="#vlastnosti-algoritmů" id="markdown-toc-vlastnosti-algoritmů">Vlastnosti algoritmů</a></li> <li><a href="#zápis-algoritmů" id="markdown-toc-zápis-algoritmů">Zápis algoritmů</a></li> <li><a href="#vývojové-diagramy" id="markdown-toc-vývojové-diagramy">Vývojové diagramy</a> <ul> <li><a href="#začátek-a-konec-algoritmu" id="markdown-toc-začátek-a-konec-algoritmu">Začátek a konec algoritmu</a></li> <li><a href="#vstup-a-výstup-dat" id="markdown-toc-vstup-a-výstup-dat">Vstup a výstup dat</a></li> <li><a href="#příkaz" id="markdown-toc-příkaz">Příkaz</a></li> <li><a href="#rozhodování-větvení" id="markdown-toc-rozhodování-větvení">Rozhodování (větvení)</a></li> <li><a href="#příkaz-cyklu" id="markdown-toc-příkaz-cyklu">Příkaz cyklu</a></li> <li><a href="#spojky" id="markdown-toc-spojky">Spojky</a></li> </ul> </li> <li><a href="#algoritmizace" id="markdown-toc-algoritmizace">Algoritmizace</a> <ul> <li><a href="#typy-chyb" id="markdown-toc-typy-chyb">Typy chyb</a></li> </ul> </li> <li><a href="#metody-návrhu" id="markdown-toc-metody-návrhu">Metody návrhu</a></li> <li><a href="#paradigma-návrhu-algoritmů" id="markdown-toc-paradigma-návrhu-algoritmů">Paradigma návrhu algoritmů</a> <ul> <li><a href="#algoritmická-složitost" id="markdown-toc-algoritmická-složitost">Algoritmická složitost</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#programování" id="markdown-toc-programování">Programování</a> <ul> <li><a href="#programovací-jazyky" id="markdown-toc-programovací-jazyky">Programovací jazyky</a> <ul> <li><a href="#typy-programovacích-jazyků" id="markdown-toc-typy-programovacích-jazyků">Typy programovacích jazyků</a></li> </ul> </li> <li><a href="#základní-příkazy" id="markdown-toc-základní-příkazy">Základní příkazy</a> <ul> <li><a href="#podmínky-větvení" id="markdown-toc-podmínky-větvení">Podmínky (Větvení)</a></li> <li><a href="#cyklus" id="markdown-toc-cyklus">Cyklus</a> <ul> <li><a href="#for-cyklus" id="markdown-toc-for-cyklus">For cyklus</a></li> <li><a href="#while-cyklus" id="markdown-toc-while-cyklus">While cyklus</a></li> </ul> </li> <li><a href="#deklarace" id="markdown-toc-deklarace">Deklarace</a></li> <li><a href="#funkce" id="markdown-toc-funkce">Funkce</a></li> <li><a href="#rekurze" id="markdown-toc-rekurze">Rekurze</a></li> </ul> </li> <li><a href="#datový-typ" id="markdown-toc-datový-typ">Datový typ</a> <ul> <li><a href="#jednoduché-datové-typy" id="markdown-toc-jednoduché-datové-typy">Jednoduché datové typy</a></li> <li><a href="#speciální-funkce-pro-různé-datové-typy" id="markdown-toc-speciální-funkce-pro-různé-datové-typy">Speciální funkce pro různé datové typy</a></li> </ul> </li> <li><a href="#třídění" id="markdown-toc-třídění">Třídění</a> <ul> <li><a href="#přímé-metody" id="markdown-toc-přímé-metody">Přímé metody</a></li> <li><a href="#rychlé-metody" id="markdown-toc-rychlé-metody">Rychlé metody</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="algoritmy">Algoritmy</h1> <p>Algoritmus je popis řešení úlohy (postup) pomocí řady elementárních kroků srozumitelných počítači. Je to jakýsi teoretický princip řešení problému (oproti přesnému zápisu v konkrétním programovacím jazyce). Obecně se ale algoritmus může objevit v jakémkoli jiném vědeckém odvětví.</p> <h2 id="vlastnosti-algoritmů">Vlastnosti algoritmů</h2> <p>V užším smyslu se slovem algoritmus označují takové postupy, které splňují některé silnější požadavky:</p> <p><strong>Elementárnost</strong><br /> Algoritmus se skládá z konečného počtu jednoduchých (elementárních) kroků.</p> <p><strong>Konečnost (finitnost)</strong><br /> Každý algoritmus musí skončit v <em>konečném</em> počtu kroků.</p> <p><strong>Obecnost (univerzálnost)</strong><br /> Algoritmus neřeší jeden konkrétní problém (např. jak spočítat 3*5), ale obecnou třídu obdobných problémů (např. jak spočítat součin dvou celých čísel), má širokou množinu možných výstupů.</p> <p><strong>Determinovanost</strong><br /> Algoritmus je determinovaný, pokud za stejných podmínek (pro stejné vstupy) poskytuje stejný výstup.</p> <p><strong>Determinismus</strong><br /> Každý krok algoritmu musí být <em>jednoznačně</em> a <em>přesně</em> definován; v každé situaci musí být naprosto zřejmé, co a jak se má provést, jak má provádění algoritmu pokračovat.</p> <p><strong>Výstup</strong><br /> Algoritmus má alespoň jeden <em>výstup</em>, veličinu, která je v požadovaném vztahu k zadaným vstupům, a tím tvoří odpověď na problém, který algoritmus řeší.</p> <p>Některé problémy lze řešit více způsoby - různými algoritmy, které se mohou svým postupem značně lišit. Naší snahou je vybrat pro řešení problému takový algoritmus, který je:</p> <ul> <li>nejefektivnější</li> <li>řeší problém v co nejkratším čase</li> <li>přehledný</li> <li>srozumitelný</li> </ul> <h2 id="zápis-algoritmů">Zápis algoritmů</h2> <p>Algoritmy můžeme zapisovat slovně nebo graficky, například pomocí tzv. vývojových diagramů</p> <ul> <li><strong>Slovní zápis</strong> většinou se používá pro jednodušší postupy</li> <li><strong>Grafický zápis</strong> - využívá grafické symboly, které mají předem definovaný význam. Nejrozšířenější formy grafického zápisu jsou vývojové diagramy</li> </ul> <h2 id="vývojové-diagramy">Vývojové diagramy</h2> <p>Ke kreslení vývojových diagramů používáme standardní grafické symboly</p> <h3 id="začátek-a-konec-algoritmu">Začátek a konec algoritmu</h3> <p>Každý zápis vývojového diagramu musí začínat značkou <em>Start</em> a končit značkou <em>konec</em>. V diagramu se musí vyskytnout obě značky vždy jen jednou.</p> <p><img src="/assets/images/start.png" alt="Start programu" /></p> <h3 id="vstup-a-výstup-dat">Vstup a výstup dat</h3> <p>Data jsou digitalizované informace. Mohou to být čísla, texty, písmena apod. Většinou zadáme vstupní proměnné do vzorců nebo hodnoty, s nimiž pracujeme v průběhu programu.</p> <p><img src="/assets/images/data.png" alt="Vstup_vystup" /></p> <h3 id="příkaz">Příkaz</h3> <p>V obecném pojetí může jít o jakýkoli příkaz, většinou jde o matematické operace či přiřazení, např. \(x:= a+ b\)</p> <p><img src="/assets/images/prikaz.png" alt="Příkaz" /></p> <h3 id="rozhodování-větvení">Rozhodování (větvení)</h3> <p>Pro značku rozhodování můžeme použít jen výraz, na která lze odpovědět <em>ANO</em> nebo <em>NE</em></p> <p><img src="/assets/images/rozhodovani.png" alt="Rozhodovani" /></p> <h3 id="příkaz-cyklu">Příkaz cyklu</h3> <p>Používá se pro cyklus známým počtem opakování, např. <em>for i in range(20):</em> Z programátorského hlediska se jedná o podmínku. Pomocí podmínek se obvykle zapisují i cykly, kde jednu větev na konci navedeme zpět na začátek podmínky, čímž vzniká smyčka.</p> <p><img src="/assets/images/cykly.png" alt="Cyklus" /></p> <h3 id="spojky">Spojky</h3> <p>Používají v případě, že se vývojový diagram nevejda na jednu stránku a pokračuje na další straně. Pak je vhodné pomocí spojek označit místo návaznosti pomocí čísla. Značí se kolečkem.</p> <p><strong>Příklad algoritmu ověření funkčnosti žárovky zapsaného jako vývojový diagram:</strong></p> <p><img src="/assets/images/vd_zarovka.png" alt="Vývojový_diagram_žárovka" /></p> <h2 id="algoritmizace">Algoritmizace</h2> <p><em>Algoritmizace</em> je proces, kterým lze prostřednictvím algoritmu řešit nějaký problém</p> <ol> <li><strong>Formulace problému</strong> - přesné formulování požadavků, určení výchozích hodnot, požadovaných výsledků, jejich forma a přesnost řešení</li> <li><strong>Analýza úlohy</strong> - ověření řešitelnosti úlohy, první představy o jejím řešení, zjištění, zda má úloha více řešení</li> <li><strong>Vytvoření algoritmu</strong> - sestavení jednoznačného sledů operací, které je třeba provést, aby byla úloha správně vyřešena</li> <li><strong>Sestavení programu</strong> - podle vytvořeného algoritmu v konkrétním programovacím jazyce</li> <li><strong>Odladění programu</strong> - odstranění chyb z programu</li> </ol> <h3 id="typy-chyb">Typy chyb</h3> <ul> <li>Syntaktické chyby - jsou chyby v zápise, které odhalí překladač</li> <li>Logické chyby - vznikají nesprávně navrženým algoritmem či špatným předpokladem v etapě formulace nebo analýzy úlohy. Projeví se nesprávnou činností programu nebo špatnými výsledky</li> </ul> <h2 id="metody-návrhu">Metody návrhu</h2> <p>Algoritmus se navrhuje několika možnými způsoby:</p> <ul> <li><strong>Shora dolů</strong> - postup řešení rozkládáme na jednodušší operace, až dospějeme k elementárním krokům.</li> <li><strong>Zdola nahoru</strong> - z elementárních kroků vytváříme prostředky, které nakonec umožní zvládnout požadovaný problém</li> <li><strong>Kombinace obou</strong> - obvyklý postup shora dolů doplníme “částečným krokem” zdola nahoru tím, že se například použijí knihovny funkcí, vyšší programovací jazyk nebo systém pro vytváření programů (CASE).</li> </ul> <h2 id="paradigma-návrhu-algoritmů">Paradigma návrhu algoritmů</h2> <p>Při návrhu algoritmů se uplatňuje množství přístupů, které abstrahují od konkrétní úlohy. K nejúživanějším metodám návrhu algoritmů patří:</p> <ul> <li><strong>Rozděl a panuj</strong></li> <li><strong>Hladový algoritmus</strong></li> <li><strong>Dynamické programování</strong></li> <li><strong>Použití hrubé síly</strong></li> <li><strong>Hledání s návratem (backtracking)</strong></li> </ul> <h3 id="algoritmická-složitost">Algoritmická složitost</h3> <p>U každého algoritmu nás zajímají dvě vlastnosti: čas, po který algoritmus běží, a paměť, kterou při tom spotřebzje.</p> <p>Čas měříme v počtu provedených operací. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že aritmetické operace, přiřazování, porovnávání apod. nás stojí jednotkový (konstantní) čas. Množství použité paměti můžeme zjistit tak, že prostě spočítáme, kolik bytů paměti náš prohram použil.</p> <p>Jak čas, tak paměť se obvykle liší podle toho, jaký vstup náš program zrovna dostal - na velké vstupy spotřebuje více času i paměti než na ty malé. Budeme proto oba parametry určovat v závislosti na velikosti vstupu a hledat funkci, která nám tuto závislost popíše. Takové funkci se odborně říká <strong>časová (popř. paměťová, prostorová)</strong> složitost.</p> <p>Více o složitosti naleznete <a href="https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/slozitost/">zde.</a></p> <h1 id="programování">Programování</h1> <h2 id="programovací-jazyky">Programovací jazyky</h2> <p><strong>Programovací jazyk</strong> je prostředek pro zápis algoritmů, jež mohou být provedeny na počítači. Zápis algoritmu ve zvoleném programovacím jazyce se nazývá <em>program</em>.</p> <p>Programovací jazyk je komunikačním nástrojem mezi programátore a počítačem, který program interpretuje technickými prostředky. Programovací jazyk je vlastně soubor pravidel pro zápis algoritmu, odborně řečeno se jedná o <em>formální jazyk</em>.</p> <p>Programovací jazyky existují v řadě verzí a implementací (proces uskutečňování teoreticky stanovené myšlenky), mluvíme někdy o dialektech programovacího jazyka.</p> <h3 id="typy-programovacích-jazyků">Typy programovacích jazyků</h3> <p>Existuje několik možností kritérií, podle kterých jazyky dělit.</p> <p><strong>Dle míry abstrakce</strong>:</p> <ul> <li>vyšší programovací jazyky (většina jazyků)</li> <li>nižší programovací jazyky (např. jazyk symbolických adres - assembler, částečně VHDL)</li> </ul> <p><strong>Dle způsobu překladu a spuštění</strong>:</p> <ul> <li>kompilované programovací jazyky (např. C, Pascal, Java) <ul> <li>před spuštěním jdou nejprve kompletně přeloženy kompilátorem</li> <li>výsledkem je větší rychlost, ale také větší náročnost na správně napsaný kód</li> </ul> </li> <li>interpretované programovací jazyky (např. BASIC, Python, Ruby, Perl) <ul> <li>interpretované jazyky, které se pouze interpretují (jsou pomalejší, většina jazyků má proto nějakou jinou možnost, pokud nejsou zpomalovány něčím jiným - shell)</li> <li>interpretované jazyky, které se překládají, ale pouze do mezikódu, nikoli do strojového kódu (např. Java, Python)</li> <li>interpretované jazyky, které se po spuštění za běhu programu překládají do strojového kódu počítače (např. Java, pokud se použije systém <strong>JIT</strong>)</li> </ul> </li> </ul> <p>Toto členění není absolutní, řada programovacích jazyků existuje v implementaci jak interpretované, tak kompilované (Java). Mohou se kombinovat oba postupy, zdrojový kód je nejprve kompilován do mezikódu, který je poté interpretován.</p> <p><strong>Dle oblasti použití</strong></p> <ul> <li>univerzální jazyky (obecné použití, postrádají specializované funkce)</li> <li>doménově specifické (DSL)</li> </ul> <p><strong>Vyšší programovací jazyky se dělí takto</strong></p> <ul> <li>Procedurální (imperativní) <ul> <li>Strukturované (př. C, BASIC)</li> <li>Objektově orientované (př. Java)</li> </ul> </li> <li>Neprocedurální (deklarativní) <ul> <li>Funkcionální (př. Lisp, Haskell)</li> <li>Logické (př. Prolog)</li> </ul> </li> </ul> <p>Některé programovací jazyky (C++, Python, Object Pascal, Rust) umožňují kombinovat různé přístupy. Část řešení může být vyjádřena zápisem funkcí a procedur, část řešení může využívat čistě objektový přístup - klasický příklad C++, podobný přístup využívá jazyk Python, který navíc do určité míry podporuje i funkcionální programování. Protikladem je jazyk Java, kde i jednoduchá funkce musí být vyjádřena formou třídy.</p> <h2 id="základní-příkazy">Základní příkazy</h2> <p>Mezi základní příkazy patří:</p> <ul> <li>manipulace s daty v paměti (uložení či načtení hodnoty)</li> <li>provedení nějakého numerického výpočtu (+,-,*,/)</li> <li>vyhodnocení nějaké konkrétní podmínky a odpovídající větvení programu</li> <li>opakování nějakého příkazu - <em>cyklus</em></li> <li>vstup a výstup programu</li> </ul> <h3 id="podmínky-větvení">Podmínky (Větvení)</h3> <p>Podmínky zapisujeme pomocí klíčového slova <em>if</em>, za kterým následuje logický výraz. Pokud je výraz pravdivý, provede se následující příkaz. Pokud ne, následující příkaz se přeskočí a pokračuje se až pod ním, <em>else</em>. Ve výrazech můžeme používat relační operátory jako je např. rovnost, větší/menší, nerovnost, obecná negace</p> <h3 id="cyklus">Cyklus</h3> <p>Pomocí cyklů můžeme jednoduše říct počítači, aby určitý blok kódu opakoval, kolikrát budeme chtít.</p> <h4 id="for-cyklus">For cyklus</h4> <p>For cykly jsou cykly s předem daným počtem opakování. Řídící proměnné cyklu je přiřazena počáteční hodnota, která se zvyšuje v každém průběhu cyklu o krok</p> <h4 id="while-cyklus">While cyklus</h4> <p>Dokud je splněna uvedená podmínka, cyklus pokračuje dál.</p> <h3 id="deklarace">Deklarace</h3> <p><strong>Deklarace</strong> je v informatice zápis, kterým se v počítačovém programu zavádí jméno (identifikátor) a zpravidla určuje jeho datový typ a další aspekty pro proměnné, funkce (procedury), konstanty apod. Překladač je tak informován o příslušném objektu. V jazycích se silnou typovou kontrolou jako je Pascal, C nebo Ada, je nutné všechny objekty deklarovat dříve, než jsou použity v programu.</p> <h3 id="funkce">Funkce</h3> <p>Funkci si můžeme představit jako nějakou pojmenovanou část kódu (posloupnost příkazů), kterou můžeme opakovaně použít tím, že ji v různých částech programu <em>zavoláme</em>. Funkci při zavolání předáme parametry, které se dostanou do její vnitřní paměti.</p> <p>Funkce pak na základě obdržených parametrů může provádět nějaké operace, při kterých pracuje se svojí vnitřní pamětí (mluvíme tak o <em>lokální</em> paměti, změny v ní se neprojeví nikde mimo funkci).</p> <h3 id="rekurze">Rekurze</h3> <p><strong>Rekurze</strong> je velmi důležitá programátorská technika. V podstatě znamená definování nějaké věci (ať už je to nějaký objekt či postup výpočtu) pomocí sebe sama.</p> <p>Rekurzivně může být například zadána nějaká datová struktura - př. stromy, spojový seznam. Kromě rekurzivních datových struktur se ale často potkáme i s rekurzivním postupem výpočtu programu, nejčastěji realizovaným ve formě funkce, která volá sama sebe - <em>rekurzivní funkce</em>.</p> <p>U rekurzivních funkcí je nejdůležitější věc definovat <em>koncovou podmínku</em>, při níž už se rekurze zastaví. Jinak by rekurze běžela donekonečna - došla by ji paměť.</p> <h2 id="datový-typ">Datový typ</h2> <p><strong>Datový typ</strong> definuje druh nebo význam hodnot, kterých smí nabývat <em>proměnná</em> (nebo konstanta). Datový typ je určen oborem hodnot a zároveň výpočetními operacemi, které lze s hodnotami tohoto typu provádět. Nemůže být určen pouze oborem hodnot, protože existují i datové typy lišící se pouze v operacích, které je s nimi možné provádět.</p> <h3 id="jednoduché-datové-typy">Jednoduché datové typy</h3> <p>Jednoduché datové typy jsou většinou přímo zabudovány do jazyka, přičemž v běžně používaných jazycích nejsou parametrizovatelné.</p> <p><strong>Ordinální datové typy</strong><br /> Hodnoty ordinálního typu tvoří lineárně uspořádanou množinu, kde pro každý prvek je přesně definovaný předchůdce i následovník.</p> <ul> <li><strong>logická hodnota</strong> (boolean) - nabývá hodnot <em>true</em> nebo <em>false</em>. Je výsledkem porovnání nebo logického výrazu. Jazyk C tento typ nedefinuje, místo toho používá 0 a jakékoli nenulové celé číslo.</li> <li><strong>celé číslo</strong> (integer)</li> <li><strong>znak</strong> (char, string)</li> <li><strong>výčtový typ</strong> (enumerate)</li> </ul> <p><strong>Neordinální datové typy</strong><br /> U neordinálních datových typů není jednoznačně určen předchůdce a následovník každé hodnoty.</p> <ul> <li><strong>reálné číslo</strong> (float, double, real)</li> </ul> <p><strong>Prázdný datový typ</strong></p> <ul> <li><strong>void</strong> - jedná se o specialitu jazyka C. Tento typ nenabývá žádných hodnot, může sloužit mimo jiné pro deklaraci funkcí</li> </ul> <h3 id="speciální-funkce-pro-různé-datové-typy">Speciální funkce pro různé datové typy</h3> <p>???</p> <h2 id="třídění">Třídění</h2> <p><strong>Třídění</strong> znamená, že data přerovnáváme do správného pořadí (např. od největšího po nejmenší).</p> <p>Obvykle třídíme exempláře datové struktury typu pascalského záznamu (struktury, třídy apod.) V takové datové struktuře bývá obsažena jedna význačná položka - <em>klíč</em>, podle které se záznamy řadí, který je zároveň celočíselný. Budeme tedy třídit pole celých čísel.</p> <h3 id="přímé-metody">Přímé metody</h3> <p>Nejjednodušší třídící algoritmy patří do skupiny <em>přímých metod</em>. Jsou krátké, jednoduché a třídí přímo v poli (nepotřebujeme pole pomocné). Tyto algoritmy mají časovou složitost \(O(N^2)\). Jsou tedy použitelné pouze pokud vstupních dat není mnoho.</p> <p><strong>Select Sort</strong> Select sort je založen na opakovaném vybírání nejmenšího čísla z dosud nesetříděných čísel. Nalezené číslo prohodíme s prvkem na začátku pole a postup opakujeme.</p> <p><strong>Insert sort</strong> Funguje na podobném principu jako třídění přímým výběrem. Na začátku pole vytváříme správně utříděnou posloupnost, kterou postupně rozšiřujeme.</p> <p><strong>Bubble sort</strong> Postupně se porovnávají dvojice sousedních prvků, řekněme zleva doprava, a pokud v porovnávané dvojici následuje menší číšlo, tato dvě čísla se prohodí. Celý postup opakujeme, dokud probíhají nějaké výměny.</p> <h3 id="rychlé-metody">Rychlé metody</h3> <p>Sofistikované třídící algoritmy, pracují v čase \(O(N log N)\).</p> <p><strong>Merge Sort</strong> Založený na principu slévání (spojování) již setříděných posloupností dohromady. Jednoduše stačí porovnávat nejmenší prvky obou posloupností a menší z těchto prvlů vždy odstranit a přesunout do nové posloupnosti. Tento algoritmus je velmi složitý a pro zjednodušení a zachování časové složitosti se používájí modifikace, např. s pomocným polem.</p> <p><strong>Quick Sort</strong> Tento algoritmus je založen na metodě Rozděl a panuj. Nejprve si zvolíme nějaké číslo, kterému budeme říkat pivot. Poté pole přeuspořádáme a rozdělíme je na dvě části tak, že žádný prvke v první části nebude větší než pivot a žádný prvek v druhé části naopak menší. Prvky v obou částech pak setřídíme rekurzivním zavoláním téhož algoritmu.</p> <p>Více o třídění naleznete <a href="https://ksp.mff.cuni.cz/kucharky/trideni/">zde</a></p> https://andy.ggu.cz/2023/02/22/posloupnosti/ 2023-02-22T00:00:00+00:00 2023-02-22T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#definice-posloupnosti" id="markdown-toc-definice-posloupnosti">Definice posloupnosti</a></li> <li><a href="#způsoby-zápisu-posloupnosti" id="markdown-toc-způsoby-zápisu-posloupnosti">Způsoby zápisu posloupnosti</a></li> <li><a href="#rekurentní-vyjádření" id="markdown-toc-rekurentní-vyjádření">Rekurentní vyjádření</a> <ul> <li><a href="#fibonacciho-posloupnost" id="markdown-toc-fibonacciho-posloupnost">Fibonacciho posloupnost</a></li> </ul> </li> <li><a href="#vlastnosti-posloupností" id="markdown-toc-vlastnosti-posloupností">Vlastnosti posloupností</a></li> <li><a href="#matematická-indukce" id="markdown-toc-matematická-indukce">Matematická indukce</a></li> <li><a href="#aritmetická-posloupnost" id="markdown-toc-aritmetická-posloupnost">Aritmetická posloupnost</a> <ul> <li><a href="#součet-prvních-n-členů-aritmetické-posloupnosti" id="markdown-toc-součet-prvních-n-členů-aritmetické-posloupnosti">Součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti</a></li> </ul> </li> <li><a href="#geometrická-posloupnost" id="markdown-toc-geometrická-posloupnost">Geometrická posloupnost</a> <ul> <li><a href="#součet-prvních-n-členů-geometrické-posloupnosti" id="markdown-toc-součet-prvních-n-členů-geometrické-posloupnosti">Součet prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="definice-posloupnosti">Definice posloupnosti</h2> <p>Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel \(\N\) nebo její část.</p> <p>Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina \(\N\), se nazývá <strong>nekonečná posloupnost</strong>.<br /> Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel \(n \leq n_0\), kde \(n_0\) je pevně dané číslo z \(\N\), se nazývá <strong>konečná posloupnost</strong>.</p> <p>U posloupností nehovoříme o hodnotě funkce v bodě \(n\), ale o \(n\)-tém členu posloupnosti.</p> <h2 id="způsoby-zápisu-posloupnosti">Způsoby zápisu posloupnosti</h2> <ol> <li>Vzorcem, pro \(n\)-tý člen <ul> <li>značení mírně odlišné od funkcí: \((a_n)_{n=1}^\infty\)</li> </ul> </li> <li>Výpisem prvních několika členů: \(a_n: -4, -2, -4, -2, \ldots\)</li> </ol> <h2 id="rekurentní-vyjádření">Rekurentní vyjádření</h2> <p>Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Součástí každého rekurentního vzorce musí být zadání prvního, případně několika prvních členů posloupnosti. Nevýhodou zadání pomocí rekurentního vzorce je to, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, pokud známe členy předcházející.