Pravděpodobnost a statistika

06 Mar 2023

Pravděpodobnost
Statistika

Pravděpodobnost

Náhodný pokus

Je to pokus, u kterého při dodržení předepsaných podmínek můžeme dostávat různé výsledky. Tyto výsledky jsme schopni předem výjmenovat, navzájem se vylučují a jeden z nich musí vždy nastat. Př. hod kostkou, mincí, ruleta apod.

$\Omega \ldots$ množina všech možných výsledků

Jev

Je to jakákoli podmnožina množiny všech výsledků $\Omega$ . Jev většinou popisujeme nějakou vlastností společnou prvkům této množiny.

Speciální případy jevů:
$\emptyset \ldots$ nemožný jev
$\Omega \ldots$ jistý jev
$\omega \ldots$ výsledek pokusu
$A, B \ldots$ jev

Jestliže $\omega \in A \ldots$ říkáme, že výsledek je příznivý jevu $A$
$A \subset B \ldots$ jev $A$ je podjevem $B$
$A \cap B \ldots$ průnik jevů $A, B$ . Je-li průnik neprázdný, jsou to jevy neslučitelné
Jev $A' \ldots$ nastává právě tehdy, když jev $B$ nenastává, jsou to jevy opačné

Opačné jevy

P(A') = 1 - P(A)

Pravděpodobnost

Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo vyjadřující očekávatelnost určitého jevu, obvykle výsledku náhodného pokusu. Je to číslo z intervalu $<0;1>$ . Každému výsledku z množiny $\Omega$ je jedno takové číslo přiřazeno. Jejich součet pro všechny možné výsledky je vždy $1$ .

Často se stává, že všechny výsledky jsou stejně možné, potom jejich pravděpodobnost je:

\frac{1}{n}

Při hodu kostkou je pravděpodobnost každého výsledku $\frac{1}{6}$

Pravděpodobnost jevu $A$ je potom součet pravděpodobností výsledků příznivých tomuto jevu.

Pokud jsou všechny výsledky náhodného pokusu stejně možné, potom pravděpodobnost jevu je rovna podílu počtu výsledků přítnivých tomuto jevu a počtu všech možných výsledků pokusu.

p(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Součet pravděpodobností

Vylučující se jevy
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem vylučujících se jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností:

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Jevy s neprázdným průnikem
Nechť jevy $A, B$ se navzájem nevylučují, tedy mají společný průnik:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Nezávislé jevy

Říkáme, že jevy $A, B$ jsou nezávislé, pokud platí:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Statistika

Zkoumá jevy, které mají hromadný charakter.

Statistický soubor

Je to množina prvků, které jsou předmětem statistického zkoumání. Každý prvek, který je součástí statistického souboru se nazývá statistická jednotka.

Statistický znak

“Vlastnost”, kterou sledujeme u jednotek statistického souboru se nazývá znak. U znaků sledujeme jejich hodnotu:

kvantitativní znak - určený číslem (výška, počet, cena,…)
kvalitativní znak - není daný číslem (jméno, povolání)

Rozdělení četnosti

zaměříme se na jediný znak $x$
jednotky označíme a očíslujeme: $x_1, x_2, \ldots ,x_n$
pro každou hodnotu $x_j$ zjišťujeme, kolikrát se vyskytla mezi jednotkami $1, 2, \ldots , n$ . Tomuto počtu $n_j$ se říká četnost hodnoty $x_j$ .

Relativní četnost

Udává, jaká část souboru má danou vlastnost. Součet všech četností musí být $1$ . Udává se v $\%$ .

Kvantitativní znaky

U hodnot znaků zjišťujeme (počítáme), jaké vlastnosti mají. Těmto vlastnostem říkáme charakteristiky.

Charakteristiky polohy

Je to poloha znaku na číselné ose. Např. Jaká je průměrná hodnota? Jaká hodnota nějčastěji vychází?

Aritmetický průměr

Je to součet všech hodnot znaku dělený počtem všech jednotek.

x_A = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1 + \ldots + x_n)

Geometrický průměr

Používá se, když nás zajímá tempo růstu - veličina se nechová “lineárně”, ale skáče násobně.

x_G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \ldots \cdot x_n}

Harmonický průměr

Používá se tam, kde hodnoty vznikají jako převrácená hodnota, př. společná práce

x_H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}

Modus a medián

Modus znaku $x$ je hodnota s nějvětší četností (ta, která se nejčastěji opakuje).
Medián je prostřední hodnota znaku, pokud hodnoty uspořádáme podle velikosti. Pokud je počet hodnot sudý, zprůměrujeme prostřední dve hodnoty.

Maximum (a minimum) je největší (nejmenší) hodnota, které znak nabývá.

Charakteristiky variability

Popisují velikost a způsob kolísání hodnot znaku kolem mediánu, průměru, atd.

Rozptyl

Pokud máme průmer, počítáme většinou rozptyl = jedná se o průměr druhých mocnin odchylek od aritmetického průměru.

s_{x}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_A)^2

Směrodatná odchylka

Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná odchylka = průměrná odchylka.

s_x = \sqrt{s_x^2}

Variační koeficient

Pokud chceme variabilitu vyjádřit bezrozměrně, použijeme variační koeficient

v_x = \frac{s_x}{x_A} \cdot 100 \%