Posloupnosti

22 Feb 2023

• Definice posloupnosti
• Způsoby zápisu posloupnosti
• Rekurentní vyjádření
  • Fibonacciho posloupnost
• Vlastnosti posloupností
• Matematická indukce
• Aritmetická posloupnost
  • Součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti
• Geometrická posloupnost
  • Součet prvních $n$ členů geometrické posloupnosti

---

Definice posloupnosti

Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel $\N$ nebo její část.

Každá funkce, jejímž definičním oborem je množina $\N$, se nazývá nekonečná posloupnost.
Každá funkce, jejíž definiční obor je množina všech přirozených čísel $n \leq n_0$, kde $n_0$ je pevně dané číslo z $\N$, se nazývá konečná posloupnost.

U posloupností nehovoříme o hodnotě funkce v bodě $n$, ale o $n$-tém členu posloupnosti.

Způsoby zápisu posloupnosti

1. Vzorcem, pro $n$-tý člen
   • značení mírně odlišné od funkcí: $(a_n)_{n=1}^\infty$
2. Výpisem prvních několika členů: $a_n: -4, -2, -4, -2, \ldots$

Rekurentní vyjádření

Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Součástí každého rekurentního vzorce musí být zadání prvního, případně několika prvních členů posloupnosti. Nevýhodou zadání pomocí rekurentního vzorce je to, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, pokud známe členy předcházející.

Př.:

$$\begin{aligned} a_{1} &= 4\\ a_{n + 1} &= a_n + 3 \end{aligned}$$

Fibonacciho posloupnost

Fibonacciho posloupnost je nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, $\ldots$, kde každé číslo je součtem dvou předchozích. Rekurentní vyjádření tedy je:

$$\begin{aligned} a_{1} &= 1\\ a_{2} &= 1\\ a_{n+2} &= a_{n+1} + a_{n} \end{aligned}$$

Vlastnosti posloupností

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá rostoucí, právě tehdy když pro všechna $r, s \in \N$ platí: Je-li $r < s$, pak $a_r < a_s$ (neboli $a_n < a_{n+1}$).
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá klesající, právě tehdy když pro všechna $r, s \in \N$ platí: Je-li $r < s$, pak $a_r > a_s$ (neboli $a_n > a_{n+1}$).

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá neklesající, právě tehdy když pro všechna $r, s \in \N$ platí: Je-li $r < s$, pak $a_r \leq a_s$.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá nerostoucí, právě tehdy když pro všechna $r, s \in \N$ platí: Je-li $r < s$, pak $a_r \geq a_s$.

Posloupnosti, které jsou nerostoucí nebo neklesající, se nazývají monotónní posloupnosti.

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá shora omezená, právě když existuje reálné číslo $h$ takové, že pro všechna $n \in \N$ je $a_n \leq h$.
Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá nerostoucí, právě když existuje reálné číslo $d$ takové, že pro všechna $n \in \N$ je $a_n \geq d$.

Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Matematická indukce

Matematická indukce je typ důkazu, který se používá pro tvrzení týkající se přirozených čísel. Věty typu:

Pro všechna přirozená čísla $n$ platí $V(n)$

Přitom $V(n)$ vyjadřuje nějakou vlastnost přirozených čísel, která je vyjádřena rovnicí nebo nerovnicí apod.

Důkaz matematickou indukcí se skládá ze dvou částí :

1. Dokážeme, že $V(n)$ platí pro $n = 1$
2. Pro každé přirozené číslo $k$ dokážeme: Jestliže platí $V(k)$, pak platí $V(k + 1)$.

Aritmetická posloupnost

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo $d$, že pro každé přirozené číslo $n$ je

$$a_{n+1} = a_n + d$$

Číslo $d$ se nazývá diference aritmetické posloupnosti.

V aritmetické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s diferencí $d$ platí pro každé $n \in \N$

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

V aritmetické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s diferencí $d$ platí pro všechna $r, s \in \N$

$$a_s = a_r + (s-r)d$$

Součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti

Pro součet $s_n$ prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$, tj. pro $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$, platí:

$$s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Geometrická posloupnost

Posloupnost $(a_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá geometrická, právě když existuje takové číslo $q$, že pro každé přirozené číslo $n$ je

$$a_{n+1} = a_n \cdot q$$

Číslo $q$ se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.

V geometrické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s kvocientem $q \ne 0$ platí pro každé $n \in \N$

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

V geometrické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s kvocientem $q \ne 0$ platí pro všechna $r, s \in \N$

$$a_s = a_r \cdot q^{s-r}$$

Součet prvních $n$ členů geometrické posloupnosti

Pro součet $s_n$ prvních $n$ členů geometrické posloupnosti $(a_n)_{n=1}^\infty$ s kvocientem $q$ platí:

a) je-li $q = 1$, pak

$$s_n = a_1 \cdot n$$

b) je-li $q \ne 1$, pak

$$s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

---