</p> <p>Př.:</p> \[\begin{aligned} a_{1} &amp;= 4\\ a_{n + 1} &amp;= a_n + 3 \end{aligned}\] <h3 id="fibonacciho-posloupnost">Fibonacciho posloupnost</h3> <p><strong>Fibonacciho posloupnost</strong> je nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, \(\ldots\), kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Rekurentní vyjádření tedy je:</p> \[\begin{aligned} a_{1} &amp;= 1\\ a_{2} &amp;= 1\\ a_{n+2} &amp;= a_{n+1} + a_{n} \end{aligned}\] <h2 id="vlastnosti-posloupností">Vlastnosti posloupností</h2> <p>Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>rostoucí</strong>, právě tehdy když pro všechna \(r, s \in \N\) platí: Je-li \(r &lt; s\), pak \(a_r &lt; a_s\) (neboli \(a_n &lt; a_{n+1}\)). <br /> Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>klesající</strong>, právě tehdy když pro všechna \(r, s \in \N\) platí: Je-li \(r &lt; s\), pak \(a_r &gt; a_s\) (neboli \(a_n &gt; a_{n+1}\)).</p> <p>Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>neklesající</strong>, právě tehdy když pro všechna \(r, s \in \N\) platí: Je-li \(r &lt; s\), pak \(a_r \leq a_s\). <br /> Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>nerostoucí</strong>, právě tehdy když pro všechna \(r, s \in \N\) platí: Je-li \(r &lt; s\), pak \(a_r \geq a_s\).</p> <blockquote> <p>Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají <strong>monotónní</strong> posloupnosti.</p> </blockquote> <p>Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>shora omezená</strong>, právě když existuje reálné číslo \(h\) takové, že pro všechna \(n \in \N\) je \(a_n \leq h\). <br /> Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>nerostoucí</strong>, právě když existuje reálné číslo \(d\) takové, že pro všechna \(n \in \N\) je \(a_n \geq d\).</p> <blockquote> <p>Posloupnost se nazývá <strong>omezená</strong>, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.</p> </blockquote> <h2 id="matematická-indukce">Matematická indukce</h2> <p><strong>Matematická indukce</strong> je typ důkazu, který se používá pro tvrzení týkající se přirozených čísel. Věty typu:</p> <blockquote> <p><em>Pro všechna přirozená čísla \(n\) platí \(V(n)\)</em></p> </blockquote> <p>Přitom \(V(n)\) vyjadřuje nějakou vlastnost přirozených čísel, která je vyjádřena rovnicí nebo nerovnicí apod.</p> <p><strong>Důkaz matematickou indukcí</strong> se skládá ze dvou částí :</p> <ol> <li>Dokážeme, že \(V(n)\) platí pro \(n = 1\)</li> <li>Pro každé přirozené číslo \(k\) dokážeme: Jestliže platí \(V(k)\), pak platí \(V(k + 1)\).</li> </ol> <h2 id="aritmetická-posloupnost">Aritmetická posloupnost</h2> <p>Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>aritmetická</strong>, právě když existuje takové reálné číslo \(d\), že pro každé přirozené číslo \(n\) je</p> \[a_{n+1} = a_n + d\] <p>Číslo \(d\) se nazývá <strong>diference</strong> aritmetické posloupnosti.</p> <p>V aritmetické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) s diferencí \(d\) platí pro každé \(n \in \N\)</p> \[a_n = a_1 + (n-1)d\] <p>V aritmetické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) s diferencí \(d\) platí pro všechna \(r, s \in \N\)</p> \[a_s = a_r + (s-r)d\] <h3 id="součet-prvních-n-členů-aritmetické-posloupnosti">Součet prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti</h3> <p>Pro součet \(s_n\) prvních \(n\) členů aritmetické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\), tj. pro \(a_1 + a_2 + \ldots + a_n\), platí:</p> \[s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] <h2 id="geometrická-posloupnost">Geometrická posloupnost</h2> <p>Posloupnost \((a_n)_{n=1}^\infty\) se nazývá <strong>geometrická</strong>, právě když existuje takové číslo \(q\), že pro každé přirozené číslo \(n\) je</p> \[a_{n+1} = a_n \cdot q\] <p>Číslo \(q\) se nazývá <strong>kvocient</strong> geometrické posloupnosti.</p> <p>V geometrické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) s kvocientem \(q \ne 0\) platí pro každé \(n \in \N\)</p> \[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\] <p>V geometrické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) s kvocientem \(q \ne 0\) platí pro všechna \(r, s \in \N\)</p> \[a_s = a_r \cdot q^{s-r}\] <h3 id="součet-prvních-n-členů-geometrické-posloupnosti">Součet prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti</h3> <p>Pro součet \(s_n\) prvních \(n\) členů geometrické posloupnosti \((a_n)_{n=1}^\infty\) s kvocientem \(q\) platí:</p> <p>a) je-li \(q = 1\), pak</p> \[s_n = a_1 \cdot n\] <p>b) je-li \(q \ne 1\), pak</p> \[s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\] https://andy.ggu.cz/2023/02/17/hardware/ 2023-02-17T00:00:00+00:00 2023-02-17T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#všeobecný-popis-částí-počítače" id="markdown-toc-všeobecný-popis-částí-počítače">Všeobecný popis částí počítače</a></li> <li><a href="#motherboard---základní-deska" id="markdown-toc-motherboard---základní-deska">Motherboard - Základní deska</a> <ul> <li><a href="#procesor-cpu" id="markdown-toc-procesor-cpu"><strong>Procesor, CPU</strong></a> <ul> <li><a href="#stavba-procesoru" id="markdown-toc-stavba-procesoru">Stavba procesoru</a></li> <li><a href="#specifikace-procesoru" id="markdown-toc-specifikace-procesoru">Specifikace procesoru</a></li> <li><a href="#rozdělení-procesorů" id="markdown-toc-rozdělení-procesorů">Rozdělení procesorů</a> <ul> <li><a href="#podle-instrukční-sady" id="markdown-toc-podle-instrukční-sady">Podle instrukční sady</a></li> <li><a href="#podle-šířky-slova" id="markdown-toc-podle-šířky-slova">Podle šířky slova</a></li> <li><a href="#podle-architektury-procesoru" id="markdown-toc-podle-architektury-procesoru">Podle architektury procesoru</a></li> </ul> </li> <li><a href="#parametry-procesoru" id="markdown-toc-parametry-procesoru">Parametry procesoru</a></li> <li><a href="#výrobci-cpu" id="markdown-toc-výrobci-cpu">Výrobci CPU</a></li> </ul> </li> <li><a href="#paměti-počítače" id="markdown-toc-paměti-počítače"><strong>Paměti počítače</strong></a> <ul> <li><a href="#ram-random-access-memory" id="markdown-toc-ram-random-access-memory">RAM (Random Access Memory)</a></li> <li><a href="#rom-read-only-memory" id="markdown-toc-rom-read-only-memory">ROM (Read-Only Memory)</a></li> <li><a href="#hdd-hard-disk-drive" id="markdown-toc-hdd-hard-disk-drive">HDD (Hard Disk Drive)</a></li> <li><a href="#ssd" id="markdown-toc-ssd">SSD</a></li> <li><a href="#usb-flash" id="markdown-toc-usb-flash">USB Flash</a></li> <li><a href="#dvdcdblu-ray" id="markdown-toc-dvdcdblu-ray">DVD/CD/Blu-ray</a></li> <li><a href="#cloud" id="markdown-toc-cloud">Cloud</a></li> </ul> </li> <li><a href="#grafické-karty" id="markdown-toc-grafické-karty">Grafické karty</a></li> <li><a href="#zvukové-karty" id="markdown-toc-zvukové-karty">Zvukové karty</a></li> <li><a href="#bios-basic-input-output-system" id="markdown-toc-bios-basic-input-output-system">BIOS (Basic Input-Output System)</a></li> <li><a href="#sběrnice" id="markdown-toc-sběrnice">Sběrnice</a> <ul> <li><a href="#interní-sběrnice" id="markdown-toc-interní-sběrnice">Interní sběrnice</a></li> <li><a href="#externí-sběrnice" id="markdown-toc-externí-sběrnice">Externí sběrnice</a></li> </ul> </li> <li><a href="#rozhraní" id="markdown-toc-rozhraní">Rozhraní</a></li> <li><a href="#vstupně-výstupní-zařízení" id="markdown-toc-vstupně-výstupní-zařízení">Vstupně-výstupní zařízení</a> <ul> <li><a href="#monitory" id="markdown-toc-monitory">Monitory</a></li> <li><a href="#klávesnice" id="markdown-toc-klávesnice">Klávesnice</a></li> <li><a href="#myš" id="markdown-toc-myš">Myš</a></li> <li><a href="#touchpad" id="markdown-toc-touchpad">Touchpad</a></li> <li><a href="#trackpoint" id="markdown-toc-trackpoint">Trackpoint</a></li> <li><a href="#gamepad" id="markdown-toc-gamepad">Gamepad</a></li> <li><a href="#scanner" id="markdown-toc-scanner">Scanner</a></li> <li><a href="#tiskárny" id="markdown-toc-tiskárny">Tiskárny</a></li> <li><a href="#plotter" id="markdown-toc-plotter">Plotter</a></li> <li><a href="#3d-tisk" id="markdown-toc-3d-tisk">3D tisk</a></li> <li><a href="#dotyková-obrazovka" id="markdown-toc-dotyková-obrazovka">Dotyková obrazovka</a></li> <li><a href="#webová-kamera" id="markdown-toc-webová-kamera">Webová kamera</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#dělení-počítačů" id="markdown-toc-dělení-počítačů">Dělení počítačů</a> <ul> <li><a href="#stolní-počítač" id="markdown-toc-stolní-počítač">Stolní počítač</a></li> <li><a href="#notebook" id="markdown-toc-notebook">Notebook</a></li> <li><a href="#tablet" id="markdown-toc-tablet">Tablet</a></li> <li><a href="#server" id="markdown-toc-server">Server</a></li> <li><a href="#superpočítač" id="markdown-toc-superpočítač">Superpočítač</a></li> <li><a href="#další-elektronické-zařízení" id="markdown-toc-další-elektronické-zařízení">Další elektronické zařízení</a> <ul> <li><a href="#fotoaparáty" id="markdown-toc-fotoaparáty">Fotoaparáty</a></li> <li><a href="#kamery" id="markdown-toc-kamery">Kamery</a></li> <li><a href="#mobilní-telefony" id="markdown-toc-mobilní-telefony">Mobilní telefony</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="všeobecný-popis-částí-počítače">Všeobecný popis částí počítače</h1> <ul> <li>Case</li> <li>Motherboard</li> <li>GPU</li> <li>zdroj (PSU) - nutné pečlivě vybírat podle spotřeby komponent a potřebné kabeláže (SATA, ATX, MOLEX) popř. účinnosti (nejvyšší výkon obvykle kolem 50% tj. je lepší kupovat zdroj s výkonem + 50%) a ceny, výkon 200W - 1500W</li> <li>disky (SSD/HDD)</li> <li>paměť RAM</li> <li>DVD/FDD mechanika</li> </ul> <p><strong>Externí</strong></p> <ul> <li>myš, klávesnice, monitor, mikrofon, reproduktory, tiskárna, touchpad, skener, webkamera, dotyková obrazovka</li> </ul> <h1 id="motherboard---základní-deska">Motherboard - Základní deska</h1> <p>Představuje základní hardware většiny počítačů. Hlavním účelem základní desky je propojit jednotlivé součástky počítače do fungujícího celku a rozdělit jim elektrické napájení, které základní desce poskytne zdroj.</p> <p>Postupem času se funkce základní desky rozšiřovala v tom, že sama začínala obsahovat některé komponenty, které se dříve musely připojovat externě.</p> <p>Typická základní deska umožňuje zapojení <strong>procesoru</strong> a <strong>operační paměti</strong>. Další komponenty - <strong>grafické karty, zvukové karty, pevné disky, mechaniky</strong> se připojují pomocí rozšiřujících slotů nebo kabelů, které se zastrkávají do příslušných konektorů. Konektory pro připojení napájení (ATX, CPU), předního panelu (USB, JACK), zapínání + diody</p> <p>Na základní desce je dále umístěna energeticky nezávislá paměť <strong>Flash</strong>, ve které je uložen systém <strong>BIOS</strong>, který slouží k oživení počítače hned po spuštění.</p> <p>Nejdůležitější <strong>integrované obvody</strong> jsou zabudovány v <strong>čipové sadě</strong> (chipset). Fyzicky jde buď o jeden čip, nebo o dva (v tom případě se označují jako <strong>northbridge</strong> a <strong>southbridge</strong>). Čipová sada se stará o komunikaci mezi procesorem, pamětí a vstupně-výstupními zařízeními a rozhoduje, jaký procesor a operační paměť je možné k základní desce připojit.</p> <p>Výrobci: Gigabyte, Asus, MSI</p> <h2 id="procesor-cpu"><strong>Procesor, CPU</strong></h2> <ul> <li>centrální procesorová jednotka, která je jako celek uložena do pouzdra integrovaného obvodu,</li> <li>postupně zpracovává jednotlivé instrukce programu, čímž realizuje požadovanou funkci</li> <li>umí vykonávat <strong>strojové instrukce</strong>, ze kterých je tvořen počítačový program a obsluhovat jeho vstupy a výstupy</li> <li>stále i moderní procesory jsou založeny na zpracování <strong>strojového kódu</strong> (sada strojových instrukcí), které odpovídají způsobu práce procesoru</li> <li>každá architektura procesorů definuje svůj vlastní strojový jazyk</li> <li>mikroprocesor představuje příklad <strong>sekvenčního logického obvodu</strong>, který pro uložení dat používá dvojkovou soustavu</li> <li>mikroprocesor v dnešní době obsahují nejen osobní počítače, ale už jakákoli spotřební elektronika, automobily apod.</li> <li><strong>Tranzistor</strong> změnil situaci ve vývoji elektroniky, zejména proto, že se jednalo elektronickou součástku bez pohyblivých částí. Efektivně nahradila <strong>elektronky</strong> a <strong>relé</strong></li> <li>Mooreův zákon</li> </ul> <h3 id="stavba-procesoru">Stavba procesoru</h3> <p>Současné procesory zachovávají tradiční vnitřní uspořádání procesoru, které bylo rozpoznatelné i u prvních procesorů.</p> <p>Procesory obsahují:</p> <ul> <li><strong>Řadič</strong> nebo řídící jednotka, která zajišťuje součinnost jednotlivých částí procesoru dle prováděných strojových instrukcí (jejich dekódování, načítání operandů instrukcí z operační paměti a ukládání výsledků zpracování instrukcí)</li> <li><strong>Sada registrů</strong> pro uchování operandů a mezivýsledků. Přístup k registrům je mnohem rychlejší než přístup do operační paměti připojené k procesoru pomocí sběrnice. Registry dělíme na obecné (pracovní, univerzální) a řídící (např. čítač instrukcí, stavové registry, registr vrcholu zásobníku, index registry). Bitová šířka pracovních registrů je jednou ze základních charakteristik procesoru.</li> <li><strong>cache L1</strong> (právě zpracovávaná data, malá, rychlá); <strong>cache L2</strong> (pomalejší, větší, stále pouze pro jedno jádro); <strong>cache L3</strong> (pomalá, velká sdílená s Integrovanou GPU a všemi jádry)</li> <li><strong>Aritmeticko-logická jednotka (ALU)</strong> může být jedna nebo více, provádí nad daty aritmetické a logické operace</li> <li><strong>Matematický kompresor</strong> (FPU - Floating Point Unit) - obsahují jej současné CPU, provádí operace s desetinnými čísly</li> <li>Současné CPU většinou obsahují také vektorovou jednotku, která je v podstatě matematickým koprocesorem optimalizovaným pro operace s vektory desetinných čísel</li> </ul> <h3 id="specifikace-procesoru">Specifikace procesoru</h3> <ul> <li>architektura: AMD64 (64bit, nahradila starší 32bit x86; zpětně kompatibilní) a ARM64 (původně pro úspornější zařízení - tablety, mobily, hodinky, ale v poslední době se začíná používat i u superpočítačů a běžných desktopů - viz Apple)</li> </ul> <h3 id="rozdělení-procesorů">Rozdělení procesorů</h3> <h4 id="podle-instrukční-sady">Podle instrukční sady</h4> <p>Podle instrukční sady se dělí procesory na:</p> <ul> <li>CISC - Complex Instruction Set Computing - procesory s úplnou instrukční sadou, patří zde mikroprocesory řady x86-64, podstatné při programování v ASM, kritizováno - paradoxně může zpomalovat (komplikovaný návrh)</li> <li>RISC - Reduced Instruction Set Computing - procesory s redukovanou instrukční sadou, patří zde mikroprocesory ARM, SPARC, MIPS, PowerPC a Alpha, redukovaná instrukční sada, jen jednoduché příkazy, optimalizováno, aby byly co nejrychleji prováděny</li> <li>VLIW - procesorová architektura, která umožňuje instrukční paralelismus - snaha o zvýšení výpočetního výkonu procesorů, patří zde mikroprocesory Tilera</li> </ul> <p>Obě sady obsahují také celkové koncepce procesorů a jejich stavby.</p> <h4 id="podle-šířky-slova">Podle šířky slova</h4> <p>Jedním ze základních ukazatelů procesoru je počet bitů, tj. šířka operandu (slova), který je procesor schopný zpracovat v jednom kroku. První procesory byly 4bitové, což bylo dáno tím, že často pracovaly přímo s čísly v desítkové soustavě. Brzy přišly 8bitové, u nichž se zjednodušeně dá říci, že umí přímo počítat s čísly od 0 do 255, zatímco 16bitový procesor s čísly od 0 do 2*16.</p> <h4 id="podle-architektury-procesoru">Podle architektury procesoru</h4> <p>Jako výhodnější se ukazují instrukční sady typu RISC, avšak některé architektury z důvodu zachování zpětné kompatibility pracují i se strojovým kódem typu CISC. Procesory RISC jsou velmi úspěšné např. v mobilních telefonech nebo v superpočítačích, protože jednodušší architektura se projevuje nižší spotřebou energie.</p> <h3 id="parametry-procesoru">Parametry procesoru</h3> <ul> <li>počet jader - každé je samostatná výpočetní jednotka; HyperThreading - jedno jádro zpracovává dva procesy</li> <li>frekvence - v GHz, zjednodušeně doba, za kterou tranzistor přepne stav z 1 na 0, Turbo Boost/Core - procesor mění frekvenci dynamicky podle používání; 3 - 6GHz</li> <li>socket - LGA (Intel, konektory za základní desce), PGA, (AMD, z procesoru vystupují kontakty, ty se zapojují do mřížky CPU)</li> <li>TDP - tepelný výkon, spotřeba ve wattech</li> <li>výrobní technologie tranzistorů - velikost v nm, dnes 10nm - 3nm</li> <li>integrované CPU</li> <li>cena</li> </ul> <h3 id="výrobci-cpu">Výrobci CPU</h3> <ul> <li>AMD64 (Intel, AMD - dělá jen návrhy, čipy vyrábí TSMC)</li> <li>ARM - mnoho výrobců, např. Qualcomm</li> <li>Apple (vlastní čipy M1)</li> <li>Samsung</li> </ul> <h2 id="paměti-počítače"><strong>Paměti počítače</strong></h2> <p>Paměti slouží k dočasnému nebo trvalému uložení programů a dat.</p> <p><strong>Dělení</strong>:</p> <ul> <li><em>primární (vnitřní)</em> - rychlá; malá velikost; slouží k dočasnému uložení dat, se kterými počítač pracuje RAM, cache, CPU registry</li> <li> <p><em>sekundární (vnější)</em> - pomalejší ale řádově větší; trvalé uložení dat; HDD, SSD, USB Flash disk, CD…</p> </li> <li><em>volatilní (energeticky závislá)</em> - k udržení informace potřebuje napětí, po jeho odpojení informaci ztrácí - RAM, cache</li> <li><em>nonvolatilní</em> - ROM, Flash, HDD…</li> <li><em>podle způsobu uložení dat</em> <ul> <li>polovodičové - RAM, ROM, EPROM Flash, u RAM 2 druhy <ul> <li><strong>SRAM</strong> (statická) - používá tranzistory, je rychlejší, úspornější, jednou uložená data vydrží až do přerušení napájení, ale technicky využívá 6 tranzistorů na 1 bit \(\rightarrow\) drahá; využívá se pouze jako malá, rychlá paměť na cache</li> <li><strong>DRAM</strong> (dynamická) - používá kondenzátory, ztrácí náboj \(\rightarrow\) data se musí neustále obnovovat (několikrát za sekundu), ale je velmi levná, využívá se u RAM pamětí</li> </ul> </li> <li>magnetické - HDD, FDD, magnetické pásky</li> <li>optické - DVD, CD</li> </ul> </li> <li><em>podle přístupu</em> <ul> <li>SAM (sériové) - pomalejší, místo s daty se musí natočit pod čtecí zařízení - HDD, CD, pásky</li> <li>RAM (náhodné) - lze okamžitě přečíst jakoukoli informaci</li> <li>FIFO (first-in-out-first-out) - v programování fronta (queue) - prakticky SRAM s řadičem</li> <li>LIFO (last-in-first-out) - v programování jako zásobník, SRAM s řadičem</li> </ul> </li> <li>podle možnosti čtení a zápisu <ul> <li>RWM (read/write) - čtení i zápis</li> <li>ROM (read only) - CD-ROM</li> <li>WORM (write only read many times) - PROM (ROM, ale pomocí programátoru lze jednou uložit data), CD-R</li> <li>programovatelné ROM</li> <li>WOM (write only)</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Parametry</strong></p> <ul> <li>kapacita - velikost paměti, kolik dat lze uložit</li> <li>přístupová doba - jak dlouho trvá zpřístupnit data (od vydání požadavku do získání dat)</li> <li>přenosová rychlost - množství dat za sekundu</li> <li>volatilní/nonvolatilní</li> <li>spolehlivost (množství zapsání než dojde k chybě)</li> <li>cena za bit (*kapacita = cena)</li> </ul> <h3 id="ram-random-access-memory">RAM (Random Access Memory)</h3> <ul> <li>zkomolený název prosazený Intelem, správný název měl být RWM-DRAM memory</li> <li>polovodičová paměť s přímým přístupem (volatilní) umožňující čtení i zápis</li> <li>paměť RAM si lze představit jako řadu očíslovaných (číslo je adresa buňky) buněk, z nichž každá obsahuje nějakou hodnotu (při velikosti buňky 1 bajt hodnotu 0-255)</li> <li>velikost paměti (tj. počet paměťových míst nebo buněk) se nejčastěji udává v bajtech, dnešní PC, tablety a telefony mají velikost řádu gigabajtů</li> <li>paměť RAM se používá hlavně jako operační paměť počítačů, tj. paměť, v níž jsou uloženy běžící programy (včetně operačního systému) a jejich data</li> <li>obsah v současnosti používaných polovodičových RAM se po odpojení napájení vymaže (volatilita): proto data, která mají být zachována, je nutné ukládat na disk nebo flash paměti, která volatilní není</li> <li>výrobci: Samsung, Kingston, Consair</li> <li>paměť s přímým přístupem; volatilní</li> </ul> <h3 id="rom-read-only-memory">ROM (Read-Only Memory)</h3> <ul> <li>typ elektronické paměti, jejíž obsah je dán při výrobě, není závislý na napájení (je tzv. nevolatilní)</li> <li>používá se pro uložení firmware v elektronických přístrojích, dříve ve starších počítačích, kde zajišťuje jejich běžnou činnost</li> <li>v minulosti byly ROM paměti v počítačích používány pro uložení BIOSu, firmware v mechanice, grafické kartě apod.</li> <li>dnes už se u PC setkáme s ROM ojediněle z důvodu nemožnosti aktualizace firmware a BIOSu pro opravu chyb a případně přidání nových vlastností</li> </ul> <h3 id="hdd-hard-disk-drive">HDD (Hard Disk Drive)</h3> <ul> <li>elektromechanické zařízení pro záznam a čtení adresovatelných dat, paměť o velké kapacitě a s pomalejším přístupem než operační paměť RAM</li> <li>v PC se používá jako sekundární a záložní paměť, ve spotřební elektronice k dočasnému nebo trvalému uchování většího množství dat</li> <li>ukládání a čtení probíhá pomocí magnetické indukce</li> <li>typické parametry: <ul> <li>kapacita - 0,5 až 18 TB</li> <li>přístupová doba - několik ms (obvykle 8 ms)</li> <li>rychlost otáčení - obvykle 7200 otáček za minutu</li> <li>přenosová rychlost - MB/s</li> <li>RAM cache - 8 až 512 MB RAM</li> </ul> </li> <li>rotující plotny potažené magnetickou vrstvou a nad ní se pohybuje čtecí hlava</li> <li>připojuje se přes 2 SATA kabely (data a proud)</li> </ul> <h3 id="ssd">SSD</h3> <ul> <li>zařízení pro čistě elektronické ukládání dat</li> <li>je nástupcem magnetických pevných disků a na rozdíl od nich neobsahuje pohyblivé mechanické části - proto je jeho výhodou odolnost proti otřesům, změnám tlaku, nehlučnost, nižší spotřeba energie a hlavně vyšší přenosová rychlost</li> <li>pro uložení dat je nejčastěji použita nevolatilní flash paměť</li> <li>prodává se s rozhraním SATA</li> <li>výrobci: Kingston, Corsair</li> </ul> <h3 id="usb-flash">USB Flash</h3> <ul> <li>podobné jako SSD</li> <li>malé rozměry, různorodé tvary</li> <li>velikost až do stovek GB</li> <li>nejoblíbenější prostředek pro přenos dat mezi počítači</li> <li>většinou má konektor USB-A, ale začínají se používat i s konektorem typu C - lze použít i u mobilů, notebooků ale pevné počítače tyto konektory ještě nemívají</li> </ul> <h3 id="dvdcdblu-ray">DVD/CD/Blu-ray</h3> <ul> <li>optické, zápis a čtení pomocí laseru</li> <li>více verzí - RW (čtení a opakovaný zápis), R (jednou zapsat), R (zapsáno při výrobě, jen pro čtení)</li> <li>dále se liší počtem vrstev</li> <li>přestávají se používat, většina počítačů a prakticky všechny notebooky už neobsahují mechaniku</li> </ul> <h3 id="cloud">Cloud</h3> <ul> <li>cloud je síť vzájemně propojených vzdálených serverů, která slouží převážně k úschovně a sdílení dat nebo užívání aplikací a softwaru</li> <li>data jsou uložena v datovém centru</li> <li>poskytovatel cloudové aplikace je zodpovědný za zajištění velkých datových center poskytující zabezpečení, paměťovou kapacitu a výpočetní výkonnost</li> <li>3 typy cloudu: <ul> <li><strong>privátní cloud</strong> - vhodný pro větší firmy, které si mohou dovolit postavit vlastní cloudové centrum, nedostane se k němu nikdo nepovolaný, je bezpečný ale nákladný na pořízení a údržbu</li> <li><strong>veřejný cloud</strong> - určen pro širokou veřejnost, levnější, platíte pouze za prostor, který opravdu využíváte, data však musíte svěřit třetí straně</li> <li><strong>hybridní cloud</strong> - spojuje použití privátního a veřejného cloudu - vlastní datové centrum pro nejdůležitější a nejcitlivější data</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="grafické-karty">Grafické karty</h2> <ul> <li>zařízení sloužící k vytváření grafického obrazu na monitoru počítače, v dnešní době však zastává i množství dalších funkcí</li> <li>základní dělení na integrované a dedikované - integrované jsou dodávány v rámci CPU (APU), dedikované se připojují jako samostatné karty do portu PCI-Express</li> <li>nároky na grafické karty, zejména ze strany hráčů, se neustále zvyšují (chlazení, příkon sběrnice)</li> <li>s vývojem her je kladen důraz na realističnost, grafické karty se proto z čistě zobrazovacích zařízení změnili na velmi výkonné matematické výpočetní jednotky</li> <li>hlavní části jsou: <ul> <li><strong>GPU</strong> - jeden čip skládající se z množství samostatných součástí <ul> <li>grafická jádra nejsou na rozdíl od procesorových univerzální, proto jsou jednodušší a GPU jich obsahuje násobně více než nejvýkonnější CPU</li> <li>principem grafické karty je předávat obraz mezi jádry a postupně ho modifikovat (podobné Unixovým rourám) - tato jádra navíc mají stejnou architekturu, z důvodů zjednodušení to jsou velmi obecné programovatelné obvody, které jsou nastavené a nějakou fci</li> <li>s tím souvisí i mnohem lepší schopnost řadiče řídit multitasking mezi jádry</li> <li>jádra slouží k výpočtu nasvícení objektů, jejich stínů, změny tvaru pohybem, přidání textur, plynulé změny prostředí…</li> </ul> </li> <li><strong>paměti</strong> - grafická karta potřebuje ukládat velké množství dat (např. textury), proto potřebuje vlastní paměti, ta jsou obvykle rozestaveny do co největší blízkosti GPU a tvoří kolem něj kruh; používá vlastní verze RAM označovaná předponou G - GDDR</li> </ul> </li> <li>u her je kladen důraz hlavně na rychlost vykreslování, plynulý obraz, rozlišení,…</li> <li>další kategorií jsou grafické karty pro grafiky - více jader pro vytváření 3D obrazu, násobně vyšší výkon</li> <li>nejnovějším odvětvím, kde se používají je těžba kryptoměn, ta je uskutečňována principem hledání unikátního klíče (matematicky vygenerovaný hash), který náhodně generuje síť. Kdo klíč najde, může pomocí něj schválit libovolné množství transakcí. Právě vysoká poptávka po kartách na těžbu zapříčinila krátkodobý výpadek trhu, kdy herní grafiky byly vykupovány na těžbu</li> <li>výrobci: AMD a nVidia</li> </ul> <h2 id="zvukové-karty">Zvukové karty</h2> <ul> <li>stará se o zvukový vstup i výstup, základní funkcí je převod analogového signálu na digitální (a naopak)</li> <li>naprostá většina uživatelů si vystačí s těmi integrovanými na základní desce (dedikované pro počítače v nahrávacích studiích, nebo střižnách)</li> <li>kromě nahrávání zvuku a jeho přechování ji lze použít i k digitalizaci - např. propojení s gramofonem a uložení skladby</li> <li>liší se především počtem konektorů - minimum je jeden vstup a jeden výstup; další konektory slouží pro vícekanálový zvuk, nebo v některých případech připojení hudebních nástrojů</li> <li>pro použití např. v noteboocích existují i zvukové karty připojitelné pomocí USB</li> </ul> <h2 id="bios-basic-input-output-system">BIOS (Basic Input-Output System)</h2> <ul> <li>první program, který se spouští po zapnutí PC</li> <li>implementuje základní vstupně-výstupní funkce pro počítače (IBM PC kompatibilní a představuje vlastně firmware pro osobní počítače)</li> <li>dříve se používal při startu počítače pro inicializaci a konfiguraci připojených hardwarových zařízení a následnému spuštění operačního systému, kterému je pak předáno další řízení počítače</li> <li>programový kód BIOSu je uložen na základní desce v nevolatilní paměti</li> </ul> <h2 id="sběrnice">Sběrnice</h2> <ul> <li>soustava vodičů přenášejících data nebo řídící instrukce</li> <li>zajišťují propojení jednotlivých obvodů počítače a rozšiřitelnost PC o komponenty</li> <li>sběrnice vzájemně propojeny mosty (severní, jižní)</li> <li>mají vlastní komunikační protokol a způsob adresování připojených zařízení, lze přirovnat k fungování sítí</li> </ul> <p><strong>parametry sběrnic</strong>:</p> <ul> <li>přenosová rychlost - bit/s</li> <li>šířka sběrnice - kolik dat je schopno projít za jeden takt - 32bit, 64bit</li> <li>taktovací kmitočet - počet taktů za sekundu</li> <li>dělíme: <ul> <li>interní (PCI) a externí (USB) - podle toho, kde se napojují zařízení na sběrnici - uvnitř/vně počítače</li> <li>paralelní (ISA, PCI) - adresy, data a řídící signály se přenáší po několika vodičích současně; problém synchronizace a rušení, ale konstrukčně jednodušší (tak jak data přijdou se zpracují)</li> <li>sériová (USB, PCI-E, SATA) - data posílána postupně (sekvenčně), dnes nahradila paralelní, nutné data deserializovat (postupně data ukládat a čekat na konec přenosu)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="interní-sběrnice">Interní sběrnice</h3> <p><strong>Lokální sběrnice</strong> - napojena na severní most čipové sady</p> <ul> <li>zajišťují komunikaci procesor-grafická karta-paměti RAM-jižní můstek</li> <li>VESA Local Bus - vyvinuta pro zlepšení připojení grafických karet, nacházela se za ISA slotem a karta zabírala oba najednou, 32bit, nevýhoda: vyvinuta pro Intel 80486, u starších CPU nemohla dosáhnout své rychlosti a u novějších nevyužívala všechny možnosti</li> <li>AGP - vznikla úpravou PCI pro GPU, není pravou sběrnicí, lze připojit jen jedno zařízení, výhoda: kanál není sdílený, 32bit</li> </ul> <p><strong>Univerzální sběrnice</strong> - jižní můstek, připojují se rozšiřující karty</p> <ul> <li>vlastnosti zařízení připojených k severnímu mostu jsou ovlivňovány CPU (např. frekvence, zatížení), jižní most se severním komunikuje, ale je na něm závislý \(\rightarrow\) možnost připojit jednodušeji více zařízení za cenu nepatrného zpoždění při komunikaci s mikroprocesorem</li> </ul> <p><strong>ISA</strong></p> <ul> <li>interní, 8 nebo 16-bit, paralelní</li> <li>navržena jako velmi jednoduchá a univerzální sběrnice</li> <li>umožňuje zapojit prakticky všechna zařízení - zvukové karty, ethernet, grafické karty,…</li> <li>umožňovala i připojení pevných disků a disketových mechanik, přes rozhraní IDE a můstek</li> </ul> <p><strong>PCI</strong></p> <ul> <li>paralelní, 32 nebo 64-bit</li> <li>i lokální použití - propojení S a J můstku</li> <li>nevýhoda: opět nedostatečné pro GPU (AGP)</li> <li>podporuje technologii PnP (plug and play) - karta se pouze zasune do slotu a nastavení provede OS</li> </ul> <p><strong>PCI-Express</strong></p> <ul> <li>první sériová, používá tzv. dráhy; jedna dráha se skládá ze dvou vodičů (data a zem) a funguje jako samostatná linka, počet 1-32 (označení x1, x2, x32, lze poznat podle velikosti konektoru)</li> <li>inspirace ethernetem, přidává switch, každé zařízení tedy může využívat celou svou dráhu</li> <li>technicky komplikovanější, ale velmi univerzální</li> <li>dnas prakticky jediná využívaná</li> <li>lze vést i jako port (např. Thunderbolt)</li> <li>má i linky napojené na severní most</li> </ul> <h3 id="externí-sběrnice">Externí sběrnice</h3> <ul> <li>často se zaměňují s porty</li> <li>port - na rozdíl od sběrnice připojuje k počítači jen jedno zařízení, jednodušší, nevyžaduje žádný řídící mezičlánek, např. sériový port (RS-232) nebo PS/2 (proto jsou dva - myš a klávesnice)</li> </ul> <p><strong>USB</strong></p> <ul> <li>funkčně podobný PCI-E (jeden centrální hub, sériové)</li> <li>2 typy zařízení master a slave, master typicky PC - aktivní</li> <li>připojení prakticky čehokoliv k PC (mobily, myši, tiskárny, flash disky, externí HDD, monitory, externí GPU,…)</li> <li>několik generací</li> <li>nejpoužívanější USB-A (flash disky), USB-B (tiskárny, 3.0 - pevné disky), USB Micro B (nabíjení a spojení menších zařízení - mobily)</li> <li>USB-C - v budoucnosti má nahradit ostatní konektory, může přenášet proud, informace i např. obraz</li> <li>podporuje Pnp</li> </ul> <h2 id="rozhraní">Rozhraní</h2> <ul> <li>rozhraní definuje formát komunikace a výměny dat mezi rozdílnými systémy</li> <li>rozdělujeme na hardwarové, softwarové (API) a uživatelské</li> <li>výhody: <ul> <li>využívají již existujících knihoven, aplikací</li> <li>možnost univerzálních zařízení (jeden Flash disk funguje na všech PC)</li> <li>abstrakce - programátor využívá interface, jednodušší, rychlejší, bezpečnější vývoj aplikací; nemusí rozumět HW</li> <li>univerzálnost - jednou napsaná aplikace funguje všude (portuje se jen API)</li> <li>existence internetu, jednotná specifikace komunikace počítačů</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Hardwarové rozhraní</strong></p> <ul> <li>hardwarovým rozhraním myslíme definici konektorů, signálů, napětí, kabelů apod. pro danou sběrnici nebo port, na základě které poté zařízení přes port/sběrnici komunikují</li> <li>např. interface PCI-E definuje komunikaci po této sběrnici (počet a využití pinů na kartě, její velikost, příkon…); původně navrženo pro připojování rozšiřujících karet</li> <li>\(\rightarrow\) využíváno i u dalších zařízení, např. M.2 je standart pro rychlé připojování SSD disků, využívající PCI-E sběrnici, ale má vlastní konektor, komunikační protokol</li> <li>další případy: Ethernet (port RJ45, kroucená dvojlinka, fyzická vrstva), USB, Bluetooth (frekvence, protokol), SATA</li> </ul> <p><strong>Softwarové rozhraní</strong></p> <ul> <li>soubor veřejných funkcí, proměnných nebo tříd, které může programátor využívat</li> <li>např. knihovny, komunikace s jádrem OS (Linux API, WinAPI)</li> <li>Unixové routery - komunikace aplikací v Linuxu/Unixu (především CLI); data zpracovaná jednou aplikací se pomocí roury předají další, až poslední vypíše výsledek;</li> <li>OpenGL - univerzální rozhraní pro komunikaci s grafickými kartami, jednou napsaný program běží na všech GPU, které ho podporují</li> <li>využití na internetu při komunikaci se servery (specifikace protokolů, portů) - mail, sdílené disky, FTP, IP protokol…</li> <li>webové aplikace např. OpenWeatherMap, komunikace pomocí HTTP metody GET, vrací informace o počasí</li> </ul> <p><strong>Uživatelské rozhraní</strong></p> <ul> <li>způsob komunikace uživatel x PC</li> <li>GUI (grafické), CLI (textové)</li> </ul> <h2 id="vstupně-výstupní-zařízení">Vstupně-výstupní zařízení</h2> <h3 id="monitory">Monitory</h3> <ul> <li>k počítači připojen přes grafickou kartu</li> <li>převážně se používají konektory HDMI, DP (DisplayPort) a výjimečně DVI, dříve bylo nejrozšířenější VGA</li> <li>v některých zařízeních integrován - notebooky, mobily - vlastní rozhraní</li> <li>rozdělujeme podle technologie obrazu:</li> </ul> <p><strong>CRT</strong></p> <ul> <li>první monitory odvozeny od televizorů, přebírají i technologii katodových trubic</li> <li>monitory velké (hloubka), těžké, blikající obraz, velká spotřeba</li> <li>výhody: pozorovací úhly a kontrastní poměr</li> </ul> <p><strong>LCD</strong></p> <ul> <li>rozmach s prvními notebooky</li> <li>využívá tekuté krystaly a podsvícení</li> <li>každý pixel se skládá ze tří krystalů, krystaly mezi kolmými polarizačními filtry (neprůhledné), zprůhlední při průchodu proudu krystalem, výsledná barva záleží na natočení krystalů - různé technologie <ul> <li><em>TN</em> - levný, rychlá odezva, horší barvy a pozorovací úhly</li> <li><em>IPS</em> - skvělé barvy, odezva i úhly, nevýhoda: vyšší cena</li> <li><em>VP</em> - “zlatý střed”, cena:odezva:barvy:úhly</li> </ul> </li> <li>LED monitory - jako podsvícení je použita mřížka LED, rozděleny do samostatných zón (tzv. mini LED) - lze ztmavit část monitoru = lepší kontrast; ne všechny LED monitory podporují</li> <li>QLED - vylepšení VP LED technologie pro zobrazení lepší teploty barev, Samsung</li> </ul> <p><strong>OLED</strong></p> <ul> <li>nemá podsvícení, pixely září samy, základem organická látka, kterou prochází proud</li> <li>nevýhody: vypalování (často zobrazované části, lišty, zůstávají vždy viditelné) a obecně opotřebovávání, teoreticky vyšší spotřeba</li> <li>výhody: lepší černá barva (zhasne), skvělý kontrast, méně odpadního tepla</li> </ul> <p><strong>Micro LED</strong></p> <ul> <li>zatím u drahých televizorů spojuje OLED a LCD \(\rightarrow\) svítí jednotlivé pixely, ale základ není organický</li> </ul> <p>parametry</p> <ul> <li>rozlišení - minimem 1080 p (1920x1080), další 4K, 8K a různá rozlišení mezi (16:9), pro jiné poměry různé</li> <li>úhlopříčka - u samostatného monitoru je minimum 24-27 palců, u velkých úhlopříček se monitor zakřivuje, aby člověk nemusel otáčet hlavu</li> <li>poměr stran - dříve 4:3, dnes nejrozšířenější 16:9</li> <li>obnovovací frekvence - kolikrát se za sekundu obraz překreslí, normální je 60-75Hz, vyšší u her</li> <li>doba odezvy - u LED, jak dlouho trvá rozsvícení/zhasnutí jedné diody</li> <li>podpora AMD FreeSync a NVIDIA G-SYNC - u herních monitorů synchronizace frekvence mezi GPU a monitorem, zabraňuje trhání obrazu</li> </ul> <h3 id="klávesnice">Klávesnice</h3> <ul> <li>slouží k zadávání textu do počítače, popř. k jeho ovládání klávesovými zkratkami</li> <li>základem je mřížka (matrix) tlačítek, při stisku klávesy dojde k propojení obvodu a mikroprocesor klávesnice poté podle souřadnic vygeneruje tzv. scan kód, ten je odeslán do počítače, zpracován řadičem a předán procesoru</li> <li>porty PS/2, USB, nebo bezdrátová (BT/ přijímač v USB); u NTB vlastní konektor</li> <li>klávesy - abecední, numerické (u NTB/herních kl. může chybět), fční (<code class="language-plaintext highlighter-rouge">F1</code>-<code class="language-plaintext highlighter-rouge">F12</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">PrtSc</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">delete</code>,…), meta (mění chování - <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Shift</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Ctrl</code>, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Alt</code>, mezerník, <code class="language-plaintext highlighter-rouge">Esc</code>,…), makro klávesy (buď specifická fce - vypnutí, zvýšení hlasitosti, nebo dodán SW, který, se programují na jinou funkci)</li> <li>rozložení kláves (u nás QWERTZ, anglické QWERTY)</li> <li>typy kláves <ul> <li><em>mechanické</em> - obvykle kvalitnější, delší výdrž, různé provedení, o návrat se starají pružiny, typická hmatová odezva, není potřeba domáčknout, např. Cherry</li> <li><em>membránové</em> - klávesa na gumové membráně, nahrazuje pružinu; pod ní dvojice membrán s kontakty, levnější, u méně kvalitních může vynechávat (nutné domáčknout tlačítko) a obecně má menší životnost</li> </ul> </li> <li>liší se také výškou tlačítek nebo tvarem (normální a ergonomické)</li> </ul> <h3 id="myš">Myš</h3> <ul> <li>slouží k ovládání grafického uživatelského rozhraní (GUI)</li> <li>polohovací zařízení, převádí pohyb po ploše na pohyb kurzoru na obrazovce</li> <li>obsahuje obvykle 2 tlačítka a scrollovací kolečko + další tlačítka (např. změna DPI nebo programovatelné)</li> <li>porty: PS/2, USB, bezdrátové (BT, vlastní dongle)</li> <li>DPI (dot per inch) - poměr o kolik bodů na obrazovce se myš pohne při posunu o jeden palec</li> <li>technologie <ul> <li><em>mechanické</em> - gumová kulička jejíž pohyb snímají 2 kolmé hřídele, ty pohyb přenášejí na clonu, kterou prochází světlo, přerušovaný paprsek dekódován na elektrické impulzy; zanáší se prachem, čímž se snižuje přesnost</li> <li><em>optické</em> - podklad osvětlen červenou LED diodou a snímán minikamerou, změny snímků vyhodnocuje procesor myši; nevýhoda - nefunguje na lesklých nebo jednolitých površích; parametry: rozložení snímků</li> <li><em>laserové</em> - místo LED diody použit laser, vyšší kvalita obrazu, lze použít i na površích, kde optika selhává, první firma Logitech</li> </ul> </li> <li>další druhy: vertikální, trackball, 3D myš</li> <li>vynalezena na Standfordu, první počítač Xerox Alto</li> <li>Microsoft jako jeden z prvních upravil program Word k použití s myší (dodával i vlastní myš, počátek HW divize)</li> <li>komerčně rozšířena díky Apple Mackintoch</li> </ul> <h3 id="touchpad">Touchpad</h3> <ul> <li>především u NTB nebo u některých bezdrátových klávesnic</li> <li>plochá deska obvykle se dvěma tlačítky (dnes se většinou podporují klikání poklepem na plochu) a někdy okrajem sloužícím ke scrollování</li> <li>podpora gest (např. W10 přepínání mezi okny, zobrazení všech spuštěných aplikací)</li> <li>funguje na principu snímání elektrické kapacity</li> <li>u některých notebooků probíhají pokusy s nahrazením dotykovou obrazovkou (lze používat např. jako kalkulačku)</li> </ul> <h3 id="trackpoint">Trackpoint</h3> <ul> <li>typický pro Lenovo ThinkPad</li> <li>malá gumová ploška uprostřed klávesnice</li> <li>umožňuje pohyb kurzoru po obrazovce (joystick)</li> <li>neujal se</li> </ul> <h3 id="gamepad">Gamepad</h3> <ul> <li>zařízení používané k hraní her</li> <li>připojuje se pomocí USB, dříve měl vlastní port</li> <li>skládá se z tzv. akčních tlačítek (4) a joysticku nebo 4 směrových tlačítek</li> <li>k hraní her existují také další periferní zařízení - pedály, volant, pistole, joystick a další</li> </ul> <h3 id="scanner">Scanner</h3> <ul> <li>převádí psaný text/fotografie do digitální podoby, scanu (fotografie)</li> <li>skenovaný dokument se pokládá na sklo, pod nímž se pohybuje skenovací rameno (stejné jako kopírka - obvykle multifunkční zařízení), dokument je osvícen a odraz zachycen; 2 technologie <ul> <li>papír je osvícen a pomocí zrcadel odražen do tří přijímačů (RGB)</li> <li>osvětluje se postupně červenou, modrou a zelenou LED a jednotlivé odražené paprsky postupně zachycovány jedním snímačem, nepoužívá zrcadla</li> </ul> </li> <li>často jako součást tiskáren</li> <li>parametry: rozlišení (300 až tisíce DPI), barevná hloubka (kolik barev je snímač schopen zaznamenat)</li> <li>3D skenery - umožňují 3D objekt převézt do digitálně upravitelné podoby</li> <li>filmové - skenování negativů fotografií</li> <li>řadí se zde i čtečky čárových kódů</li> <li>přenosný - papír projíždí skrz a po řádcích je skenován, obvykle menší rozlišení</li> <li>OCR - optické rozpoznání znaků; umožňuje převést naskenovaný text do editovatelné podoby, buď samostatný program nebo součást dražších skenerů</li> </ul> <h3 id="tiskárny">Tiskárny</h3> <p><strong>parametry</strong>:</p> <ul> <li>rychlost: počet znaků za vteřinu</li> <li>rozlišení: bpi - bits per inch</li> <li>cena za vytištěnou stránku</li> <li>barevná/černobílá</li> </ul> <p><strong>Jehličková</strong></p> <ul> <li>první tiskárny</li> <li>velmi nízké provozní náklady a poruchovost</li> <li>velmi hlučná, nízká kvalita tisku a pomalý tisk</li> <li>princip přejat z psacích strojů (sada jehliček naráží přes inkoustovou pásku na papír; počet jehliček rozhoduje o kvalitě - 2, 7, 9, 24 a více)</li> <li>uplatnění ve firmách (tisk velkého množství textu), tisk účtenek</li> <li>“nekonečný papír”, jednotlivé listy jsou spojené a trhají se až po tisku (nemá podavač papíru)</li> <li>přes průklepový papír může tisknout více kopií zároveň</li> </ul> <p><strong>Inkoustová</strong></p> <ul> <li>cílem bylo umožnit tisk grafiky</li> <li>na papír jsou vstřikovány velmi drobné kapičky inkoustu</li> <li>základem je tisková hlava s tisíci tryskami, pohybuje se po řádku nad papírem</li> <li>barva je uchovávána v tzv. cartridge, nádržka pohybující se společně s tiskovou hlavou</li> <li>kvalitní jemnější tisk - vhodné na fotografie a text</li> <li>tiskárny relativně levné, ale drahý inkoust (+ se rychle spotřebovává)</li> <li>základní nevýhoda: pokud se dlouho netiskne, inkoust vytéká a zasychá (uspávání trysek)</li> <li>inkoust může po delší době blednout</li> </ul> <p><strong>Laserová</strong></p> <ul> <li>základem je válec, ten se očistí od barvy a náboje a znovu nabije proudem</li> <li>poté se osvětluje laserem, kterým se snižuje elektrický odpor osvětleného místa</li> <li>válec se otáčí kolem cartridge s tonerem (jemný barevný prášek), který se přichycuje jen na osvětlená místa</li> <li>papír je nabit opačným nábojem, proto se toner tiskne</li> <li>nakonec je toner na papír zapečen (vysoká teplota) a z papíru je sejmut náboj</li> <li>velmi vysoká kvalita tisku, rychlost, nízké náklady na vytištěný papír</li> <li>dražší tiskárny, před prvním tiskem se déle zapíná</li> </ul> <h3 id="plotter">Plotter</h3> <ul> <li>kreslí pomocí tužky na pohyblivém rameni nebo inkoustové kazety</li> <li>existují i verze se statickým ramenem, kde se pohybuje papír</li> <li>je určen na tisk na velký formát papírů; využití pro tisk technických výkresů, v kartografii, reklamě…</li> <li>velmi drahé</li> <li>verze s tužkou typicky kreslí vektorovou grafiku (přirozené, hlava se pohybuje podle čar, lepší výsledek než na tiskárně tisknoucí podle řádků)</li> <li>existovaly 2 typy, od staršího, kde papír ležel na desce, nad níž se pohybovalo rameno s tužkou se upouští; neúnosně velké a omezuje velikost papíru</li> <li>novější plottery, tzv. bubnové, se podobají klasické inkoustové tiskárně, kreslící hlava (inkoust nebo pero) se pohybuje jen napříč papírem, který je posouván mezi dvěma válci a na obou koncích visí dolů; výhodou prakticky neomezená délka papíru a menší rozměr</li> <li>inkoustové plottery se příliš neliší od tiskáren, zvykem je rozdíl klást na formát A3 (menší tiskárna, větší plotter); za cenu zmenšení kvality vektorové grafiky umožňuje i tisk rastrové grafiky (v kvalitě inkoustových tiskáren na mnohonásobně větším formátu)</li> </ul> <h3 id="3d-tisk">3D tisk</h3> <ul> <li>mnoho druhů, podle použitých materiálů (pryskyřice, PLA) a účelu (velikost, detaily)</li> <li>existují i tiskárny schopné tavit a tisknout z kovů, výrobky mají vlastnosti shodné s odlitky, využívá i NASA</li> <li>aditivní proces - materiál se postupně vrství na sebe</li> </ul> <h3 id="dotyková-obrazovka">Dotyková obrazovka</h3> <ul> <li>umožňuje ovládat počítač klikáním prstem nebo stylusem</li> <li>stejné vlastnosti jako obyčejná obrazovka, jen přidává dotykovou vrstvu</li> <li>nejdříve se používaly u bankomatů, pokladen a PDA, rozmach s vynálezem chytrého telefonu a tabletu</li> <li>velké množství technologií</li> <li>2 nejpoužívanější: <ul> <li><em>rezistivní</em> - dvě elektricky vodivé vrstvy a mezi nimi mezera, při dotyku dojde k propojení; typický měkčí display např. u aut (jde ovládat i běžnou rukavicí)</li> <li><em>kapacitní</em> - základem je sklo potažené tenkou vodivou vrstvou, využívá vodivosti lidského těla, při dotyku je elektrické pole narušeno \(\rightarrow\) funguje jen pro prsty nebo speciální materiály ; u mobilů a tabletů</li> </ul> </li> <li>dnes i u notebooků a monitorů</li> <li>moderní na bázi OLED jsou ohybatelné (skládací telefony)</li> </ul> <h3 id="webová-kamera">Webová kamera</h3> <ul> <li>nahrávání obrazu a pořizování fotografií</li> <li>připojuje se pomocí USB, u NTB/tabletů/telefonů zabudována</li> <li>nejčastější použití při online hovorech/konferencích nebo nahrávání videa pro streamování na internet</li> <li>hlavní parametr je rozlišení, stejné jako u monitorů (HD, FullHD, Ultra HD, 4K), snímková frekvence (FPS) - 25, 30 existují i 60 FPS</li> <li>autofocus - funkce automatického ostření na obličej</li> <li>zoom - přiblížení, softwarově, nepodporují všechny</li> <li>často mají integrovaný mikrofon (dostačující pro konference, pro natáčení obvykle nevhodný)</li> <li>obvykle se pomocí klipu uchycují na horní rám monitoru nebo stojí na stole</li> <li>připojení přes USB (můžou a nemusí mít jack na mikrofon)</li> <li>řadí se zde i tzv. IP kamery, fungují bez připojení k PC, chovají se jako samostatný síťový prvek (bezpečnost, cestovní ruch)</li> </ul> <h1 id="dělení-počítačů">Dělení počítačů</h1> <h3 id="stolní-počítač">Stolní počítač</h3> <ul> <li>skříň (case)</li> <li>externě se připojuje myš, klávesnice, monitor, reproduktory, webkamera, mikrofon..</li> <li>modulární - jednotlivé části lze měnit (např. RAM, disky) - možnost vybrat si jednotlivé komponenty a složit na míru (při dodržení parametrů)</li> <li>druhy: <strong>tower</strong> (Big, Midi, Mini), <strong>desktop</strong> (naležato pod monitorem), <strong>all-in-one</strong></li> <li>výhody: výkonnější, levnější, konfigurovatelné</li> <li>nevýhody: nepřenosný (nemá baterii), větší, pro někoho těžší na zapojení, více místa</li> </ul> <h3 id="notebook">Notebook</h3> <ul> <li>přenosný počítač</li> <li>zabudované komponenty - display (10-17 palců), klávesnice, webkamera, reproduktory, mikrofon, touchpad, baterie, Wi-Fi, BT, disk</li> <li>dříve: DVD mechanika, Express Cardd, Ethernet port, Firewire</li> <li>ultrabooky - menší, velmi lehké, kvalitní HW (výkon výdrž), specifikováno Intelem pro jeho úsporné procesory, nahradil netbooky</li> <li>herní NTB - důraz kladen na možnost hrát hry (CPU, GPU, RAM), typicky větší, těžší, menší výdrž baterie</li> <li>2v1 - ntb s dotykovou obrazovkou, klávesnici lze překlopit ebo zcela oddělit (v klávesnici může být baterie); Microsoft Surface</li> <li>výhody: přenosný, skladný, dnes slušný výkon, ideální na práci na cestách</li> <li>nevýhody: dražší, menší výdrž, výkon, těžší oprava…</li> <li>firmy: Toshiba, Acer, HP, Asus, Dell, Lenovo…</li> <li>Apple - MacBook Air/Pro - vlastní OS/CPU/GPU, jedny z nejtenčích NTB (speciální baterie), velmi kvalitní HW (displej, výkon), bezpečnost, použitelné i pro profesionální (grafickou) práci</li> <li>Chromebook - zaměřen na práci na internetu, prakticky žádné lokální aplikace, od Google, nenáročný \(\rightarrow\) velká výdrž a rychlost</li> </ul> <h3 id="tablet">Tablet</h3> <ul> <li>OS: Android, iPadOS, Windows</li> <li>dotyková obrazovka (různé rozměry, udávané v palcích), ARM CPU, grafická tužka, odpojitelná klávesnice (BT/konektor), slot na SIM kartu, microSD</li> <li>nelze měnit součástky</li> <li>dnes prakticky neexistuje rozdíl mezi NTB 2v1 a tabletem</li> <li>výhody: mobilní OS - lepší výdrž baterie, přenosný, levnější, dotyková obrazovka (pero)</li> <li>nevýhody: menší disk, displej, bez klávesnice méně pohodlné psaní</li> <li>výrobci: Samsung, Lenovo + Apple (iPad, výhodou skvělé propojení s ostatními zařízeními Mac, iPhone)</li> </ul> <h3 id="server">Server</h3> <ul> <li>určen k poskytování služeb po síti, kvalitní HW - běží 24/7</li> <li>webový, databázový, souborový (NAS), mail, video</li> <li>profesionální umístěny v serverovnách (speciální klimatizace, zabezpečení, UPS, připojení, zálohování)</li> <li>OS: převážně Linux, Windows Server</li> <li>domácí vyrábí např. Synology</li> <li>v zásadě jde přeměnit jakýkoli PC v server, pro drobné použití se používá mikro-počítač RPI</li> </ul> <h3 id="superpočítač">Superpočítač</h3> <ul> <li>spojení velkého množství počítačů dohromady, sdílejí procesor, RAM, diskový prostor = potřeba rychlého propojení (často Wi-Fi)</li> <li>Linux/Unix</li> <li>vědecké vyhodnocování dat (dálnice)</li> <li>např. Ostrav IT4Innovations (Salomon, KAROLINA)</li> <li>procesory AMD64 a ARM (stále častěji)</li> </ul> <h2 id="další-elektronické-zařízení">Další elektronické zařízení</h2> <h3 id="fotoaparáty">Fotoaparáty</h3> <ul> <li>zařízení sloužící k zaznamenávání a uložení obrazu</li> <li>základem je složitá optická soustava, sloužící k zaostření obrazu a jeho co nejvěrnějším zachycení (dále např. úprava světelných podmínek, rozostření pozadí…)</li> <li>následující částí je záznamové médium, dříve světlo pro průchodu optikou dopadalo na film, kde se vykreslil obraz (analog), dnes se používá speciální čip, který dopadající světlo mění na elektrické signály (digitál)</li> <li>analog, digitál</li> </ul> <h3 id="kamery">Kamery</h3> <ul> <li>slouží k zachycení pohybujícího se obrazu</li> <li>lze je rozdělit na profesionální (filmové) a domácí</li> <li>digitální kamera se od digitálního fotoaparátu liší velikostí (obvykle má lepší optiku), výkonnějšími čipy a lepším mikrofonem; lepší digitální fotoaparáty dokážou kamery slušně nahradit</li> <li>u analogu rozdíl v potřebě posouvat film a zaznamenávat obraz po určitých časových úsecích</li> <li>pro film se používá jak analogové tak digitální kamery</li> </ul> <h3 id="mobilní-telefony">Mobilní telefony</h3> <ul> <li>zařízení původně určené jen k uskutečňování hovorů přes telefonní rozvody a později bezdrátově</li> <li>druhou neodmyslitelnou funkcí je posílání SMS zpráv</li> <li>v dnešní době je to již multifunkční zařízení, jehož hlavní funkcí je připojení k internetu</li> <li>typický mobilní telefon má dneska výkon srovnatelný s počítači</li> <li>ovládání mobilu je uskutečňováno pomocí dotykové obrazovky</li> <li>OS viz otázka Software</li> </ul> https://andy.ggu.cz/2023/02/17/kombinatorika-binomicka-veta/ 2023-02-17T00:00:00+00:00 2023-02-17T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#kombinatorika" id="markdown-toc-kombinatorika">Kombinatorika</a> <ul> <li><a href="#kombinatorické-pravidlo-součtu" id="markdown-toc-kombinatorické-pravidlo-součtu">Kombinatorické pravidlo součtu</a></li> <li><a href="#kombinatorické-pravidlo-součinu" id="markdown-toc-kombinatorické-pravidlo-součinu">Kombinatorické pravidlo součinu</a></li> <li><a href="#kombinatorické-funkce" id="markdown-toc-kombinatorické-funkce">Kombinatorické funkce</a> <ul> <li><a href="#permutace-bez-opakování" id="markdown-toc-permutace-bez-opakování">Permutace bez opakování</a> <ul> <li><a href="#faktoriál" id="markdown-toc-faktoriál">Faktoriál</a></li> </ul> </li> <li><a href="#permutace-s-opakováním" id="markdown-toc-permutace-s-opakováním">Permutace s opakováním</a></li> <li><a href="#kombinace" id="markdown-toc-kombinace">Kombinace</a> <ul> <li><a href="#kombinační-číslo" id="markdown-toc-kombinační-číslo">Kombinační číslo</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kombinace-s-opakováním" id="markdown-toc-kombinace-s-opakováním">Kombinace s opakováním</a></li> <li><a href="#variace" id="markdown-toc-variace">Variace</a></li> <li><a href="#variace-s-opakováním" id="markdown-toc-variace-s-opakováním">Variace s opakováním</a></li> </ul> </li> <li><a href="#pascalův-trojúhelník" id="markdown-toc-pascalův-trojúhelník">Pascalův trojúhelník</a></li> </ul> </li> <li><a href="#binomická-věta" id="markdown-toc-binomická-věta">Binomická věta</a></li> </ul> <hr /> <h1 id="kombinatorika">Kombinatorika</h1> <p>Kombinatorika se zabývá pouze vlastnostmi konečných množin.</p> <h3 id="kombinatorické-pravidlo-součtu">Kombinatorické pravidlo součtu</h3> <p>Pokud \(A_{1}, A_{2}, \ldots ,A_{n}\) jsou neprázdné množiny, kde žádné dvě nemají společný prvek, který mají \(p_{1}, p_{2},\ldots ,p_{n}\) prvků, potom počet prvků množiny \(A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{n}\) je \(p_{1} + p_{2} + \ldots + p_{n}\).</p> <h3 id="kombinatorické-pravidlo-součinu">Kombinatorické pravidlo součinu</h3> <p>Počet všech uspořádaných \(k\)-tic, kde první člen lze vybrat \(p_{1}\) způsoby, druhý člen \(p_{2}\) způsoby… až \(k\)-tý člen \(p_{k}\) způsoby, je \(p_{1} \cdot p_{2} \cdot \ldots \cdot p_{k}\).</p> <h2 id="kombinatorické-funkce">Kombinatorické funkce</h2> <h3 id="permutace-bez-opakování">Permutace bez opakování</h3> <p><strong>Permutace</strong> z \(n\) prvků je každé libovolné seřazení těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou.</p> <p>Počet permutací značíme \(P(n)\), platí:</p> \[P(n) = n!\] <h4 id="faktoriál">Faktoriál</h4> <p>Funkce na množině přirozených čísel. Značí se “\(!\)”.</p> <h3 id="permutace-s-opakováním">Permutace s opakováním</h3> <p>Permutace s opakováním z \(n\) prvků je uspořádaná \(k\)-tice sestavená z \(n\) prvků tak, že každý se opakuje alespoň jednou.</p> <p>Počet permutací s opakováním značíme \(P'(k_1, k_2, \ldots, k_n)\) a platí:</p> \[P'(k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1+k_2+ \ldots +k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!}\] <h3 id="kombinace">Kombinace</h3> <p>\(K\)-členná <strong>kombinace</strong> z \(n\) prvků je neuspořádaná \(k\)-tice sestavená z těchto prvků, ve které se prvky neopakují.</p> <p>Počet všech takových kombinací značíme \(K(k,n)\) a platí:</p> \[K(k,n)= \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] <h4 id="kombinační-číslo">Kombinační číslo</h4> <p>Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat \(k\)-prvkovou podmnožinu z \(n\)-prvkové množiny. Kombinační čísla zapisujeme:</p> \[\binom{n}{k}\] <p><strong>Základní pravidla pro počítání s kombinačními čísly</strong>:</p> \[\begin{align} \binom{n}{0} &amp;= \frac{1}{1} = 1\\ \binom{n}{1} &amp;= n\\ \binom{n}{n} &amp;= 1\\ \binom{n}{n-1} &amp;= n\\ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} &amp;= \binom{n+1}{k+1} \end{align}\] <h3 id="kombinace-s-opakováním">Kombinace s opakováním</h3> <p>Je to neuspořádaná \(k\)-tice vybraná z n prvků, kde se prvky mohou opakovat.</p> <p>Počet všech kombinací s opakováním značíme \(K'(k, n)\) a platí:</p> \[K'(k,n) = \frac{(k+n-1)!}{k! \cdot (n-1)!} = \binom{n+k-1}{k}\] <h3 id="variace">Variace</h3> <p>\(K\)-členná <strong>variace</strong> z \(n\) prvků je libovolná uspořádaná \(k\)-tice vybrána z těchto prvků, kde každý se z ní vyskytuje nejvýše jednou.</p> <p>Počet všech \(k\)-členných variací z \(n\) prvků značíme \(V(k,n)\) a platí:</p> \[V(k, n) = \frac{n!}{(n-k)!}\] <h3 id="variace-s-opakováním">Variace s opakováním</h3> <p>Je to uspořádaná \(k\)-tice z n prvků, kde se prvky mohou opakovat.</p> <p>Počet všech variací s opakováním značíme \(V'(k,n)\) a platí:</p> \[V'(k,n) = n^k\] <h2 id="pascalův-trojúhelník">Pascalův trojúhelník</h2> \[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 2 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 3 \quad\, 3 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 4 \quad\, 6 \quad\, 4 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad\, 1 \\ 1 \quad\, 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad\, 1 \\ \vdots \end{array}\] <h1 id="binomická-věta">Binomická věta</h1> <p>Určuje rozvoj \(n\)-té mocniny dvojčlenu.</p> \[(a+b)^n = \sum^{n}_{i=1} \binom{n}{i}a^{n-i}b^i\] https://andy.ggu.cz/2023/02/13/zakladni-poznatky-z-matematiky/ 2023-02-13T00:00:00+00:00 2023-02-13T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#číselné-obory-výrazy" id="markdown-toc-číselné-obory-výrazy">Číselné obory, výrazy</a> <ul> <li><a href="#číselné-obory" id="markdown-toc-číselné-obory">Číselné obory</a> <ul> <li><a href="#obor-přirozených-čísel-n" id="markdown-toc-obor-přirozených-čísel-n">Obor přirozených čísel \(\N\)</a></li> <li><a href="#obor-celých-čísel-z" id="markdown-toc-obor-celých-čísel-z">Obor celých čísel \(\Z\)</a></li> <li><a href="#obor-racionálních-čísel-q" id="markdown-toc-obor-racionálních-čísel-q">Obor racionálních čísel \(\Q\)</a></li> <li><a href="#obor-reálných-čísel-r" id="markdown-toc-obor-reálných-čísel-r">Obor reálných čísel \(\R\)</a></li> <li><a href="#absolutní-hodnota-reálného-čísla" id="markdown-toc-absolutní-hodnota-reálného-čísla">Absolutní hodnota reálného čísla</a></li> </ul> </li> <li><a href="#výrazy" id="markdown-toc-výrazy">Výrazy</a> <ul> <li><a href="#výrazy---vzorce" id="markdown-toc-výrazy---vzorce">Výrazy - vzorce</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#výroky-množiny-základní-typy-důkazů" id="markdown-toc-výroky-množiny-základní-typy-důkazů">Výroky, množiny, základní typy důkazů</a> <ul> <li><a href="#výroky" id="markdown-toc-výroky">Výroky</a> <ul> <li><a href="#konjunkce" id="markdown-toc-konjunkce">Konjunkce</a></li> <li><a href="#disjunkce" id="markdown-toc-disjunkce">Disjunkce</a></li> <li><a href="#implikace" id="markdown-toc-implikace">Implikace</a></li> <li><a href="#ekvivalence" id="markdown-toc-ekvivalence">Ekvivalence</a></li> <li><a href="#tautologie-a-kontradikce" id="markdown-toc-tautologie-a-kontradikce">Tautologie a kontradikce</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kvantifikátory" id="markdown-toc-kvantifikátory">Kvantifikátory</a></li> <li><a href="#množiny" id="markdown-toc-množiny">Množiny</a> <ul> <li><a href="#rovnost-množin" id="markdown-toc-rovnost-množin">Rovnost množin</a></li> <li><a href="#intervaly" id="markdown-toc-intervaly">Intervaly</a></li> </ul> </li> <li><a href="#definice-matematické-věty-hypotézy-axiomy-důkazy" id="markdown-toc-definice-matematické-věty-hypotézy-axiomy-důkazy">Definice, matematické věty, hypotézy, axiomy, důkazy</a> <ul> <li><a href="#matematické-věty" id="markdown-toc-matematické-věty">Matematické věty</a></li> <li><a href="#důkazy-vět-elementárního-výroku" id="markdown-toc-důkazy-vět-elementárního-výroku">Důkazy vět elementárního výroku</a></li> <li><a href="#důkaz-vět-které-mají-tvar-implikace" id="markdown-toc-důkaz-vět-které-mají-tvar-implikace">Důkaz vět, které mají tvar implikace</a></li> <li><a href="#důkaz-vět-které-mají-tvar-ekvivalence" id="markdown-toc-důkaz-vět-které-mají-tvar-ekvivalence">Důkaz vět, které mají tvar ekvivalence</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="číselné-obory-výrazy">Číselné obory, výrazy</h1> <h2 id="číselné-obory">Číselné obory</h2> <p>Jsou-li v množině čísel určitého druhu definovány operace sčítání a násobení, mluvíme o <strong>číselném oboru</strong>.</p> <h3 id="obor-přirozených-čísel-n">Obor přirozených čísel \(\N\)</h3> <p>Přirozená čísla slouží k vyjádření počtu osob, zvířat, předmětů apod. Dovedeme je jmenovat, zapisovat a znázorňovat na číselné ose. Rozlišujeme významy slov <strong>číslice</strong> (<strong>cifra</strong>) a <strong>číslo</strong>. Číslice jsou grafické znaky.</p> <p><strong>Základní operace</strong> s přirozenými čísly jsou sčítání a násobení.</p> <p><strong>Pro každá tři přitozená čísla</strong> \(a\), \(b\), \(c\) <strong>platí</strong>:</p> <ul> <li><strong>Věta o uzavřenosti</strong> oboru vzhledem ke sčítání a násobení (součtem i součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo): \(a + b\) , \(a \cdot b\)</li> <li><strong>Věta o asociativnosti</strong> sčítání a násobení (činitele při součtu/násobení můžeme libovolně sdružovat): \(a + (b + c) = (a + b) + c\), \(a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\)</li> <li><strong>Věta o komutativnosti</strong> sčítání a násobení (pořadí činitelů můžeme zaměnit): \(a + b = b + a\), \(a\cdot b = b \cdot a\)</li> <li><strong>Věta o distributivnosti</strong> násobení vzhledem ke sčítání (vynásobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme číslem každého sčítance): \(a(b + c) = ab + ac\)</li> <li><strong>Věta o neutrálnosti</strong> čísla \(1\) vzhledem k násobení: \(1 \cdot a = a\)</li> </ul> <p>Ostatní operace v oboru přirozených čísel můžeme definovat takto:</p> <p><strong>Rozdíl</strong> \(a - b\) dvou přirozených čísel \(a, b\) je to přirozené číslo \(x\), pro které platí \(a = b + x\) <strong>Podíl</strong> \(a \div b\) dvou přirozených čísel \(a, b\) je to přirozené číslo \(x\), pro které platí \(a = b \cdot x\)</p> <h3 id="obor-celých-čísel-z">Obor celých čísel \(\Z\)</h3> <p>Pro celá čísla platí stejné věty jako pro přirozená čísla, jsou však rozšířeny o další dve:</p> <ul> <li>jedna vyjadřuje <strong>uzavřenost oboru</strong> celých čísel vzhledem k odčítání: \(a - b\) je celé číslo</li> <li>druhá vyjadřuje <strong>neutrálnost \(O\)</strong> vzhledem k sčítání celých čísel: \(0 + a = a\)</li> </ul> <p>Ke každému celému číslu \(a\) existuje takové číslo \((-a)\), že platí \(a+(-a) = 0\). Čísla \(a, (-a)\) se nazývají <strong>čísla navzájem opačná</strong>.</p> <h3 id="obor-racionálních-čísel-q">Obor racionálních čísel \(\Q\)</h3> <p>Množina \(Q\) věech racionálních čísel obsahuje právě ta čísla, jež lze vyjádřit ve tvaru zlomku \(p/q\), kde \(p\) je celé číslo a \(q\) je přirozené číslo.</p> <p>Tento zápis však není jednoznačný; každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku nekonečně mnoha způsoby krácením či rozšiřováním daného zlomku. Mezi všemi těmito vyjádřeními existuje jediné, které má tu vlastnost, že čísla \(p, q\) jsou nesoudělná (jejich společným dělitelem je jenom číslo jedna). O takovém zlomku říkáme, že je vyjádřen <strong>v základním tvaru</strong>.</p> <p>Základní věty, které platí pro operace s racionálními čísly jsou obdobné jako u přirozených čísel.</p> <p>Při dělení \(a \div b\), \(b \neq 0\)</p> <p><strong>Racionální čísla můžeme zapisovat ve tvaru</strong>:</p> <ul> <li>zlomku</li> <li>desetinného čísla</li> <li>nekonečného periodického rozvoje s vyznačenou periodou</li> </ul> <h3 id="obor-reálných-čísel-r">Obor reálných čísel \(\R\)</h3> <p><strong>Reálnými čísly</strong> nazýváme čísla, která vyjadřují délky úseček (při zvolené jednotkové úsečce), čísla k nim opačná a nulu. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla.</p> <p>Množinu všech reálných čísel tvoří čísla racionální a čísla iracionální.</p> <blockquote> <p><strong>Iracionální čísla</strong> lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem, který je nekonečný a neperiodický.</p> </blockquote> <p>Pro operace s reálnými čísly platí stejné věty jako pro operace s racionálními čísly. Jednou z důležitých vlastností množiny reálných čísel je to, že je to množina uspořádaná.</p> <h3 id="absolutní-hodnota-reálného-čísla">Absolutní hodnota reálného čísla</h3> <p>Absolutní hodnotu \(|a|\) reálného čísla \(a\) definujeme takto:</p> <p>Je-li \(a \geq 0\), pak \(|a| = a\), <br /> je-li \(a \leq 0\), pak \(|a| = -a\).</p> <p>To znamená, že absolutní hodnota nezáporného čísla \(a\) je rovna číslu \(a\), absolutní hodnota záporného čísla \(a\) je rovna opačnému číslu \(-a\), přitom \(-a\) je kladné číslo. Tedy pro každé reálné číslo \(a\) platí \(|a| \geq 0\).</p> <blockquote> <p>Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku.</p> </blockquote> <p>Tato vlastnost se zpravidla nazývá geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla \(a\). Z uvedené vlastnosti vyplývá:</p> <ol> <li>Pro všechna reálná čísla \(a\) je \(|a| \geq 0\), protože vzdálenost je vždy nezáporné číslo.</li> <li>Pro všechna reálná čísla \(a\) platí \(|a| = |-a|\), neboť opačné číslo \(-a\) má od počátku stejnou vzdálenost jako číslo \(a\).</li> </ol> <p>Vzdálenost obrazů reálných čísel \(a,b\) na číselné ose je rovna \(|a-b|\), resp. \(|b-a|\).</p> <h2 id="výrazy">Výrazy</h2> <p>Algebraický výraz je tvořen z konstant a proměnných, které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.</p> <h3 id="výrazy---vzorce">Výrazy - vzorce</h3> \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\] \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\] \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\] \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\] \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\] <h1 id="výroky-množiny-základní-typy-důkazů">Výroky, množiny, základní typy důkazů</h1> <h2 id="výroky">Výroky</h2> <p>Výroky jsou oznamovací věty, kterými se srozumitelně vyjadřuje něco, co může být jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Značíme je malými písmeny.</p> <p><strong>Negace</strong> výroku v je výrok “Není pravda, že \(v\)”. Zřejmě platí:</p> <ul> <li>je-li výrok \(v\) pravdivý, je výrok \(\neg v\) nepravdivý</li> <li>je-li výrok \(v\) nepravdivý, je výrok \(\neg v\) pravdivý</li> </ul> <p>Každý výrok může mít jednu z pravdivostních hodnot: <em>PRAVDA</em> (1, p), <em>NEPRAVDA</em>(1, p).</p> <p>Výroky, ve kterých je číselný údaj vyjádřen slovy <strong>aspoň</strong>, resp. <strong>nejvýše</strong>:</p> <blockquote> <p>Řekneme-li, že nějaká množina má <strong>aspoň</strong> \(k\) <strong>prvků</strong>, znamená to, že počet jejích prvků je <strong>větší nebo roven číslu</strong> \(k\).</p> </blockquote> <blockquote> <p>Řekneme-li, že nějaká množina má <strong>nejvýše</strong> \(k\) <strong>prvků</strong>, znamená to, že počet jejích prvků je <strong>menší nebo roven číslu</strong> \(k\).</p> </blockquote> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">Výrok</th> <th style="text-align: center">Negace výroku</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">“Množina \(M\) má aspoň \(k\) prvků.”</td> <td style="text-align: center">“Množina \(M\) má nejvýše \(k - 1\) prvků.”</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">“Množina \(M\) má nejvýše \(k\) prvků.”</td> <td style="text-align: center">“Množina \(M\) má aspoň \(k + 1\) prvků.”</td> </tr> </tbody> </table> <h3 id="konjunkce">Konjunkce</h3> <p>Konjunkce libovolných výroků \(a\), \(b\) je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou “A”.</p> \[a \land b\] <p>Negace konjuknce dvou výroků je disjunkce negací \(\neg a \lor \neg b\).</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">\(a\)</th> <th style="text-align: center">\(b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \land b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a \lor \neg b\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> </tbody> </table> <p>Konjunkce libovolných výroků \(a\), \(b\) je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky \(a\), \(b\).</p> <h3 id="disjunkce">Disjunkce</h3> <p>Disjunkce libovolných výroků \(a\), \(b\) vznikne spojením těchto výroků spojkou “NEBO”.</p> \[a \lor b\] <p>Negace disjunkce dvou výroků je konjunkce negací \(\neg a \land \neg b\).</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">\(a\)</th> <th style="text-align: center">\(b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \lor b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a \land \neg b\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> </tbody> </table> <p>Disjunkce výroků \(a\), \(b\) je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků \(a\), \(b\).</p> <h3 id="implikace">Implikace</h3> <p>Implikace výroků \(a\), \(b\) je výrok, který vznikne spojením obratem “JESTLIŽE, PAK”.</p> \[a \implies b\] <p>Negace implikace dvou výroků je konjunkce výroku \(a\) a negace výroku \(b\) \(a \land \neg b\).</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">\(a\)</th> <th style="text-align: center">\(b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \implies b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \land \neg b\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> </tbody> </table> <p>Implikace je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky \(a\), \(b\) nebo když je výrok \(a\) nepravdivý a výrok \(b\) jakýkoli.</p> <blockquote> <p>Z pravdivosti implikace \(a \implies b\) nevyplývá pravdivost obrácené implikace \(b \implies a\).</p> </blockquote> <blockquote> <p>Implikace \(a \implies b\) a obměněná implikace \(b' \implies a'\) jsou ekvivalentní.</p> </blockquote> <h3 id="ekvivalence">Ekvivalence</h3> <p>Ekvivalence výroku a, b vznikne přidáním slovního spojení “PRÁVĚ TEHDY KDYŽ”.</p> <p>Ekvivalence libovolných výroků \(a\), \(b\) je konjunkce implikace \(a \implies b\) a obrácené implikace \(b \implies a\), tj. výrok \((a \implies b) \land (b \implies a)\).</p> \[a \leftrightarrow b\] <p>Negace ekvivalence dvou výroků je buď \(\neg a \leftrightarrow b\) nebo \(a \leftrightarrow \neg b\).</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align: center">\(a\)</th> <th style="text-align: center">\(b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \leftrightarrow b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg b\)</th> <th style="text-align: center">\(\neg a \leftrightarrow b\)</th> <th style="text-align: center">\(a \leftrightarrow \neg b\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">O</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> </tr> <tr> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">1</td> <td style="text-align: center">0</td> <td style="text-align: center">0</td> </tr> </tbody> </table> <p>Ekvivalence je pravdivá pouze tehdy, když výroky \(a\), \(b\) jsou oba pravdivé neb oba nepravdivé.</p> <h3 id="tautologie-a-kontradikce">Tautologie a kontradikce</h3> <p><strong>Tautologie</strong> nastává, pokud je výrok vždy pravdivý. <strong>Kontradikce</strong> nastává, pokud výrok není nikdy pravdivý.</p> <h2 id="kvantifikátory">Kvantifikátory</h2> <p>Kvantifikátory slouží k vymezení prvků s nějakou vlastností. Po použití kvantifikátoru vznikají kvantifikované výroky.</p> <ol> <li>Obecný kvantifikátor <ul> <li>říká, že daná vlastnost platí pro všechny prvky</li> <li>značí se \(\forall\)</li> <li>\(\forall\) \(n\) \(\in N\): pro každé přirozené \(n\) platí</li> <li>negace: pro každý prvek platí \(\rightarrow\) existuje jeden prvek, pro který neplatí…</li> <li>Každá kočka je černá \(\rightarrow\) Existuje alespoň jedna kočka, který není černá.</li> </ul> </li> <li>Existenční kvantifikátor <ul> <li>říká, že existuje alespoň jeden prvek s danou vlastností</li> <li>značí se \(\exists\)</li> <li>\(\exists\) \(x\) \(\in R\): existuje alespoň jedno reálné číslo…</li> <li>negace: existuje prvek, pro který platí \(\rightarrow\) pro každý prvek neplatí…</li> <li>Alespoň jeden má kalkulačku. \(\rightarrow\) Nikdo nemá kalkulačku.</li> </ul> </li> </ol> <h2 id="množiny">Množiny</h2> <p>Množinou rozumíme souhrn nějakých objektů (předmětů), které nazýváme prvky uvedené množiny. K vyjádření skutečnosti, že \(x\) je prvkem množiny \(A\), používáme zápis \(x \in A\); \(x\) není prvkem množiny zapisujeme \(x \notin A\).</p> <p>Množinu zapisujeme:</p> <ol> <li>Výčtem prvků <ul> <li>nezáleží na pořadí prvků a každý z těchto prvků musí být ve výčtu zastoupen právě jednu</li> </ul> </li> </ol> \[A = \{1, 2, 3,..\}\] <ol> <li>Uvedením charakteristické vlastnosti prvků množiny <ul> <li>Uvedeme takovou vlastnost, kterou mají všechny prvky množiny a kromě této množiny žádný jiný prvek tuto vlastnost nemá</li> </ul> </li> </ol> \[A = \{x \in N; x \leq 3\}\] <p>Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a značí se \(\emptyset\). B je podmnožinou A (zapisujeme \(B\subset A\)) právě tehdy, když každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A. Každá množina je vždy o sobě sama podmnožinou \(\emptyset \subset A\).</p> <h3 id="rovnost-množin">Rovnost množin</h3> <p>Množiny A, B se rovnají (zapisujeme \(A = B\)) právě tehdy, když každý prvek množiny A je prvkem množiny B a zároveň každý prvek množiny B je prvkem množiny A.</p> <p>V případě, že množina \(B\) je podmnožinou množiny \(A\), zavádíme dále pojem <strong>doplněk množiny \(B\)</strong> v množině \(A\) (zapisujeme \(B'\)) a to jako množinu všech prvků z \(A\), které nepatří do \(B\).</p> <p><strong>Průnik množin</strong> \(A, B\) (zapisujeme \(A \cap B\) ) definujeme jak množinu všech prvků, které zároveň patří do obou množin.</p> <p><strong>Sjednocení množin</strong> \(A, B\) (zapisujeme \(A \cup B\) ) definujeme jako množinu všech prvků, které patří aspoň do jedné z množin \(A, B\).</p> <p><strong>Rozdíl množin</strong> \(A, B\) (zapisujeme \(A \setminus B\) ) definujeme jako množinu všech prvků množiny \(A\), které nejsou prvky množiny \(B\).</p> <h3 id="intervaly">Intervaly</h3> <p>Jsou to množiny zobrazené úsečkou, polopřímkou nebo přímkou na číselné ose. Krajní body k ní mohou ale nemusí patřit.</p> <p>Intervaly mohou být:</p> <ul> <li><strong>omezené</strong> - dají se na číselné ose znázornit úsečkou, dále je rozdělujeme na: <ul> <li><strong>uzavřené</strong> - krajní body patří do množiny intervalu</li> <li><strong>otevřené</strong> - krajní body nepatří do množiny intervalu</li> <li><strong>polouzavřené</strong> - jen jeden krajní bod patří do množiny intervalu</li> </ul> </li> <li><strong>neomezené</strong> - zavádíme znak \(\infty\), “jdou do nekonečna”</li> </ul> <h2 id="definice-matematické-věty-hypotézy-axiomy-důkazy">Definice, matematické věty, hypotézy, axiomy, důkazy</h2> <p><strong>Definice</strong> je vymezení matematického pojmu pomocí pojmů základních nebo pojmů dříve definovaných.</p> <p><strong>Matematická věta</strong> je výrok, jehož pravdivost je dokázána.</p> <p><strong>Hypotéza</strong> je výrok, o němž nevíme, zda je pravdivý.</p> <p><strong>Axiomy</strong> jsou tvrzení, která se přijímají za pravdivá bez důkazů.</p> <p><strong>Důkaz</strong> je úvaha, která zdůvodňuje platnost matematické věty. Je to postup, jak z hypotézy udělat matematickou větu.</p> <h3 id="matematické-věty">Matematické věty</h3> <p>V matematice jsou nejčastěji tyto typy matematických vět:</p> <ol> <li>Věty, které mají tvar elementárního výroku, např.: <blockquote> <p>druhá odmocnina ze dvou je číslo iracionální.</p> </blockquote> </li> <li>Věty, které mají tvar implikace, např.: <blockquote> <p>rozmístíme-li do deseti přihrádek jedenáct předmětů, pak aspoň v jedné přihrádce jsou aspoň dva předměty.</p> </blockquote> </li> <li>Věty, které mají tvar ekvivalence, např.: <blockquote> <p>počet prvočísel je nekonečný právě tehdy, když neexistuje největší prvočíslo.</p> </blockquote> </li> </ol> <h3 id="důkazy-vět-elementárního-výroku">Důkazy vět elementárního výroku</h3> <p>K důkazu těchto vět se obvykle používá přímý důkaz nebo důkaz sporem.</p> <p><strong>Přímý důkaz</strong> je založen na této vlastnosti implikace: <strong>Platí-li výrok</strong> \(a\) <strong>a implikace</strong> \(a \implies b\), <strong>platí i výrok</strong> \(b\).</p> <p><strong>Důkaz sporem</strong> je založen na této vlastnosti implikace: <strong>Platí-li implikace</strong> \(a \implies b\) <strong>a neplatí-li výrok</strong> \(b\), <strong>neplatí ani výrok</strong> \(a\).</p> <h3 id="důkaz-vět-které-mají-tvar-implikace">Důkaz vět, které mají tvar implikace</h3> <p>K důkazu těchto vět se používá důkaz přímý, důkaz sporem a důkaz nepřímý.</p> <p><strong>Nepřímý důkaz</strong> věty \(a \implies b\) spočívá v tom, že dokážeme obměněnou implikaci \(\neg b \implies \neg a\), která je s implikací \(a \implies b\) ekvivalentní.</p> <h3 id="důkaz-vět-které-mají-tvar-ekvivalence">Důkaz vět, které mají tvar ekvivalence</h3> <p>Platnost věty typu \(a \leftrightarrow b\) se nejčastěji dokazuje tak, že se dokážou implikace \(a \implies b\) a implikace \(b \implies a\).</p> https://andy.ggu.cz/2023/02/05/planimetrie/ 2023-02-05T00:00:00+00:00 2023-02-05T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#rovinné-útvary" id="markdown-toc-rovinné-útvary">Rovinné útvary</a> <ul> <li><a href="#základní-geometrické-pojmy" id="markdown-toc-základní-geometrické-pojmy">Základní geometrické pojmy</a> <ul> <li><a href="#bod" id="markdown-toc-bod">Bod</a></li> <li><a href="#přímka" id="markdown-toc-přímka">Přímka</a></li> <li><a href="#polopřímka" id="markdown-toc-polopřímka">Polopřímka</a></li> <li><a href="#úsečka" id="markdown-toc-úsečka">Úsečka</a></li> <li><a href="#úhel" id="markdown-toc-úhel">Úhel</a></li> <li><a href="#dvojice-úhlů" id="markdown-toc-dvojice-úhlů">Dvojice úhlů</a></li> <li><a href="#konvexní-útvar" id="markdown-toc-konvexní-útvar">Konvexní útvar</a></li> </ul> </li> <li><a href="#trojúhelníky" id="markdown-toc-trojúhelníky">Trojúhelníky</a> <ul> <li><a href="#vlastnosti-trojúhelníku" id="markdown-toc-vlastnosti-trojúhelníku">Vlastnosti trojúhelníku</a></li> <li><a href="#shodnost-trojúhelníků" id="markdown-toc-shodnost-trojúhelníků">Shodnost trojúhelníků</a></li> <li><a href="#podobnost-trojúhelníků" id="markdown-toc-podobnost-trojúhelníků">Podobnost trojúhelníků</a></li> </ul> </li> <li><a href="#čtyřúhelníky" id="markdown-toc-čtyřúhelníky">Čtyřúhelníky</a></li> <li><a href="#kružnice-kruh" id="markdown-toc-kružnice-kruh">Kružnice, kruh</a></li> <li><a href="#euklidovy-věty" id="markdown-toc-euklidovy-věty">Euklidovy věty</a> <ul> <li><a href="#euklidova-věta-o-výšce" id="markdown-toc-euklidova-věta-o-výšce">Euklidova věta o výšce</a></li> <li><a href="#euklidova-věta-o-odvěsně" id="markdown-toc-euklidova-věta-o-odvěsně">Euklidova věta o odvěsně</a></li> </ul> </li> <li><a href="#pythagorova-věta" id="markdown-toc-pythagorova-věta">Pythagorova věta</a></li> </ul> </li> <li><a href="#konstrukční-úlohy" id="markdown-toc-konstrukční-úlohy">Konstrukční úlohy</a> <ul> <li><a href="#množina-bodů-dané-vlastnosti" id="markdown-toc-množina-bodů-dané-vlastnosti">Množina bodů dané vlastnosti</a></li> <li><a href="#konstrukce-trojúhelníků" id="markdown-toc-konstrukce-trojúhelníků">Konstrukce trojúhelníků</a></li> <li><a href="#konstrukce-čtyřúhelníků" id="markdown-toc-konstrukce-čtyřúhelníků">Konstrukce čtyřúhelníků</a></li> </ul> </li> <li><a href="#zobrazení-v-rovině" id="markdown-toc-zobrazení-v-rovině">Zobrazení v rovině</a> <ul> <li><a href="#shodné-zobrazení" id="markdown-toc-shodné-zobrazení">Shodné zobrazení</a> <ul> <li><a href="#osová-souměrnost" id="markdown-toc-osová-souměrnost">Osová souměrnost</a></li> <li><a href="#středová-souměrnost" id="markdown-toc-středová-souměrnost">Středová souměrnost</a></li> <li><a href="#posunutí" id="markdown-toc-posunutí">Posunutí</a></li> <li><a href="#otočení" id="markdown-toc-otočení">Otočení</a></li> </ul> </li> <li><a href="#podobné-zobrazení" id="markdown-toc-podobné-zobrazení">Podobné zobrazení</a> <ul> <li><a href="#stejnolehlost" id="markdown-toc-stejnolehlost">Stejnolehlost</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="rovinné-útvary">Rovinné útvary</h1> <p>Základní geometrické pojmy, <em>bod</em> a <em>přímka</em>, vznikaly abstrakcí z hmotných objektů. Název <strong>geometrie</strong> znamenal původně zeměměřictví. Nyní je geometrie chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických objektů. <strong>Planimetrie</strong> studuje geometrické útvary v rovině.</p> <h2 id="základní-geometrické-pojmy">Základní geometrické pojmy</h2> <p>V některých učebnicích se uvádí jako základní geometrické pojmy <em>bod</em>, <em>přímka</em>, <em>rovina</em>, popř. i sám <em>prostor</em>. Mezi základní útvary se někdy zahrnují i <em>kružnice</em>, <em>trojúhelník</em> a <em>čtverec</em>.</p> <h3 id="bod">Bod</h3> <p><strong>Bod</strong> je bezrozměrný základní geometrický útvar. Dle Euklidovských Základů je bod něco, co nemá části, nelze jej dále dělit. Všechny geometrické útvary jsou definovány jako množina bodů. Zpravidla nekonečně velká (pouze samotný bod je jednoprvková množina). Za bod lze považovat také úsečku nulové délky.</p> <h3 id="přímka">Přímka</h3> <p><strong>Přímka</strong> je jednorozměrný základní geometrický útvar. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.</p> <p>Speciální případ přímky je <em>osa</em>. Přímku lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.</p> <p>Dvě různoběžné přímky - <strong>různoběžky</strong> - mohou mít nejvýš jeden společný bod, <strong>průsečík</strong>. Je-li \(P\) průsečík různoběžek \(a,b\), píšeme \(a \cap b = \{ P \}\), příp. \(P \in a \cap b\).</p> <blockquote> <p>Daným bodem \(A\) lze vést k dané přímce \(p\) jedinou rovnoběžku.</p> </blockquote> <p>Jsou-li dány dvě různé přímky \(a,b\) a přímka \(p\), která je protíná v různých bodech \(A,B\), říkáme, že jsou <strong>přímky \(a,b\) proťaty příčkou \(p\).</strong> <strong>Příčka</strong> je název pro úsečky nebo přímky, které mají specifickou polohu k jednomu či několika útvarům.</p> <blockquote> <p>Jestliže jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou \(p\) přímek \(a,b\) jsou úhly shodné, pak přímky \(a,b\) jsou rovnoběžné.</p> </blockquote> <blockquote> <p><strong>Každým bodem \(A\) lze vést k dané přímce \(p\) jedinou kolmici \(k\)</strong>. <strong>Je-li \(a \bot b\) a \(a \bot c\), pak je \(b \| c\)</strong>.</p> </blockquote> <h3 id="polopřímka">Polopřímka</h3> <p>Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné <strong>polopřímky</strong> a je jejich společným počátkem.</p> <h3 id="úsečka">Úsečka</h3> <p><strong>Úsečku</strong> \(AB\) tvoří všechny body přímky \(AB\), které leží mezi body \(A\), \(B\) a body \(A\), \(B\).</p> <h3 id="úhel">Úhel</h3> <p>Dvě různé polopřímky VA, VB dělí rovinu na dva úhly \(AVB\). Polopřímky VA, VB se nazývají ramena, bod V vrchol obou úhlů.</p> <p><strong>Pravý úhel</strong> je takový úhel, který je shodný se svým úhlem vedlejším.</p> <h3 id="dvojice-úhlů">Dvojice úhlů</h3> <p>Nejsou-li polopřímky VA, VB opačné, je jeden úhel \(AVB\) průnikem polorovin \(VAB\), \(VBA\) a nazývá se <strong>konvexní</strong> úhel \(AVB\), značíme \(AVB\). Druhý úhel \(AVB\) vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám \(VAB\), \(VBA\) a nazývá se <strong>nekonvexní</strong> úhel \(AVB\), značíme \(AVB\).</p> <h3 id="konvexní-útvar">Konvexní útvar</h3> <p>Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka, spojující kterékoli dva body útvaru, je částí tohoto útvaru.</p> <h2 id="trojúhelníky">Trojúhelníky</h2> <blockquote> <p>Tři různé body \(A\), \(B\), \(C\), které neleží v přímce, určují trojúhelník \(ABC\).</p> </blockquote> <p>Body \(A\), \(B\), \(C\) jsou vrcholy trojúhelníku \(ABC\), úsečky \(AB\), \(BC\), \(AC\) jsou strany trojúhelníku \(ABC\), konvexní úhly \(BAC\), \(ABC\), \(BCA\) vnitřní úhly trojúhelníku.</p> <p>Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky:</p> <ul> <li><strong>různostranné</strong> neboli obecné, v nichž žádné dvě strany nejsou shodné</li> <li><strong>rovnoramenné</strong>, které mají dvě strany (ramena) shodné, třetí strana se nazývá <strong>základna</strong>. Zvláštním případem rovnoramenných trojúhelníků jsou trojúhelníky <strong>rovnostranné</strong>, které mají všechny strany shodné</li> </ul> <p>Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na:</p> <ul> <li><strong>ostroúhlé</strong> se všemi ostrými úhly</li> <li><strong>tupoúhlé</strong> s jedním tupým úhlem</li> <li><strong>pravoúhlé</strong> s jedním pravým úhlem</li> </ul> <p><strong>Součet vnitřních úhlů je úhel přímý</strong></p> <p><strong>Vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.</strong></p> <h3 id="vlastnosti-trojúhelníku">Vlastnosti trojúhelníku</h3> <p><strong>Trojúhelníková nerovnost</strong>:<br /> Pro každé tři body \(A\), \(B\), \(C\) platí trojúhelníková nerovnost \(\lvert AB \rvert &lt; \lvert AC \rvert + \lvert BC \rvert\), rovnost nastane, právě když bod \(C\) leží na úsečce \(AB\). V každém trojúhelníku platí:</p> <ul> <li>Součet každých dvou stran trojúhelníku je vetší než strana třetí.</li> <li>V trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana.</li> </ul> <p><strong>Střední příčka</strong> trojúhelníku je úsečka, spojující středy dvou stran trojúhelníku.</p> <blockquote> <p>Každá střední příčka trojúhelníki je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje. Její délka je rovna polovině délky této strany.</p> </blockquote> <p>Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku, se nazývá <strong>výška</strong> trojúhelníku. Označujeme je obvykle \(v_a, v_b, v_c\).</p> <blockquote> <p>Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě \(O\), tzv. průsečíku výšek, kterému se také říká <strong>ortocentrum</strong>.</p> </blockquote> <p><strong>Těžnice</strong> trojúhelníku je úsečka, spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protější strany. Označujeme je obvykle \(t_a, t_b, t_c\).</p> <blockquote> <p>Těžniče trojúhelníku se protínají v jednom bodě zvaném <strong>těžiště</strong> trojúhelníku. Značíme \(T\). Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice.</p> </blockquote> <p>Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici. <strong>Kružnice opsaná</strong> trojúhelníku je kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku, obvykle ji označujeme \(r\). <strong>Kružnice vepsaná</strong> trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku, obvykle ji označujeme \(\rho\).</p> <blockquote> <p><strong>Osy stran</strong> trojúhelníku se protínají v jednom bodě, a to ve středu kružnice trojúhelníku opsané. <strong>Osy vnitřních úhlů</strong> trojúhelníků se protínají v jednom bodě, a to středu kružnice trojúhelníku vepsané.</p> </blockquote> <h3 id="shodnost-trojúhelníků">Shodnost trojúhelníků</h3> <p>Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí. Shodnost trojúhelníků \(\bigtriangleup ABC, \bigtriangleup A'B'C'\) zapisujeme \(\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup A'B'C'\).</p> <p>Říkáme tím, že při přemístění přejde bod \(A\) do bodu \(A'\), bod \(B\) do bodu \(B'\) a bod \(C\) do bodu \(C'\). Body \(A,A'\) jsou k sobě příslušné, stejně tak \(B,B'\) a \(C,C'\).</p> <p>Shodnost trojúhelníků zpravidla nezjišťujeme pomocí přemišťování. Stačí, přesvědčíme-li se o shodnosti některých stran a úhlů.</p> <p>Platí:</p> <ul> <li><strong>Věta sss</strong>: Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.</li> <li><strong>Věta usu</strong>: Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých této straně, jsou shodné.</li> <li><strong>Věta sus</strong>: Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.<br /> (známe ze základní školy)</li> </ul> <p>Existuje však ještě jedno tvrzení o shodných trojúhelnících:</p> <ul> <li><strong>Věta ssu</strong>: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.</li> </ul> <h3 id="podobnost-trojúhelníků">Podobnost trojúhelníků</h3> <p>Pro každé dvě úsečky \(AB, CD\) můžeme stanovit kladné číslo \(k\), pro které platí \(k = |AB| \div |CD|\) neboli \(|AB| = k \cdot |CD|\). Číslo \(k\) se nazývá <strong>poměr úseček</strong> \(AB, CD\).</p> <p>Definice podobnosti trojúhelníků:<br /> <strong>Trojúhelník \(A', B', C'\) je podobný trojúhelníku \(ABC\)</strong>, jestliže existuje kladné číslo \(k\) tak, že pro jejich strany platí:</p> \[|A'B'| = k \cdot |AB|, |B'C'| = k \cdot |BC|, |C'A'| = k \cdot |CA|,\] <p>neboli</p> \[c' = k \cdot c, a'= k \cdot a, b' = k \cdot b\] <p>Číslo \(k\) se nazývá <strong>poměr podobnosti trojúhelníků</strong> \(ABC, A'B'C'\). Je-li \(k &gt; 1\), nazývá se podobnost <strong>zvětšení</strong>, je-li \(k &lt; 1\), jde o <strong>zmenšení</strong>. Je-li \(k=1\), jsou oba trojúhelníky shodné. Podobnost trojúhelníků zapisujeme \(\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A'B'C'\).</p> <p>O podobnosti trojúhelníků lze rozhodnout nejen pomocí délek stran, ale i pomocí velikostí úhlů, a to podle vět \(uu\) a \(sus\):</p> <ul> <li><strong>Věta \(uu\): Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech.</strong> V podobných trojúhelnících jsou všechny odpovídající si úhly shodné.</li> <li><strong>Věta \(sus\): Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech.</strong></li> </ul> <h2 id="čtyřúhelníky">Čtyřúhelníky</h2> <p>\(n\)-úhelník, kde \(n = 4\), se nazývá <strong>čtyřúhelník</strong>.</p> <p>Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin: různoběžníky, lichoběžníky, rovnoběžníky.</p> <ol> <li><strong>Různoběžník</strong> je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.</li> <li><strong>Lichoběžník</strong> je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou rovnoběžné. Rovnoběžné strany se nazývají <strong>základny</strong>, zbývající dvě <strong>ramena.</strong> O lichoběžníku víme: <ul> <li>Jeho základny nejsou shodné, ramena mohou být shodná. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme <strong>rovnoramenný lichoběžník</strong></li> <li>Jen jedno rameno může být kolmé k základně. Pak je toto rameno kolmé i k druhé základně. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základně, nazýváme <strong>pravoúhlý lichoběžník</strong>.</li> <li>Součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníku je úhel přímý. <strong>Střední příčka lichoběžníku</strong> je úsečka, spojující středy jeho ramen. Platí: <ul> <li><strong>Střední příčka lichoběžníku je rovnoběžná s oběma základnami. Její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.</strong></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><strong>Rovnoběžník</strong> je čtyřúhelník, jehož obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. Podle velikostí úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na <strong>pravoúhlé</strong> (<strong>obdélník</strong> a jeho speciílní případ <strong>čtverec</strong>), <strong>kosoúhlé</strong> (<strong>kosodélník</strong> a jeho speciální případ <strong>kosočtverec</strong>) a <strong>různostranné</strong> (<strong>obdélník, kosodélník</strong>). Základní vlastnosti rovnoběžníku jsou: <ul> <li>Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.</li> <li>Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné.</li> <li>Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí; jejich společný bod je středem rovnoběžníku</li> </ul> </li> </ol> <p>Čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici, se nazývá <strong>tětivový</strong> - jeho strany jsou tětivami opsané kružnice.</p> <ul> <li><strong>Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý.</strong></li> </ul> <p>Čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici, se nazývá <strong>tečnový</strong> - jeho strany jsou tečnami vepsané kružnice.</p> <ul> <li><strong>Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny</strong>.</li> </ul> <p>Čtyřúhelník, kterému lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá <strong>dvojstředový</strong>.</p> <p><strong>Deltoid</strong> je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou k sobě kolmé a jedna z nich (hlavní) prochází středem druhé (vedlejší). Je to tečnový čtyřúhelník.</p> <h2 id="kružnice-kruh">Kružnice, kruh</h2> <p>Definice <strong>kružnice</strong>:</p> <blockquote> <p>Je dán bod \(S\) a kladné číslo \(r\). <strong>Kružnice</strong> \(k(S;r)\) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu \(S\) vzdálenost \(r\).</p> </blockquote> <p>Bod \(S\) se nazývá <strong>střed kružnice</strong>, číslo \(r\) je <strong>poloměr kružnice</strong>. Množina všech bodů (roviny), které mají od bodu \(S\) vzdálenost menší nebo rovnu \(r\) se nazývá <strong>kruh \(K(S;r)\).</strong> Bod \(S\) je <strong>střed kruhu</strong>, číslo \(r\) je <strong>poloměr kruhu.</strong></p> <p>Úsečka \(AB\), kde \(A, B\) jsou dva různé body kružnice, se nazývá <strong>tětiva kružnice</strong>.</p> <p><strong>Vzájemná poloha přímky a kružnice</strong>:</p> <ul> <li>Přímka, jejíž dva body leží na kružnici, je její <strong>sečna</strong>, společné body \(A, B\) jsou <strong>průsečíky</strong>.</li> <li>Přímka, která má s kružnicí jediný společný bod \(T\), je její <strong>tečna</strong>, společný bod je bod <strong>dotyku</strong>.</li> <li>Přímka, která nemá s kružnicí žádný společný bod, je její <strong>vnější přímka</strong>.</li> </ul> <p><strong>Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu \(AB\) je středem tětivy \(AB\).</strong><br /> <strong>Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.</strong><br /> Vzájemnou polohu přimky a kružnice charakterizuje také vzdálenost středu kružnice a přímky.</p> <p><strong>Vzájemná poloha dvou kružnic</strong>:</p> <ul> <li>Dvě kružnice, které mají společný střed, nazýváme <strong>soustředné</strong>, nemají buď žádný společný bod nebo jsou totožné.</li> <li>Pokud jsou kružnice nesoustředné, leží bu vně druhé, nebo mají vnější dotyk, nebo se protínají ve dvou bodech.</li> </ul> <h2 id="euklidovy-věty">Euklidovy věty</h2> <p>Euklidovy věty byly odvozeny na základě podobnosti trojúhelníků</p> <h3 id="euklidova-věta-o-výšce">Euklidova věta o výšce</h3> <blockquote> <p>V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků přepony.</p> </blockquote> \[v^2 = c_a \cdot c_b\] <h3 id="euklidova-věta-o-odvěsně">Euklidova věta o odvěsně</h3> <blockquote> <p>V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku.</p> </blockquote> \[a^2 = c \cdot c_a\] <h2 id="pythagorova-věta">Pythagorova věta</h2> <p>Pythagorova věta je bezprostředním důsledkem Euklidových vět.</p> <blockquote> <p>V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen</p> </blockquote> \[a^2 + b^2 = c^2\] <h1 id="konstrukční-úlohy">Konstrukční úlohy</h1> <p>Nejpoužívanější metodou řešení planimetrických konstrukčních úloh je <strong>metoda množin všech bodů dané vlastnosti</strong>, poté se používá také <strong>metoda algebraická</strong> a <strong>metoda geometrických zobrazení</strong>.</p> <h2 id="množina-bodů-dané-vlastnosti">Množina bodů dané vlastnosti</h2> <p><strong>Kružnice \(k(S;r)\) je množina všech bodů, které mají od bodu \(S\) vzdálenost \(r\)</strong></p> <blockquote> <p><strong>Množina \(M\) všech bodů roviny \(\rho\), které mají danou vlastnost</strong>, je množina bodů, pro kterou současně platí:</p> <ol> <li>Každý bod množiny \(M\) má danou vlastnost.</li> <li>Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny \(M\).</li> </ol> </blockquote> <h2 id="konstrukce-trojúhelníků">Konstrukce trojúhelníků</h2> <p><strong>Trojúhelník</strong> je zpravidla určen třemi vhodně zvolenými prvky. K určovacím prvkům počítáme jeho strany, úhly, výšky, těžnice, poloměry opsané a vepsané kružnice.</p> <h2 id="konstrukce-čtyřúhelníků">Konstrukce čtyřúhelníků</h2> <p>Při konstrukci <strong>čtyřúhelníků</strong> jde obvykle o konstrukci trojúhelníků, na které je čtyřúhelník rozdělen úhlopříčkami. K určovacím prvkům čtyřúhelníku patří jeho strany, úhly, úhlopříčky, úhel úhlopříček, výšky, poloměry opsané a vepsané.</p> <h1 id="zobrazení-v-rovině">Zobrazení v rovině</h1> <blockquote> <p><strong>Zobrazení \(Z\) v rovině</strong> je předpis, který každému bodu \(X\) roviny přiřazuje právě jeden bod \(X'\) roviny. Bod \(X\) se nazývá <strong>vzor</strong>, bod \(X'\) jeho <strong>obraz</strong>; zapisujeme \(Z: X \rightarrow X'\)</p> </blockquote> <p>Body \(X\), pro jejichž obrazy platí \(X' = X\), se nazývají <strong>samodružné body zobrazení</strong>. Zobrazení, ve kterém je každý bod samodružný, se nazývá <strong>identita</strong>.</p> <h2 id="shodné-zobrazení">Shodné zobrazení</h2> <p>Zobrazení (v rovině) je <strong>shodné zobrazení, shodnost</strong>, jestliže obrazem úsečky \(AB\) je úsečka \(A'B'\).</p> <p>Příklad s průsvitkou: Jestliže je třeba přemisťování obracet průsvitku, jde o <strong>nepřímou shodnost</strong>, neobrátíme-li průsvitku, jde o <strong>shodnost přímou</strong>.</p> <h3 id="osová-souměrnost">Osová souměrnost</h3> <blockquote> <p>Je dána přímka \(o\). <strong>Osová souměrnost s osou \(o\)</strong> je shodné zobrazení \(O(o)\), které přiřazuje:</p> <ol> <li>každému bodu \(X \notin o\) bod \(X'\) tak, že přímka \(XX'\) je kolmá k přímce \(o\) a střed úsečky \(XX'\) leží na přímce \(o\).</li> <li>každému bodu \(Y \in o\) bod \(Y = Y'\)</li> </ol> </blockquote> <h3 id="středová-souměrnost">Středová souměrnost</h3> <blockquote> <p>Je dán bod \(S\). <strong>Středová souměrnost se středem \(S\)</strong> je shodné zobrazení \(S(S)\), které přiřazuje:</p> <ol> <li>každému bodu \(X \neq S\) bod \(X'\) tak, že bod \(S\) je středem úsečky \(XX'\),</li> <li>bodu \(S\) bod \(S' = S\).</li> </ol> </blockquote> <h3 id="posunutí">Posunutí</h3> <blockquote> <p>Je dána orientovaná úsečka \(AB\). <strong>Posunutí (translace)</strong> je shodné zobrazení \(T(AB)\), které každému bodu \(X\) přiřadí bod \(X'\) tak, že orientované úsečky \(XX'\) a \(AB\) mají stejnou délku a jsou souhlasně orientované.</p> </blockquote> <h3 id="otočení">Otočení</h3> <blockquote> <p>Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je \(\varphi\), a bod \(S\). <strong>Otočení (rotace)</strong> je shodné zobrazení \(R(S, \varphi)\), které přiřazuje:</p> <ol> <li>každému bodu \(X \neq S\) bod \(X'\) tak, že \(\lvert X'S \rvert = \lvert XS \rvert\) a orientovaný úhel \(XSX'\) má velikost \(\varphi\)</li> <li>bodu \(S\) bod \(S'=S\)</li> </ol> </blockquote> <h2 id="podobné-zobrazení">Podobné zobrazení</h2> <blockquote> <p><strong>Podobné zobrazení</strong> nebo také <strong>podobnost</strong> je geometrické zobrazení (v rovině), pro které existuje kladné číslo \(k\) tak, že pro každé dvě dvojice bodů \(A, A'\) a \(B, B'\) vzoru a obrazu je splněn vztah \(\lvert A'B' \rvert = k \cdot \lvert AB \rvert\).</p> </blockquote> <p>Číslo \(k\) se nazývá <strong>poměr podobnosti</strong></p> <h3 id="stejnolehlost">Stejnolehlost</h3> <blockquote> <p>Je dán bod \(S\) a reálné číslo \(K (K \neq 0)\). <strong>Stejnolehlost (homotetie)</strong> se <strong>středem \(S\)</strong> a <strong>koeficientem \(K\)</strong> je zobrazení \(H(S,K)\), které přiřazuje:</p> <ol> <li>každému bodu \(X \neq S\) bod \(X'\) tak, že platí \(\lvert SX' \rvert = \lvert K \rvert \cdot \lvert SX \rvert\); přitom pro \(K &gt; 0\) leží bod \(X'\) na polopřímce \(SX\), pro \(K&lt;0\) je bod \(X'\) bodem polopřímky opačné k polopřímce \(SX\)</li> <li>bodu \(S\) bod \(S' = S\)</li> </ol> </blockquote> https://andy.ggu.cz/2023/01/28/reseni-rovnic-nerovnic/ 2023-01-28T00:00:00+00:00 2023-01-28T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#rovnice" id="markdown-toc-rovnice">Rovnice</a> <ul> <li><a href="#ekvivalentní-úpravy-rovnic-zachovávají-množiny-všech-řešení" id="markdown-toc-ekvivalentní-úpravy-rovnic-zachovávají-množiny-všech-řešení">Ekvivalentní úpravy rovnic (zachovávají množiny všech řešení):</a></li> <li><a href="#lineární-rovnice" id="markdown-toc-lineární-rovnice">Lineární rovnice</a> <ul> <li><a href="#rovnice-s-neznámou-ve-jmenovateli" id="markdown-toc-rovnice-s-neznámou-ve-jmenovateli">Rovnice s neznámou ve jmenovateli</a></li> <li><a href="#rovnice-s-neznámou-pod-odmocninou" id="markdown-toc-rovnice-s-neznámou-pod-odmocninou">Rovnice s neznámou pod odmocninou</a></li> <li><a href="#řešení-rovnic-metodou-substituce" id="markdown-toc-řešení-rovnic-metodou-substituce">Řešení rovnic metodou substituce</a></li> <li><a href="#rovnice-s-absolutními-hodnotami" id="markdown-toc-rovnice-s-absolutními-hodnotami">Rovnice s absolutními hodnotami</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#nerovnice" id="markdown-toc-nerovnice">Nerovnice</a> <ul> <li><a href="#lineární-nerovnice" id="markdown-toc-lineární-nerovnice">Lineární nerovnice</a> <ul> <li><a href="#ekvivalentní-úpravy-nerovnic-nezmění-kořeny-původní-nerovnice" id="markdown-toc-ekvivalentní-úpravy-nerovnic-nezmění-kořeny-původní-nerovnice">Ekvivalentní úpravy nerovnic (nezmění kořeny původní nerovnice):</a></li> <li><a href="#nerovnice-v-součinovém-a-podílovém-tvaru" id="markdown-toc-nerovnice-v-součinovém-a-podílovém-tvaru">Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru</a></li> <li><a href="#nerovnice-s-absolutními-hodnotami" id="markdown-toc-nerovnice-s-absolutními-hodnotami">Nerovnice s absolutními hodnotami</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#kvadratické-rovnice" id="markdown-toc-kvadratické-rovnice">Kvadratické rovnice</a> <ul> <li><a href="#kvadratická-rovnice-bez-absolutního-členu" id="markdown-toc-kvadratická-rovnice-bez-absolutního-členu">Kvadratická rovnice bez absolutního členu</a></li> <li><a href="#ryze-kvadratická-rovnice" id="markdown-toc-ryze-kvadratická-rovnice">Ryze kvadratická rovnice</a></li> <li><a href="#diskriminant-d" id="markdown-toc-diskriminant-d">Diskriminant D</a></li> <li><a href="#vztahy-mezi-kořeny-a-koeficienty-kvadratické-rovnice" id="markdown-toc-vztahy-mezi-kořeny-a-koeficienty-kvadratické-rovnice">Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kvadratické-nerovnice" id="markdown-toc-kvadratické-nerovnice">Kvadratické nerovnice</a></li> <li><a href="#soustava-rovnic" id="markdown-toc-soustava-rovnic">Soustava rovnic</a> <ul> <li><a href="#soustava-dvou-lineárních-rovnic-se-dvěma-neznámými" id="markdown-toc-soustava-dvou-lineárních-rovnic-se-dvěma-neznámými">Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými</a> <ul> <li><a href="#dosazovací-metoda" id="markdown-toc-dosazovací-metoda">Dosazovací metoda</a> <ul> <li><a href="#ekvivalentní-úpravy" id="markdown-toc-ekvivalentní-úpravy">Ekvivalentní úpravy</a></li> </ul> </li> <li><a href="#sčítací-metoda" id="markdown-toc-sčítací-metoda">Sčítací metoda</a> <ul> <li><a href="#ekvivalentní-úpravy-1" id="markdown-toc-ekvivalentní-úpravy-1">Ekvivalentní úpravy</a></li> </ul> </li> <li><a href="#grafické-řešení" id="markdown-toc-grafické-řešení">Grafické řešení</a></li> </ul> </li> <li><a href="#soustava-lineárních-rovnic-s-více-neznámými" id="markdown-toc-soustava-lineárních-rovnic-s-více-neznámými">Soustava lineárních rovnic s více neznámými</a> <ul> <li><a href="#algoritmus-při-převádění-soustav---gaussova-eliminační-metoda" id="markdown-toc-algoritmus-při-převádění-soustav---gaussova-eliminační-metoda">Algoritmus při převádění soustav - Gaussova eliminační metoda</a> <ul> <li><a href="#ekvivalentní-úpravy-2" id="markdown-toc-ekvivalentní-úpravy-2">Ekvivalentní úpravy</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#soustava-lineárních-a-kvadratických-rovnic" id="markdown-toc-soustava-lineárních-a-kvadratických-rovnic">Soustava lineárních a kvadratických rovnic</a></li> <li><a href="#soustava-dvou-nebo-více-lineárních-nerovnic-s-dvěma-neznámými" id="markdown-toc-soustava-dvou-nebo-více-lineárních-nerovnic-s-dvěma-neznámými">Soustava dvou nebo více lineárních nerovnic s dvěma neznámými</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="rovnice">Rovnice</h1> <p><em>Rovnice</em> je zápis rovnosti dvou výrazů s proměnnou (neznámou). Rovnici můžeme také definovat jako zápis rovnosti dvou funkcí.</p> <p><em>Řešit rovnici</em> znamená určit všechna čísla (kořeny rovnice) - množinu řešení, která je možné dosadit za neznámou, aby vznikla platná rovnost. Zkouška je kontrola správnosti dosazením nalezeného kořene do obou stran původní rovnice.</p> <h3 id="ekvivalentní-úpravy-rovnic-zachovávají-množiny-všech-řešení">Ekvivalentní úpravy rovnic (zachovávají množiny všech řešení):</h3> <ul> <li>Přičtení (nebo odečtení) stejného čísla nebo mnohočlenu k oběma stranám rovnice</li> <li>Vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem</li> <li>Výměna levé a pravé strany rovnice</li> </ul> <p>Důsledková úprava - např. umocnění obou stran rovnice. Je to taková úprava rovnice, kdy k řešením původní rovnice náleží i další řešení.</p> <h2 id="lineární-rovnice">Lineární rovnice</h2> <p>\(ax + b = 0\), kde \(a\),\(b\) náleží \(\R\)</p> <p>Když řešíme lineární rovnici, mohou nastat tyto případy:</p> <ul> <li>Rovnice má jedno řešení, je-li \(a \neq 0\), \(x = \frac{-b}{a}\)</li> <li>Rovnice nemá žádné řešení, je-li \(a = 0\), \(b \neq 0\). Při výpočtu se neznámá odečte a vznikne neplatná rovnost</li> <li>Rovnice má řešení všechna reálná čísla, \(a = 0\), \(b = 0\). Při výpočtu se neznámá odečte</li> </ul> <h3 id="rovnice-s-neznámou-ve-jmenovateli">Rovnice s neznámou ve jmenovateli</h3> <p>Jmenovatel \(\neq 0\), je potřeba určit podmínky, za kterých má rovnice smysl. Nalezená hodnota musí splňovat podmínku.</p> <h3 id="rovnice-s-neznámou-pod-odmocninou">Rovnice s neznámou pod odmocninou</h3> <p>Důsledková úprava \(\rightarrow\) umocnění obou stran na druhou, provádíme zkoušku</p> <h3 id="řešení-rovnic-metodou-substituce">Řešení rovnic metodou substituce</h3> <p><em>Substituce</em> = nahrazení - “nová neznámá se rovná zmíněnému výrazu”</p> <h3 id="rovnice-s-absolutními-hodnotami">Rovnice s absolutními hodnotami</h3> <p>Absolutní hodnota = vzdálenost od \(0\) na číselné ose</p> <ul> <li>První způsob řešení <ul> <li>Zjistíme nulový bod a řešíme rovnici v daných intervalech</li> </ul> </li> <li>Druhý způsob řešení <ul> <li>geometrická představa</li> </ul> </li> </ul> <h1 id="nerovnice">Nerovnice</h1> <p><em>Nerovnice</em> je zápis nerovnosti dvou výrazů s proměnnou (neznámou). Obsahuje jeden ze znaků nerovnosti: &gt;, &lt; (a ostrá nerovnost)</p> <p><em>Řešit nerovnici</em> znamená určit všechna čísla (kořeny nerovnice), která je možné dosadit za neznámou, aby vznikla platná nerovnost.</p> <h2 id="lineární-nerovnice">Lineární nerovnice</h2> <p>Když řešíme lineární nerovnici, mohou nastat tyto případy:</p> <ul> <li>Nerovnice má řešení ležící v intervalu reálných čísel</li> <li>Nerovnice nemá žádné řešení - při výpočtu se neznámá odečte a vznikne neplatná nerovnost</li> <li>Nerovnice má řešení všechna reálná čísla - při výpočtu se neznámá odečte a vznikne platná nerovnost</li> </ul> <h3 id="ekvivalentní-úpravy-nerovnic-nezmění-kořeny-původní-nerovnice">Ekvivalentní úpravy nerovnic (nezmění kořeny původní nerovnice):</h3> <ul> <li>Přičtení (odečtení) stejného čísla nebo mnohočlenu k oběma stranám nerovnice</li> <li>Vynásobení (vydělení) obou stran nerovnice stejným kladným nenulovým číslem - znak nerovnosti se nemění</li> <li>Vynásobení (vydělení) obou stran nerovnice stejným záporným číslem - znak nerovnosti se obrací.</li> </ul> <p>Úplnou zkoušku nelze provést z důvodu nekonečně mnoha kořenů, pro kontrolu lze provést ověření správnosti dosazením vybraného kořene z nalezeného intervalu.</p> <h3 id="nerovnice-v-součinovém-a-podílovém-tvaru">Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru</h3> <p>Metoda nulových bodů, tabulka, intervaly</p> <h3 id="nerovnice-s-absolutními-hodnotami">Nerovnice s absolutními hodnotami</h3> <ul> <li>První způsob řešení <ul> <li>Metoda nulových bodů \(\rightarrow\) intervaly</li> </ul> </li> <li>Druhý způsob řešení <ul> <li>Intervaly, které vyhovují nerovnosti</li> </ul> </li> </ul> <h1 id="kvadratické-rovnice">Kvadratické rovnice</h1> <p>\(ax^2 + bx + c\), kde \(a\),\(b\),\(c\) náleží \(\R\); \(ax^2\) je její kvadratický dvojčlen, \(bx\) je její lineární člen a \(c\) její absolutní člen</p> <h3 id="kvadratická-rovnice-bez-absolutního-členu">Kvadratická rovnice bez absolutního členu</h3> \[ax^2 +bx = 0\] <p>kořeny jsou čísla:</p> \[\begin{align} x_1 &amp;= 0 \notag\\ x_2 &amp;= \frac{-b}{a} \notag \end{align}\] <h3 id="ryze-kvadratická-rovnice">Ryze kvadratická rovnice</h3> \[ax^2 + c = 0\] <h3 id="diskriminant-d">Diskriminant D</h3> <p>Po vypočítání diskriminantu nastávají 3 možnosti:</p> <ul> <li>Je-li \(D &lt; 0\), rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel</li> <li>Je-li \(D = 0\) má rovnice jeden dvojnásobný kořen \(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\)</li> <li>Je-li \(D &gt; 0\) má rovnice dva reálné kořeny</li> </ul> <h3 id="vztahy-mezi-kořeny-a-koeficienty-kvadratické-rovnice">Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice</h3> <p>Pro kořeny \(x_1\), \(x_2\) kvadratické rovnice platí Viétovy vzorce:</p> \[\begin{align} x_1 + x_2 &amp;= \frac{-b}{a}\notag\\ x_1 . x_2 &amp;= \frac{c}{a}\notag \end{align}\] <h1 id="kvadratické-nerovnice">Kvadratické nerovnice</h1> <p>Způsoby řešení:</p> <ul> <li>Rozložíme na kvadratické činitele (kvadratický trojčlen), nalezneme nulové body - množinou všech řešení je nalezený interval</li> <li>Grafické řešení - má-li nerovnice dva kořeny, protíná přímka parabolu ve dvou bodech, pokud má jeden dvojnásobný kořen, protíná přímka parabolu pouze v jednom místě, když nemá žádný kořen, neprotíná ji vůbec.</li> </ul> <h1 id="soustava-rovnic">Soustava rovnic</h1> <p><em>Řešit soustavu rovnic</em> znamená určit všechny dvojice čísel x; y, které vyhovují oběma rovnicím současně. <em>Grafický význam rovnic:</em> každá rovnice reprezentuje přímku v rovině.</p> <h2 id="soustava-dvou-lineárních-rovnic-se-dvěma-neznámými">Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými</h2> <p>Může mít buď jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo žádné řešení. Řešíme buď algebraickými metodami či graficky.</p> <h3 id="dosazovací-metoda">Dosazovací metoda</h3> <p>Spočívá v tom, že z některé z obou rovnic vyjádříme tu neznámou, u níž je nenulový koeficient, pomocí druhé neznámé a příslušný výraz za ni dosadíme do zbývající rovnice. Získáme tak lineární rovnici s jednou neznámou.</p> <h4 id="ekvivalentní-úpravy">Ekvivalentní úpravy</h4> <p>Při použití dosazovací metody řešíme danou soustavu rovnic pomocí ekvivalentních úprav. To jsou takové úpravy, které tuto soustavu převádí na novou soustavu se stejnou množinou všech řešení. Při dosazovací metodě používáme tyto ekvivalentní úpravy:</p> <ul> <li>ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy</li> <li>dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice</li> </ul> <h3 id="sčítací-metoda">Sčítací metoda</h3> <p>Sčítací metoda se používá při řešení soustavy, jestliže všechny čtyři koeficienty jsou nenulové. Příslušná soustava se převede na takovou ekvivalentní soustavu, že v jedné její rovnici “chybí” (alespoň) jedna neznámá.</p> <h4 id="ekvivalentní-úpravy-1">Ekvivalentní úpravy</h4> <p>Při použití sčítací metody používáme tuto ekvivalentní úpravu:</p> <ul> <li>přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy (přesněji: přičtení levé strany k levé straně a pravé strany k pravé straně)</li> <li>vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této rovnici</li> </ul> <h3 id="grafické-řešení">Grafické řešení</h3> <p>Obrazem množiny všech řešení soustavy dvou nebo více takových rovnic je množina všech společných bodů příslušných přímek. Tyto přímky mohou být různoběžné, nebo rovnoběžné různé, nebo splývající. Podle toho, která z těchto situací nastává, má příslušná soustava jedno, nebo žádné, nebo nekonečně mnoho řešení.</p> <h2 id="soustava-lineárních-rovnic-s-více-neznámými">Soustava lineárních rovnic s více neznámými</h2> <h3 id="algoritmus-při-převádění-soustav---gaussova-eliminační-metoda">Algoritmus při převádění soustav - Gaussova eliminační metoda</h3> <ol> <li>Soustavu upravíme tak, aby v první rovnici byl u neznámé, kterou zapisujeme jako první, nenulový koeficient. Pokud tomu tak není přímo v dané soustavě, změníme pořadí rovnic, popř. změníme pořadí, v němž v rovnicích zapisujeme neznámé.</li> <li>První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici (popř. k jejich nenulovým násobkům) přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první “zmizela”.</li> <li>Soustavu upravíme tak, aby v druhé rovnici byl u neznámé, kterou zapisujeme jako druhou, nenulový koeficient. Pokud to je potřebné, můžeme navzájem vyměnit druhou a třetí rovnici nebo změnit pořadí zápisu druhé a třetí neznámé.</li> <li>První a druhou rovnici opíšeme, k třetí rovnici (popř. k jejímu nenulovému násobku) přičteme takový násobek druhé rovnice, aby v ní neznámá zapisovaná jako druhá “zmizela”.</li> </ol> <h4 id="ekvivalentní-úpravy-2">Ekvivalentní úpravy</h4> <ul> <li>ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy (zejména jejich násobení nenulovými čísly)</li> <li>dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí ostatních neznámých, za příslušnou neznámou do jiné rovnice</li> <li>přičtení násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici této soustavy (popř. k jejímu nenulovému násobku)</li> <li>záměna pořadí rovnic</li> <li>vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy</li> </ul> <h2 id="soustava-lineárních-a-kvadratických-rovnic">Soustava lineárních a kvadratických rovnic</h2> <p>Souřadnice \(x\), \(y\) hledaných průsečíků musí splňovat rovnice obou křivek. Po dosazení lineární rovnice do rovnice paraboly, získáme kvadratickou rovnici a její kořeny. Poté vypočteme dosazením funkční hodnoty průsečíků.</p> <h2 id="soustava-dvou-nebo-více-lineárních-nerovnic-s-dvěma-neznámými">Soustava dvou nebo více lineárních nerovnic s dvěma neznámými</h2> <p>Můžeme postupovat tak, že vyřešíme každou nerovnici zvlášť, množina řešení je pak průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic.</p> https://andy.ggu.cz/2023/01/28/vypocetni-technika/ 2023-01-28T00:00:00+00:00 2023-01-28T00:00:00+00:00 Andy <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#výpočetní-technika---význam-a-uplatnění" id="markdown-toc-výpočetní-technika---význam-a-uplatnění">Výpočetní technika - význam a uplatnění</a> <ul> <li><a href="#historie-výpočetní-techniky" id="markdown-toc-historie-výpočetní-techniky">Historie výpočetní techniky</a></li> <li><a href="#moderní-historie-počítačů" id="markdown-toc-moderní-historie-počítačů">Moderní historie počítačů</a> <ul> <li><a href="#trendy-ve-vývoji-počítačů" id="markdown-toc-trendy-ve-vývoji-počítačů">Trendy ve vývoji počítačů</a> <ul> <li><a href="#budoucnost-výpočetní-techniky" id="markdown-toc-budoucnost-výpočetní-techniky">Budoucnost výpočetní techniky</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#výpočetní-technika---jednotky-informací" id="markdown-toc-výpočetní-technika---jednotky-informací">Výpočetní technika - Jednotky informací</a> <ul> <li><a href="#bit" id="markdown-toc-bit">Bit</a></li> <li><a href="#byte" id="markdown-toc-byte">Byte</a></li> <li><a href="#číselné-soustavy" id="markdown-toc-číselné-soustavy">Číselné soustavy</a> <ul> <li><a href="#dvojková-binární-soustava" id="markdown-toc-dvojková-binární-soustava">Dvojková (binární) soustava</a></li> <li><a href="#osmičková-soustava" id="markdown-toc-osmičková-soustava">Osmičková soustava</a></li> <li><a href="#desítková-dekadická-soustava" id="markdown-toc-desítková-dekadická-soustava">Desítková (dekadická) soustava</a></li> <li><a href="#šestnáctková-hexadecimální-soustava" id="markdown-toc-šestnáctková-hexadecimální-soustava">Šestnáctková (hexadecimální) soustava</a></li> </ul> </li> <li><a href="#kódování-dat" id="markdown-toc-kódování-dat">Kódování dat</a> <ul> <li><a href="#kódování-znaků" id="markdown-toc-kódování-znaků">Kódování znaků</a></li> <li><a href="#komprese" id="markdown-toc-komprese">Komprese</a></li> <li><a href="#šifrování" id="markdown-toc-šifrování">Šifrování</a></li> <li><a href="#kódování-souborů---grafika-zvuk-video" id="markdown-toc-kódování-souborů---grafika-zvuk-video">Kódování souborů - grafika, zvuk, video</a></li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h1 id="výpočetní-technika---význam-a-uplatnění">Výpočetní technika - význam a uplatnění</h1> <ul> <li>široké využití napříč všemi vědami a povoláními (biologie - medicína, matematika, fyzika, astronomie, ekonomie - účetnictví)</li> <li>automatizace a digitalizace &gt; různé dokumenty, programy (Word, Excel atd.)</li> <li>pomocí počítačů a programovacích jazyků jsou dnes už všechny matematické, fyzikální a astronomické výpočty jednodušší</li> </ul> <h2 id="historie-výpočetní-techniky">Historie výpočetní techniky</h2> <ul> <li>Prvopočátky počítačů lze hledat již cca 5000 let př.n.l., kdy se objevují první pomuůcky pro usnadnění počítání s čísly</li> <li>ABAKUS = pochází ze Starověké Číny &gt; počítadlo, deska, do které se vkládaly kamínky + další kuličkové počítadla</li> <li>počátek 17. století - logaritmické pravítko - používané dodnes <ul> <li>Mechanické kalkulátory: <ul> <li>počítací hodiny - mechanický stroj schopný násobit a dělit</li> <li>pascaline - mechanická kalkulačka na sčítání dlouhých sloupců čísel</li> <li>arithmometr - první hromadně prodávaný počítací přístroj</li> <li>byly používány až do druhé poloviny 20. st.</li> <li>možnosti byly velice omezené, bylo nutné najít jiný princip</li> </ul> </li> </ul> </li> <li>Děrné štítky = od 19. století, první médium pro zápis programů, zautomatizovaly tklacovské stavy na výrobu vzorovaných tkanin <ul> <li>analytical engine</li> <li>elektromechanické sčítací stroje (velké firmy a banky)</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="moderní-historie-počítačů">Moderní historie počítačů</h2> <p>(rozdělujeme do generací):</p> <p><strong>Nultá generace</strong></p> <ul> <li>30.-40. léta 20. st.</li> <li>využívaly relé = elektromagnetické přepínače</li> <li>zástupci počítačů: Z1 (velmi poruchový, nepoužitelný) Z2 (obsahoval asi 200 relé), Z3 (2600 relé) <ul> <li>pracoval ve dvojkové soustavě</li> <li>asi 50 aritmetických operací za minutu</li> </ul> </li> <li>MARK1 - rychlejší relé, 3 součty za sekundu <ul> <li>15 m dlouhý, 5 tun</li> <li>poháněný elektromotorem o výkonu 3,7 kW</li> <li>používal děrnou pásku, pracoval v desítkové soustavě</li> <li>během stovek hodin vypočítal konfigurace uranové nálože první atomové bomby</li> </ul> </li> <li>Turingova bomba <ul> <li>Britové ho použili k prolomení kódu německého šifrovacího přístroje Enigma</li> </ul> </li> <li>MARK II <ul> <li>rychlejší</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>První generace 1946-1956</strong></p> <ul> <li>počítače byly velmi drahé, neefektivní, poruchové</li> <li>nízká výpočetní rychlost, používaly děrné štítky a pásky</li> <li>obsahovaly již pevné disky</li> <li>používají elektronky (zesilují elektrické signály)</li> <li>zástupci:</li> <li>ENIAC <ul> <li>první univerzálně programovatelný stroj na zprácování informací</li> <li>zabíral celou halu, chlazen leteckými motory</li> <li>pouze na matematické výpočty, nepoužíval dvojkovou soustavu (nebyl univerzálně použitelný)</li> </ul> </li> <li>MANIAC (použit k sestavení atomové bomby)</li> </ul> <p><strong>Von Neumannova koncepce počítače</strong></p> <ul> <li>matematik, kolem roku 1950 položil základy konstrukce současných počítačů <ul> <li>počítač se skládá z: <ul> <li>řídící jednotky (řadič) - koordinuje činnost ostatních jednotek a určuje, co mají v kterém okamžiku dělat</li> <li>aritmeticko-logická jednotka (ALU) - provádí numerické výpočty, vyhodnocuje podmínky,…</li> <li>operační paměť - uchovává data a program</li> <li>vstupní zařízení - zařízení, odkud se do počítače dostávají data ke zpracování</li> <li>výstupní zařízení - do tohoto zařízení zapisuje počítač výsledky své činnosti</li> </ul> </li> <li>pro reprezentaci dat se používá dvojková soustava -&gt; počítač je univerzálně použitelný</li> <li>sestaven EDVAC</li> </ul> </li> </ul> <p><strong>Druhá generace 1957-1965</strong></p> <ul> <li>použití tranzistorů - je základem všech dnešních integrovaných obvodů</li> <li>velké zmenšení rozměrů a snížení energetické náročnosti</li> <li>vyšší rychlost a spolehlivost</li> <li>počátky operačních systémů a programovacích jazyků</li> <li>zástupci: UNIVAC, EPOS, EPOS2</li> </ul> <p><strong>Třetí generace 1966-1980</strong></p> <ul> <li>použití integrovaných obvodů</li> <li>opět zmenšení</li> <li>zástupci: Cray, IBM 360</li> <li>1969 vznik mikroprocesoru - integrovaný obvod s velkou hustotou integrace</li> <li>objevuje se multiprogramování (může provádět více operací najednou)</li> <li>vznikají nové programovací jazyky (Pascal, Python atd)</li> </ul> <p><strong>Čtvrtá generace 1981 až do teď</strong></p> <ul> <li>použití mikroprocesorů (vysoká koncentrace integrovaných obvodů)</li> <li>vyšší spolehlivost, menší rozměry, větší rychlost, větší kapacita paměti</li> <li>vývoj osobních počítačů</li> <li>ALTAIR 8800 <ul> <li> <ol> <li>osobní počítač</li> </ol> </li> <li>programování pomocí přepínačů</li> <li>bez obrazovky, klavesnice</li> </ul> </li> <li>APPLE I, APPLE II <ul> <li>vznik textových a tabulkových editorů -&gt; zefektivnění kancelářské práce, počítače už nejsou hračka pro vědce</li> </ul> </li> <li>operační systém Microsoft, BIOS</li> </ul> <h3 id="trendy-ve-vývoji-počítačů">Trendy ve vývoji počítačů</h3> <ul> <li>zvýšení kapacity rychlosti, kapacity paměti</li> <li>snížení energetické náročnosti</li> <li>dotykové obrazovky</li> <li>rychlejší připojení k internetu</li> </ul> <h4 id="budoucnost-výpočetní-techniky">Budoucnost výpočetní techniky</h4> <ul> <li>kvantové počítače</li> </ul> <h1 id="výpočetní-technika---jednotky-informací">Výpočetní technika - Jednotky informací</h1> <ul> <li>informaci v informatice tvoří kódovaná data, která můžeme podle potřeby vysílat, příjmat, uchovávat a zpracovávat</li> <li>informaci přenášíme pomocí signálu analogového nebo signálu digitálního (v dnešní době častěji využívaný digitální)</li> </ul> <h3 id="bit">Bit</h3> <ul> <li>nejmenší jednotka, se kterou dokáže počítač pracovat je 1 bit</li> <li>bit = binary digit (dvojková číslice)</li> <li>může nabývat pouze hodnot 0 a 1 <ul> <li>můžeme považovat za informaci typu ano/ne, platí/neplatí</li> </ul> </li> <li>značíme malým b</li> </ul> <h3 id="byte">Byte</h3> <ul> <li>jednotka informace složená z 8 bitů</li> <li>obvykle má hodnotu jednoho čísla či písmene</li> <li>stále je to velice malá jednotka, a proto se používají její násobky (1kB = 1024B, 1MB = 1024kB, 1GB = 1024MB, 1TB = 1024GB)</li> <li>značíme velkým B</li> <li>1B = 8b</li> </ul> <h2 id="číselné-soustavy">Číselné soustavy</h2> <h3 id="dvojková-binární-soustava">Dvojková (binární) soustava</h3> <ul> <li>pouze 0 a 1</li> <li>používá se ve všech moderních počítačích, protože symboly 1 a 0 symbolizují dva stavy elektrického obvodu <ul> <li>1 - zapnuto, 0 - vypnuto</li> </ul> </li> <li>číslo zapsané v binární soustavě se nazývá binární číslo</li> </ul> <h3 id="osmičková-soustava">Osmičková soustava</h3> <ul> <li>0-7</li> <li>dnes se už moc nevyužívá</li> <li>pozůstatky např. přístupová práva v Unixu nebo kódy Unicode; využití kvůli lehkému převodu s dvojkovou a menšímu počtu znaků než u 16-kové</li> </ul> <h3 id="desítková-dekadická-soustava">Desítková (dekadická) soustava</h3> <ul> <li>0-9</li> <li>nejstarší a nejpoužívanější číselnou soustavou</li> <li>používá se v běžném životě, ve vědě, v technice</li> </ul> <h3 id="šestnáctková-hexadecimální-soustava">Šestnáctková (hexadecimální) soustava</h3> <ul> <li>0-9; A-F</li> <li>čísla jsou kratší než ve dvojkové tzn. lépe zapamatovatelná a použitelná, menší pravděpodobnost chyby</li> <li>např. kódy barev, binární reprezentace souborů, programování (první “programovací jazyk” byly šestnáctkové kódy instrukcí)</li> </ul> <h2 id="kódování-dat">Kódování dat</h2> <p>Před zpracováním dat v počítači, je nutné převést znaky do tvaru, kterému počítač rozumí, to znamená přiřadit datům určité kombinace bitů. Tento proces se nazývá <strong>kódování</strong>.</p> <p>Kód je v podstatě přepis pro jednoznačné přiřazení určité kombinace bitů příslušnému znaku. Kombinací bitů se říká kódové slovo. Data lze zpátky dekódovat.</p> <h3 id="kódování-znaků">Kódování znaků</h3> <p>Založeno na principu znakové sady tj. množiny, která každému znaku přiřazuje binární reprezentaci (mimo počítače sem lze zařadit např. Morseovu abecedu). Nejstarší IBM EBCDIC - používal se déle než měl, problémy s kolizemi s ASCII.</p> <p><strong>ASCII (American Standard Code for Information Interchange)</strong></p> <ul> <li>historicky nezrozšířenější znaková sada; i dnešní znakové sady s ní zůstávají částečně kompatibilní</li> <li>obsahuje anglickou abecedu, speciální znaky (, $, % nebo znaky pro vytvoření tabulek - rovná čára, roh, kříž), interpunkční znaménka, matem. symboly a řídící sekvence</li> <li>původně sedmibitová; nestandardní, brzy rozšířena na 8-bit</li> <li>tím vzniklo místo, do kterého si každý národ přidal vlastní znaky \(\rightarrow\) nekompatibilita</li> </ul> <p><strong>Unicode</strong></p> <ul> <li>reakce na nekompatibilní ASCII kódy</li> <li>obsahuje prakticky všechna písma používaná na zemi (včetně znakových), fonetické znaky, emoji, číslicové fonty, historická písma…</li> <li>zpětně kompatibilní s ISO Latin 2 (důležité pro starší weby)</li> <li>definuje tabulku znaků a příslušné kódy, ale neřeší jejich uložení v binární formě = několik dalších standardů</li> <li>nejpoužívanější UTF-8, výhodou flexibilní délka znaku, tj. původní ASCII znaky mají pouze 8-bitů, u dalších znaků se rozšiřuje až do 32; pro jednoznačné určení se používají přdpony</li> <li>nebo UTF-32 přímé kódování - velmi nehospodárné k místu, ale jednoduché na čtení</li> <li>dnes jediný prakticky používaný</li> <li>poslední verze 2021</li> </ul> <h3 id="komprese">Komprese</h3> <ul> <li>dělíme na <strong>ztrátovou</strong> (odstranění přebytečných dat) a <strong>bezztrátovou</strong> (dochází k odstranění redudantních dat, která lze rekonstruovat)</li> <li>ztrátová se používá např. u videa, zvuku (mp3), nebo u obrázků (JPG, PNG) - běžný člověk drobné snížení kvality nepozná a zmenšuje se tím velikost souboru</li> <li>bezztrátová - obrázky (PNG), zvuk (Flac), komprese souborů</li> <li>často je zaměňována s archivací, protože se často vyskytují společně</li> <li>archivací myslíme spojení většího množství souborů do jednoho</li> <li>většina programů tento archiv pak bezztrátově komprimuje (ZIP, RAR, 7ZIP)</li> <li>základním parametrem je kompresní poměr - nekomprimovaná:komprimovaným datům</li> <li>používá se k zmenšení velikosti - posílání dat sítí, zálohování, archivace (tar - tape archiver, původně pro magnetické pásky)…</li> <li>rychlost dnešních CPU umožňuje kompresi i kritických částí OS - např. komprese celého Linux kernelu</li> </ul> <h3 id="šifrování">Šifrování</h3> <ul> <li>nazýváme tak změnu znaků tak, aby původní text nebyl čitelný a ideálně ani odvoditelný, ale aby při znalosti kódu bylo možné původni informaci rekontruovat</li> <li>při výběru šifry je důležitý faktor čas, hrubou silou jde prolomit každou šifru; šifra by se měla volit dle poměru hodnota informace:potřebný čas na dešifrování</li> <li>potřeba dešifrovat hesla byla jedna z prvních počítačových úloh - 2. světová válka, A. Turring, bomba</li> <li>obecně nejslabším článkem všech šifer je uživatel</li> <li>nejjednodušší šifrovací metody je naprosté nahrazení, podle nějaké tabulky či pravidel (př. Caesarova šifra)</li> <li>v počítačové kryptografii se šifry dělí na <ul> <li>symetrické - šifruje i dešifruje pomocí jediného klíče/hesla</li> <li>asymetrické - používá dvojici klíčů - veřejný pro šifrování a soukromý pro dešifrování (každý může zašifrovat zprávu a můžu ji přečíst jen já)</li> </ul> </li> </ul> <h3 id="kódování-souborů---grafika-zvuk-video">Kódování souborů - grafika, zvuk, video</h3> <p><strong>Zvuk</strong></p> <ul> <li>tzv. digitální zvuk; původní analogový uchovával celou zvukovou vlnu (gramofony), kterou bylo možné dělit na nekonečně malé úseky;</li> <li></li> </ul> https://andy.ggu.cz/2022/12/18/chaos/ 2022-12-18T00:00:00+00:00 2022-12-18T00:00:00+00:00 Andy <blockquote class="note"> <p><a href="https://ksp.mff.cuni.cz/encyklopedie/zaznamy/smrst2022/CHAOS">Záznam přednášky</a> ze <a href="https://ksp.mff.cuni.cz/akce/smrst/2022/">Smrště 2022</a>.</p> </blockquote> <ul id="markdown-toc"> <li><a href="#historie-chaosu" id="markdown-toc-historie-chaosu">Historie chaosu</a> <ul> <li><a href="#deterministické-systémy---newtonovské-zákony" id="markdown-toc-deterministické-systémy---newtonovské-zákony">Deterministické systémy - Newtonovské zákony</a></li> </ul> </li> <li><a href="#definice-chaosu" id="markdown-toc-definice-chaosu">Definice chaosu</a> <ul> <li><a href="#dynamické-soustavy" id="markdown-toc-dynamické-soustavy">Dynamické soustavy</a></li> <li><a href="#chaotické-chování" id="markdown-toc-chaotické-chování">Chaotické chování</a></li> <li><a href="#motýlí-efekt" id="markdown-toc-motýlí-efekt">Motýlí efekt</a></li> <li><a href="#atraktory" id="markdown-toc-atraktory">Atraktory</a> <ul> <li><a href="#lorenzův-atraktor" id="markdown-toc-lorenzův-atraktor">Lorenzův atraktor</a></li> <li><a href="#rösslerův-atraktor" id="markdown-toc-rösslerův-atraktor">Rösslerův atraktor</a></li> <li><a href="#hénonův-atraktor" id="markdown-toc-hénonův-atraktor">Hénonův atraktor</a></li> <li><a href="#kings-dream" id="markdown-toc-kings-dream">Kings Dream</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#dimenze" id="markdown-toc-dimenze">Dimenze</a> <ul> <li><a href="#topologická-dimenze" id="markdown-toc-topologická-dimenze">Topologická dimenze</a></li> <li><a href="#fraktální-dimenze" id="markdown-toc-fraktální-dimenze">Fraktální dimenze</a> <ul> <li><a href="#hausdorffova-dimenze" id="markdown-toc-hausdorffova-dimenze">Hausdorffova dimenze</a></li> <li><a href="#mřížková-dimenze" id="markdown-toc-mřížková-dimenze">Mřížková dimenze</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#fraktály" id="markdown-toc-fraktály">Fraktály</a> <ul> <li><a href="#l-systémy-lindenmayerovy-systémy" id="markdown-toc-l-systémy-lindenmayerovy-systémy">L-systémy (Lindenmayerovy systémy)</a></li> <li><a href="#ifs-iterated-function-systems" id="markdown-toc-ifs-iterated-function-systems">IFS (Iterated Function Systems)</a></li> <li><a href="#tea-polynomické-fraktály" id="markdown-toc-tea-polynomické-fraktály">TEA (polynomické fraktály)</a> <ul> <li><a href="#juliovy-množiny" id="markdown-toc-juliovy-množiny">Juliovy množiny</a></li> <li><a href="#mandelbrotova-množina" id="markdown-toc-mandelbrotova-množina">Mandelbrotova množina</a></li> </ul> </li> <li><a href="#náhodné-fraktály" id="markdown-toc-náhodné-fraktály">Náhodné fraktály</a></li> <li><a href="#logistická-funkce-a-bifurkační-diagram" id="markdown-toc-logistická-funkce-a-bifurkační-diagram">Logistická funkce a bifurkační diagram</a> <ul> <li><a href="#logistická-funkce" id="markdown-toc-logistická-funkce">Logistická funkce</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li><a href="#využití-teorie-chaosu-v-praxi" id="markdown-toc-využití-teorie-chaosu-v-praxi">Využití teorie chaosu v praxi</a> <ul> <li><a href="#biologie" id="markdown-toc-biologie">Biologie</a> <ul> <li><a href="#samoorganizace" id="markdown-toc-samoorganizace">Samoorganizace</a></li> <li><a href="#modelování-populace" id="markdown-toc-modelování-populace">Modelování populace</a></li> <li><a href="#kolonie-bakterií" id="markdown-toc-kolonie-bakterií">Kolonie bakterií</a></li> </ul> </li> <li><a href="#fyzika" id="markdown-toc-fyzika">Fyzika</a> <ul> <li><a href="#dvojité-kyvadlo" id="markdown-toc-dvojité-kyvadlo">Dvojité kyvadlo</a></li> <li><a href="#turbulence" id="markdown-toc-turbulence">Turbulence</a></li> <li><a href="#kapající-kohoutek" id="markdown-toc-kapající-kohoutek">Kapající kohoutek</a></li> <li><a href="#komprese-dat" id="markdown-toc-komprese-dat">Komprese dat</a></li> </ul> </li> <li><a href="#zdroje" id="markdown-toc-zdroje">Zdroje</a></li> </ul> </li> </ul> <hr /> <h2 id="historie-chaosu">Historie chaosu</h2> <h3 id="deterministické-systémy---newtonovské-zákony">Deterministické systémy - Newtonovské zákony</h3> <p>Slovo chaos pochází z řečtiny a v různých odvětvích má různý význam. V kosmologii starého Řecka byl chaos zároveň prapůvodní prázdnotou vesmíru a také podsvětím, kde přebývali mrtví. Počátkem křesťanství došlo k posunu významu ke slovu nepořádek. V metafyzice je opakem zákona a pořádku.</p> <!--excerpt-start--> <p>Počátky teorie chaosu vztahujeme již k Newtonovým teoriím. Uběhlo už něco málo přes tři sta let od publikace díla, které nemá v historii obdobu, Matematických principů přírodovědy Isaaca Newtona (obrázek). Stále se prodává okolo 700 výtisků ročně - nejčastěji studentům humanitních věd (studují z původních zdrojů). Poselství tohoto díla zní: V přírodě panují zákonitosti a my je můžeme najít.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/matemat_principu.jpg" alt="Matematických principů přírodovědy Isaaca Newtona" /></p> <!--excerpt-end--> <p>Díky Newtonova zákona gravitace a pohybovému zákonu se vše zdálo předvídatelné. Jeho zákony se staly pro více než dvě století konečným popisem přírody. Najednou jsme mohli vysvětlit pohyb planet a měsíců, výskyt zatmění a komet. Vše velice přesně na několik století dopředu. Revoluce ve vědeckém myšlení, která vyvrcholila Newtonem, vedla k vizi světa jako obrovského mechanismu fungujícího jako “hodinový stroj” - k vyjádření naprosté spolehlivosti a mechanické dokonalosti. V takové vizi je stroj především předvídatelný. Za stejných podmínek provede stejné věci. Co vedlo vědce 17. a 18. století k takovému sterilnímu pohledu na náš svět? Newton zformuloval své zákony jako matematické rovnice, které dávají do poměru nejen veličiny, ale i míry změn těchto veličin. Když těleso padá volně pod vlivem konstantní gravitace, není to jeho poloha, co by zůstávalo neměnné. Není to ani jeho rychlost - míra změny polohy -, co by zůstávalo konstantní. Čím déle těleso padá, tím padá rychleji - je to zrychlení, neboli míra změny míry změny polohy - co se nemění. Rovnicím, ve kterých se vyskytují míry změn, se říká <strong>diferenciální rovnice</strong>. Míra změny veličiny je dána rozdílem jejich hodnot ve dvou blízkých okamžicích. Pro nás je důležité, že pokud známe počáteční polohy a rychlosti všech složek dynamického systému, tak je řešení rovnic popisujících pohyb tohoto systému jednoznačné. Pokud v nějakém daném okamžiku známe polohy a rychlosti všech částeček hmoty ve Sluneční soustavě, potom jsou všechny další pohyby těchto částic určené jednoznačně.</p> <p>Toto předpokládá, že na pohyb nepůsobí žádné vnější vlivy. Pokud bychom se snažili vzít v potaz i tyto, vedlo by to k výkladu, že znalost poloh a rychlosti všech částic hmoty celého vesmíru v nějakém konkrétním okamžiku naprosto určuje jeho další vývoj. Vesmír sleduje jednoznačnou, předem danou dynamickou cestu.</p> <p>Jeden z předních matematiků 18. století, Pierre Simon de Laplace ve svém Filozofickém pojednání o pravděpodobnostech píše:</p> <blockquote> <p><em>“Kdyby existoval intelekt, který by v nějakém daném okamžiku znal všechny síly, které hýbou světem, vzájemné polohy všech bytostí, ze kterých se svět skládá, a byl by tak nesmírný, že by tato data znalyzoval, mohl by pohyby největších těles vesmíru i nejlehčího atomu soustředit do jediného vzorce: pro takový intelekt by nebylo nic nejisté a budoucnost, stejně jako minulost, by měl před očima.”</em></p> </blockquote> <p>Zde se zrodil vzor klasického determinismu: když rovnice předepisují vývoj systému jednoznačně a neexistují žádné náhodné vnější vstupy, potom je jeho chování dáno jednoznačně jednou provždy.</p> <p>Přejdeme už k příkladu chaosu, konkrétně k jednomu měsíci Saturnu, Hyperionu. Má nepravidelný tvar, je to vesmírná brambora. Jeho oběžná dráha je přesná a pravidelná, ale jeho chování na dráze je zvláštní. Hyperion dělá kotrmelce. Složité a nepravidelné. Nijak se přitom Newtonovým zákonům nevzpírá, jeho kotrmelce se řídí zákony gravitace a dynamiky.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/hyperion.jpg" alt="Hyperion" /></p> <p>Předpokládejme, že by kosmická sonda zaznamenala pohyby Hyperionu. Předpokládejme, že by na základě těchto záznamů byli vědci schopni co nejpřesněji předpovědět budoucí pohyb Hyperionu předurčený Newtonovými zákony. Poté své předpoklady porovnáme se skutečností a budeme předpokládat, že nevyjdou. A taky že nevyjdou. Chyba v předpovídání? Ne. Selhání Newtonových zákonů? Ne. Čeká se, že předpověď nevyjde kvůli Newtonovým zákonům. Náhodné vnější vlivy? (plynová mračna, magnetická pole, sluneční vítr)? Ne.</p> <p>Je to neodmyslitelná vlastnost matematických rovnic v dynamice. Schopnost generovat pohyb natolik složitý, tak citlivý na měření, že vypadá jako náhodný. Tomuto se říká chaos.</p> <h2 id="definice-chaosu">Definice chaosu</h2> <p>Ve slovníku najdeme dvě definice slova chaos 1. zmatek, nepořádek 2. stav s vysokou neuspořádaností. Třetí, matematická definice je stochastické chování v deterministickém systému. S laplaceovským determinismem jsme se již setkali. Slovo stochastický znamená náhodný.</p> <p>Deterministické chování je ovládané exaktními a neporušitelnými pravidly. Stochastické chování je pravý opak: bez zákonů a pravidel, řízené náhodou.</p> <p>Takže chaos je nepravidelné chování podle přesných pravidel. Jako Hyperion.</p> <p>Chaos je úplně stejně všední jako periodické cykly. Ale s periodickými cykly jsme se setkávali už několik staletí, kdežto na existenci chaosu jsme narazili teprve nedávno, takže na něj nejsme zvyklí.</p> <p>V populárním tisku se přerodil v něco, čemu se říká “teorie chaosu”. Chaos je však pojem, který nemůže být odtržen od zbytku dynamiky. Také se můžete s teorií chaosu setkat pod názvy či obory jako jsou teorie nelineárních systémů, teorie dynamických systémů nebo nelineární dynamika. Slovo teorie může mít přinejmenším dva významy:</p> <ol> <li>tvrzení o chování světa, záleží na tom, jak dostatečně dobře odpovídá přírodě</li> <li>koherentní soubor matematických znalostí s jasnou konzistentní identitou, v tomto smyslu nejsou o správnosti žádné spory.</li> </ol> <p>Nyní se objevila společnice teorie chaosu známá jako teorie komplexity. Teorie chaosu nám říká, že jednoduché systémy se mohou projevovat složitě, teorie komplexity říká, že složité systémy se mohou chovat “emergentně” jednoduše.</p> <p>Velký zlom v teorii chaosu nastal s příchodem počítačů, které usnadnily výpočty, protože teorie chaosu je založená na opakovaném počítání stejných rovnic s různými hodnotami. Jednalo se především o výpočty Edwarda Lorenze, který se zabýval předpověďmi počasí. Jeho výpočty vedly k rozdílným výsledkům přestože zadáváná data se nepatrně lišila. Tento výsledek později nazval jako motýlí efekt.</p> <h3 id="dynamické-soustavy">Dynamické soustavy</h3> <p>Dynamickou soustavu (nebo systém) lze popsat pomocí stavového prostoru a dynamických podmínek. Souřadnice stavového prostoru popisují stav systému a dynamické podmínky změny stavů soustavy v čase.</p> <p>Dynamické podmínky jsou obvykle zadány soustavou diferenciálních rovnic popisující změny stavového vektoru v čase.</p> <p>Stavový prostor je množinou všech možných stavů, do kterých se může daný systém dostat. Existuje několik typů stavového prostoru. Těmi jsou stavové prostory konečné, nekonečné a spočitatelné. Konečný stavový prostor je takový prostor, který obsahuje konečný počet stavů (například balíček hracích karet). Spočitatelný stavový prostor obsahuje nekonečné množství stavů, ale každému stavu lze přiřadit jedno přirozené číslo. Nekonečný stavový prostor je prostor obsahující nekonečný počet stavů, jeho stavové proměnné jsou reálná čísla.</p> <p>Dynamické soustavy lze rozdělit do několika typů:</p> <ul> <li>lineární</li> <li>nelineární</li> <li>deterministický</li> <li>stochastický</li> </ul> <p>Lineární systém lze charakterizovat tak, že v něm lze uplatnit princip superpozice:</p> \[f(x) = a\\ f(y) = b\] <p>pak</p> \[f(x + y) = a + b\] <p>V lineárním systému lze předpovědět jeho vývoj a budoucnost.</p> <p>V nelineárním systému neplatí princip superpozice a je nutné jej řešit pomocí diferenciálních rovnic a nelze zaručit jeho přesnou předpověď budoucího vývoje.</p> <p>U deterministického systému lze předpovědět jeho budoucí vývoj a je jednoduché ho popsat.</p> <p>U stochastického systému nelze předpovědět jeho budoucí vývoj. Je náhodný a je nutné se spolehnout pouze na statické funkce.</p> <h3 id="chaotické-chování">Chaotické chování</h3> <p>Systém vykazující chaotické chování musí splňovat následující podmínky:</p> <blockquote> <p><strong>Musí být citlivý na nastavení počátečních podmínek.</strong></p> </blockquote> <p>To znamená, že dvě blízké trajektorie ve fázovém prostoru se s rostoucím časem exponenciálně rozbíhají. Nebo-li malá změna v počátečních podmínkách může po čase vést k velmi odlišnému výsledku. Příkladem je tzv. <strong>motýlí efekt</strong>.</p> <blockquote> <p><strong>Musí být typologicky tranzitivní</strong></p> </blockquote> <p>Funkce:</p> \[f: X \rightarrow X,\] <p>je topologicky tranzitivní, jestliže pro každé dvě otevřené množiny:</p> \[A, B \subset X\] <p>existuje přirozené \(n\) takové, že:</p> \[f^{n}(A) \cap B \neq \emptyset,\] <blockquote> <p><strong>Jeho periodické orbity musí být husté</strong></p> </blockquote> <p><strong>Orbita dynamického</strong> systému je část fázového prostoru systému, o které platí, že pokud se systém dostane do stavu, který náleží orbitě, potom všechny jeho další stavy do ní budou náležet také.</p> <p>Tranzitivita, husté periodické body a citlivost na počáteční podmínky můžeme rozšířit na libovolný metrický prostor. J.Banks a jeho kolegové dokázali, že v nastavení obecného metrického prostoru tranzitivita a husté periodické podmínky implikují citlivost na počáteční podmínky.</p> <h3 id="motýlí-efekt">Motýlí efekt</h3> <p>Termín motýlí efekt se vztahuje k citlivosti na počátečních podmínek chaotického systému. Jako první ho použil Edward Lorenz, při studiu atmosféry a pokusech o předpověď počasí. Při zadávání dat do počítače napsal hodnotu zaokrouhlenou na 0,506 místo 0,506127 a i přesto, že byla odchylka malá, vedla k velmi rozdílným výsledkům. Na základě těchto zjištění došel k závěru, že třeba pouhé mávnutí motýlích křídel může naprosto změnit počasí.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/motyli_efekt.jpg" alt="Motýlí efekt" /></p> <h3 id="atraktory">Atraktory</h3> <p>Vývoj dynamického systému se znázorňuje ve fázovém prostoru (diagramu). V takovém diagramu každá osa reprezentuje jednu dimenzi stavu. V průběhu vývoje systému lze ve fázovém prostoru pozorovat buď křivku, pokud je čas spojitý, nebo body, pokud je čas diskrétní. Mnohokrát je ve fázových diagramech vidět, že většina stavových trajektorií se přibližuje a omotává nějakou obecnou limitu. Atraktor dynamického systému je množina stavů, do kterých systém směřuje. Jinými slovy se jedná o množinu hodnot, kterých může nabývat stavový vektor dynamického systému po dostatečně dlouhém časovém úseku od počátečního impulsu, respektive od chvíle, kdy je systém inicializován.</p> <p>Atraktorem je jakákoliv množina bodů, která má zjevnou tendenci směřovat k stabilnímu stavu nebo se v něm trvale pohybovat. Jedná se tedy o popis systému, který směřuje do jednoho určitého stabilního stavu.</p> <p>Rozeznáváme několik typů atraktorů:</p> <ul> <li>pevné body</li> <li>periodické nebo kvaziperiodické</li> <li>chaotické</li> <li>podivné</li> </ul> <p>Nejjednodušším případem atraktoru dynamických systémů jsou pevné body. Systém se v nekonečném čase ustálí v nějakém stabilním stavu, který je možné dopředu vypočítat. Příkladem může být kulička v prohlubni, která se ustálí v nejnižším bodě.</p> <p>Pokud jsou atraktorem periodické nebo kvaziperiodické body, jedná se také o jednoduchý příklad. Dynamický systém osciluje mezi dvěma stavy. Může to být například obíhání vesmírné družice.</p> <p>Jestliže atraktor systému je chaotický, pak nelze vývoj daného systému předem předpovědět. Tento systém vykazuje citlivost vůči počátečním podmínkám. Takovým systémem může být např. kulička na vrcholu kopce. Nikdy nevíme, kterým směrem se bude kutálet dolů.</p> <p>Podivný atraktor je z hlediska teorie chaosu nejdůležitějším atraktorem. Chaotický pohyb vede k tomu, co je známé jako podivný traktor. Podivné atraktory vykazují velkou složitost a velkolepé detaily. Podivné atraktory se objevují jak ve spojitých dynamických systémech, jak je Lorenzův systém, tak i v některých diskrétních systémech, jako je Hénonovo zobrazení. Jiné diskrétní dynamické systémy mají odpuzující strukturu nazývanou Juliovy množiny, která tvoří hranici mezi oblastmi přitažlivosti pevných bodů. Juliovy množiny lze pokládat za podivné odpuzovače. Jak podivné atraktory, tak i Juliovy množiny mají typickou fraktální strukturu. Může vzniknout jen tehdy, je-li daný dynamický systém popsán nejméně třemi diferenciálními rovnicemi. Tento termín poprvé zavedl E. Lorenze a dosud není přesně matematicky definován. Obecně můžeme říci, že daný atraktor je podivný, pokud vykazuje stejné vlastnosti jako fraktály. Z tohoto tvrzení vyplývá, že každý podivný atraktor je fraktálem.</p> <h4 id="lorenzův-atraktor">Lorenzův atraktor</h4> <p>Jedná se o trojrozměrnou strukturu, kterou roku 1963 představil Edward N. Lorenz. Popisuje nelineární deterministický dynamický systém odvozený z vynuceného proudění v atmosféře. Je popsána třemi diferenciálními rovnicemi. Tato struktura je spojitá a nikde se neprotíná.</p> \[\begin{align} \frac{dx}{dt} &amp;= \delta (y -x),\notag \\ \frac{dy}{dt} &amp;= x( \rho - z) - y,\notag\\ \frac{dz}{dt} &amp;= xy - \beta z.\notag \end{align}\] <p><img src="/assets/images/chaos/lorenzuv_atraktor.webp" alt="Lorenzův atraktor" /></p> <h4 id="rösslerův-atraktor">Rösslerův atraktor</h4> <p>Rösslerův atraktor je uměle vytvořený systém, který generuje chaos na základě jednoduchých transformací. Jedná se o transformace stretch a fold ( = rozprostření a ohyb). Byl vytvořen roku 1976 a jeho základem je o třináct let starší Lorenzův atraktor. Je popsán třemi diferenciálními rovnicemi.</p> \[\begin{align} \frac{dx}{dt} &amp;= -y -z\notag\\ \frac{dy}{dt} &amp;= x + ay\notag\\ \frac{dz}{dt} &amp;= b + z (x-c)\notag \end{align}\] <p><img src="/assets/images/chaos/Rossler_atraktor.jpg" alt="Rosslerův atraktor" /></p> <h4 id="hénonův-atraktor">Hénonův atraktor</h4> <p>Hénonův atraktor je jeden z dvojdimenzionálních diskrétních atraktorů. Je založen na dvou rovnicích – jedné kvadratické, druhé lineární. Na začátku generování tohoto zobrazení jsou vykreslovány body, které spolu zdánlivě nesouvisejí.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/henonuv_atraktor.png" alt="Henonův atraktor" /></p> <h4 id="kings-dream">Kings Dream</h4> <p>Atraktory neslouží pouze k osvětlení matematických nebo fyzikálních vlastností, ale mohou mít také estetickou funkci. Jedním z nich je Kings Dream, který byl vytvořen čistě za estetickým účelem.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/kings_dream.png" alt="Kinga Dream" /></p> <h2 id="dimenze">Dimenze</h2> <h3 id="topologická-dimenze">Topologická dimenze</h3> <p>K tomu, abychom mohli definovat pojem fraktál, je nejprve nutné říct, co je to dimenze. Dimenze je počet vektorů báze daného prostoru, neboli počet souřadnic,které potřebujeme k jednoznačnému určení bodu v prostoru. Můžeme také říct, že je to počet rozměrů daného objektu.</p> <p>Například dimenze roviny je 2, potřebujeme dvě souřadnice k určení bodu. Dimenze krychle je 3, má tři rozměry: šířka, výška, hloubka. Je-li hodnota dimenze celočíselná, pak řekneme, že toto číslo je topologickou dimenzí daného objektu. Topologická dimenze popisuje geometricky hladké objekty.</p> <h3 id="fraktální-dimenze">Fraktální dimenze</h3> <p>Fraktální dimenze říká, jak moc je daný útvar členitý. Existuje několik typů fraktálních dimenzí:</p> <ul> <li>Hausdorffova dimenze</li> <li>mřížková dimenze (box-counting dimension)</li> <li>informační dimenze</li> <li>korelační dimenze</li> <li>Ljapunovova dimenze</li> <li>Kolmogorovova entropie (Measure – Theoretic, Kolmogorov – Sinai, KS entropy)</li> </ul> <h4 id="hausdorffova-dimenze">Hausdorffova dimenze</h4> <p>Tato dimenze je definována pouze pro soběpodobné struktury. Pro soběpodobné útvary platí, že pokud je pozorujeme při jakémkoli měřítku, vidíme stále se opakující charakteristický tvar. Příklad: úsečka, čtverec.</p> <h4 id="mřížková-dimenze">Mřížková dimenze</h4> <p>Mřížkovou dimenzi lze – na rozdíl od Hausdorffovy dimenze – určovat pro libovolný útvar. Pro ustanovení této dimenze je nutné objekt vložit do mřížky a spočítat počet neprázdných čtverců mřížky.</p> <p>Mylná představa je, že fraktály jsou perfektně soběpodobné útvary - např. Van Kochova vločka. Tyto útvary jsou úžasným příkladem, co fraktály jsou, ale sám Mandelbrot měl na mysli mnohem širší představu o fraktálech. A to ne jen aby představovaly krásné objekty, ale více pragmatickou představu a to tu, že popisují a ukazují objekty v přírodě a hlavně jejich členitost. Před Mandelbrotem existovalo pravidlo, že objekty jsou hladké, pokud zazoomujete dostatečně blízko - což Mandelbrotovi přišlo idealizované, protože takto zanedbávají detaily, na kterých záleží. Zpozoroval, že soběpodobné útvary dávají základ pro modelování pravidelnosti v některých formách členitosti. Opět ale představa, že fraktály jsou perfektně soběpodobné útvary, je příliš idealizovaná, protože jde proti jednomu ze základních principů fraktální geometrie. Opravdová definice fraktálu souvisí právě s fraktální dimenzí Pravdou je, že fraktální dimenze je vytvořený matematický koncept, ale ukazuje se, že to může být použitelný konstrukt k popisování světa a přírody.</p> <p>Nejprve se podíváme na tři objekty, které ani nejsou fraktály a poté si to ukážeme na Sierpinského trojúhelníku - viz přednáška.</p> <h2 id="fraktály">Fraktály</h2> <p>Za zakladatele fraktální geometrie je považován francouzský matematik Benoît Mandelbrot, který roku 1975 poprvé použil termín fraktál. Neexistuje žádná matematicky přesná definice pojmu fraktál. Nejblíže k tomu má asi původní Mandelbrotova definice: Fraktál je množina, jejíž Hausdorffova dimenze je větší než dimenze topologická. Tato definice říká, že fraktál je takový útvar, jehož dimenze je neceločíselná. Existují ovšem také výjimky, kdy za fraktály považujeme i útvary mající celočíselnou dimenzi. Fraktál lze také obecně definovat pomocí jeho vlastností: Fraktál je geometrický útvar, který lze rozdělit na části, přičemž tyto části jsou (alespoň přibližně) zmenšené kopie celého útvaru. Fraktál je soběpodobný a nezávislý na měřítku (invariace vůči měřítku). Další obecnou definicí založenou na vlastnostech fraktálů je: Fraktál je nekonečně členitý útvar.</p> <p>Fraktály se rozdělují do několika typů:</p> <ul> <li>L-systémy</li> <li>IFS (Iterated Fuction Systems)</li> <li>TEA (polynomické fraktály)</li> <li>náhodné fraktály</li> </ul> <h4 id="l-systémy-lindenmayerovy-systémy">L-systémy (Lindenmayerovy systémy)</h4> <p>L – systémy, také často nazývané fraktální křivky, byly poprvé použity v roce 1968 botanikem Aristidem Lindenmayerem k simulaci vývoje mnohobuněčných organismů. Jedná se o programovací jazyk, ve kterém je místo kurzoru želva (anglicky turtle), kterou uživatel ovládá pomocí základních příkazů. Těmito příkazy jsou pouze pohyb želvy vpřed, vzad, otáčení vlevo, vpravo a schování a vyjmutí ze zásobníku. Budeme je používat pro generování instrukcí pro kreslení, budeme pořád dokola přepisovat stringy a písmena rekurzivně Vždy obsahují abecedu, iniciátor a generátor (ukážu jak se definuje Cantorova množina pomocí stringů) Pomocí těchto fraktálů lze generovat útvary podobné rostlinám a jiným přírodním útvarům. Díky těmto vlastnostem jsou využívány v biologii, geologii a jiných přírodních vědách.</p> <h4 id="ifs-iterated-function-systems">IFS (Iterated Function Systems)</h4> <p>Systém iterovaných funkcí je matematická metoda k vytváření fraktálů. Takto vytvořené fraktály jsou vždy soběpodobné. Ačkoli ze své podstaty mohou mít IFS fraktály libovolnou dimenzi, obvykle se modelují jako 2D objekty. IFS byly poprvé představeny Johnem Hutchinsonem v roce 1981. Nejpoužívanější metoda při generování fraktálů použitím IFS se jmenuje chaotic game (chaotická hra).</p> <h4 id="tea-polynomické-fraktály">TEA (polynomické fraktály)</h4> <p>Jedná se o fraktály, které jsou popsané nějakou polynomickou funkcí; patří sem například Mandelbrotova množina a Juliovy množiny. Konstrukce těchto fraktálů je založena na mapování přitažlivosti pro různé oblasti nelineárního systému. Principem výpočtu je testování různých hodnot dosazováním do rovnice. Na tento výsledek opět aplikujeme stejné pravidlo. Polynomické fraktály jsou množiny komplexních čísel, pro které hodnoty funkce postupně konvergují ke konečné hodnotě. Přestože rovnice těchto fraktálů jsou často jednoduché, jejich výpočet je náročný, závislý na výpočetní síle a počtu iterací. Čím kvalitnější chceme výsledek, tím větší nároky klademe na výpočet. Výpočet nelze nijak urychlit, protože bez dosazení daného bodu do rovnice a provedení příslušného počtu iterací nelze rozhodnout, zda daný bod spadá do oblasti přitažlivosti.</p> <h5 id="juliovy-množiny">Juliovy množiny</h5> <p>Jejich autory jsou Gaston Julia a Pierre Fatou, kteří popsali jejich konstrukci roku 1918. Základem je rovnice: rovnice kde \(z\) a \(c\) jsou komplexní čísla, přičemž \(c\) je parametr charakterizující danou Juliovu množinu. Podle toho předpisu ověříme, jestli hodnota z nediverguje. Při praktickém výpočtu stačí, jestliže \(z &gt; 2\).</p> <p><img src="/assets/images/chaos/juliovy_mnoziny.png" alt="Juliovy množiny" /></p> <h5 id="mandelbrotova-množina">Mandelbrotova množina</h5> <p>První, kdo ji popsal, byl Pierre Fatou roku 1905. Díky složitosti výpočtů ji však nikdy neviděl. Až Mandelbrot, po němž je pojmenována, ji poprvé vykreslil. Mandelbrotova množina je jeden z nejznámějších fraktálů, respektive její okraj je fraktálem. Mandelbrotova množina je katalogem množin Juliových. Každému bodu Mandelbrotovy množiny odpovídá Juliova množina s parametrem daným souřadnicemi tohoto bodu. Je definována jako množina komplexních čísel \(\C\), pro které platí rekurzivní vzorec:</p> \[\begin{align} Z_1 &amp;= 0 \notag\\ Z_{n+1} &amp;= z_{n}^2 + c\notag \end{align}\] <p><img src="/assets/images/chaos/mandelbrotova_mnozina.png" alt="Mandelbrotova množina" /></p> <h4 id="náhodné-fraktály">Náhodné fraktály</h4> <p>Většina fraktálů je určitým způsobem symetrická a obrazce, jež tímto způsobem vzniknou, neodpovídají příliš reálným objektům, i když se jim často podobají. To je dáno tím, že se v živé přírodě nevyskytuje příliš souměrnost. Abychom dostali obrazy lépe odpovídající skutečnosti, je nutné obohatit generování fraktálů o určitý prvek náhody. Tato nahodilost bude mít vliv na tvar výsledného fraktálu i jeho Hausdorffovu dimenzi. Existuje několik způsobů, jak lze generovat náhodné fraktály:</p> <p>Pro generování náhody lze využít gaussovský generátor, či generátor bílého šumu.</p> <h3 id="logistická-funkce-a-bifurkační-diagram">Logistická funkce a bifurkační diagram</h3> <h4 id="logistická-funkce">Logistická funkce</h4> <p>Logistická funkce je dalším případem chaotického chování. Tato funkce popisuje růst nějaké množiny a při určitých parametrech může dojít k chaotickému chování. Logistická rovnice se uplatňuje v mnoha oblastech vědy jako je biologie (modelování růstu populace), ekonomie, fyzika, chemie, medicína (růst nádorů), statistika a pravděpodobnost, umělé neuronové sítě a další. Podle oboru, kde se používá, se může lišit její vyjádření. Chaotické chování lze nejlépe ukázat na biologické aplikaci této funkce. Užívá se zde ve tvaru:</p> \[x_{n+1} = rx_n(1-x_n)\] <p>Jev, kdy v systému při malé změně řídícího parametru dojde k náhlé a výrazné změně vnitřního stavu systému, nazýváme <strong>bifurkací</strong>. Pro studium tohoto jevu slouží <strong>bifurkační diagram</strong>, do kterého se na osu \(x\) vynáší hodnota řídícího parametru a na osu \(y\) hodnota vnitřního stavu.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/bifurkacni_diagram.jpg" alt="Bifurkační diagram" /></p> <h2 id="využití-teorie-chaosu-v-praxi">Využití teorie chaosu v praxi</h2> <h3 id="biologie">Biologie</h3> <h4 id="samoorganizace">Samoorganizace</h4> <p>Samoorganizaci lze definovat jako jev, kdy se samostatné jednotky začnou chovat jako celek. Samoorganizační schopnost souvisí s tou částí teorie chaosu, která zahrnuje kvantovou mechaniku. Tento celek pak může vykazovat chaotické chování, nebo vytvářet fraktální struktury.</p> <p>Příklady:</p> <ul> <li>kolektivní chování - hejna ptáků a ryb</li> <li>balení proteinů a jiných biomakromolekul (folding)</li> </ul> <p><img src="/assets/images/chaos/pohyb_ptaku.jpeg" alt="Hejna ptáků" /></p> <h4 id="modelování-populace">Modelování populace</h4> <p>Viz logistická funkce přednáška</p> <h4 id="kolonie-bakterií">Kolonie bakterií</h4> <p>Kolonie bakterií jsou při bližším pozorování ukázkou přírodních fraktálů a samoorganizace.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/kolonie_bakterii.jpg" alt="Kolonie bakterií" /></p> <h3 id="fyzika">Fyzika</h3> <h4 id="dvojité-kyvadlo">Dvojité kyvadlo</h4> <p>Dvojité kyvadlo je typickým příkladem chaotického systému. Složíme ho ze dvou jednoduchých kyvadel tak, že jejich konce volně spojíme, aby se mohla pohybovat. Pohyb dvojitého kyvadla je nutné popisovat diferenciálními rovnicemi a je velice citlivý na počáteční podmínky.</p> <p><img src="/assets/images/chaos/double-pendulum.png" alt="Dvojité kyvadlo" /></p> <h4 id="turbulence">Turbulence</h4> <p>Turbulence, svatý grál fyziky, se také někdy označuje jako problém s rodokmenem, protože tento jev zkoumali všichni slavní fyzikové. Slavný fyzik Werner Heisenberg, který studoval kvantovou teorii, prý na smrtelném loži řekl, že bude mít na Boha dvě otázky. Proč relativita a proč turbulence. A na to prohlásil:</p> <blockquote> <p>„Opravdu věřím, že na první otázku by mohl mít odpověď.“</p> </blockquote> <h4 id="kapající-kohoutek">Kapající kohoutek</h4> <h4 id="komprese-dat">Komprese dat</h4> <p>Komprese obrazu je založena na znalostech IFS fraktálů. Princip komprese spočívá v rozdělení obrazu na dva typy bloků. Prvním typem jsou range bloky, které se nepřekrývají, a druhým typem jsou domain bloky, které se mohou překrývat a jsou podobné range blokům.</p> <hr /> <h3 id="zdroje">Zdroje</h3> <p>Při vytváření tohoto článku jsem použila tyto zdroje:</p> <p>James Gleick <a href="https://www.databazeknih.cz/knihy/chaos-vznik-nove-vedy-69208">Chaos - vznik nové vědy</a><br /> Ian Stweard <a href="https://www.databazeknih.cz/knihy/hraje-buh-kostky-25116">Hraje Bůh kostky?</a><br /> Diplomová práce <a href="https://theses.cz/id/b32o2t/402740">Nelineární fyzika a teorie chaosu</a><br /> Diplomová práce <a href="https://digilib.k.utb.cz/bitstream/handle/10563/928/adamcov%C3%A1_2006_dp.pdf?sequence=1&amp;isAllowed=y">Synchronizace a komunikace pomocí deterministického chaosu v prostředí Mathematica</a><br /> Video od 3Blue1Brown <a href="https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4&amp;t=612s">Fractals are typically not self-similar</a><br /> Video od Veritasium <a href="https://www.youtube.com/watch?v=fDek6cYijxI&amp;t=33s">Chaos: The Science of the Butterfly effect</a><br /> Video od Veritasium <a href="https://www.youtube.com/watch?v=ovJcsL7vyrk&amp;t=563s">This equation will change how you see the world</a></p>