Základní poznatky z matematiky

13 Feb 2023

• Číselné obory, výrazy
  • Číselné obory
    • Obor přirozených čísel $\N$
    • Obor celých čísel $\Z$
    • Obor racionálních čísel $\Q$
    • Obor reálných čísel $\R$
    • Absolutní hodnota reálného čísla
  • Výrazy
    • Výrazy - vzorce
• Výroky, množiny, základní typy důkazů
  • Výroky
    • Konjunkce
    • Disjunkce
    • Implikace
    • Ekvivalence
    • Tautologie a kontradikce
  • Kvantifikátory
  • Množiny
    • Rovnost množin
    • Intervaly
  • Definice, matematické věty, hypotézy, axiomy, důkazy
    • Matematické věty
    • Důkazy vět elementárního výroku
    • Důkaz vět, které mají tvar implikace
    • Důkaz vět, které mají tvar ekvivalence

---

Číselné obory, výrazy

Číselné obory

Jsou-li v množině čísel určitého druhu definovány operace sčítání a násobení, mluvíme o číselném oboru.

Obor přirozených čísel $\N$

Přirozená čísla slouží k vyjádření počtu osob, zvířat, předmětů apod. Dovedeme je jmenovat, zapisovat a znázorňovat na číselné ose. Rozlišujeme významy slov číslice (cifra) a číslo. Číslice jsou grafické znaky.

Základní operace s přirozenými čísly jsou sčítání a násobení.

Pro každá tři přitozená čísla $a$, $b$, $c$ platí:

• Věta o uzavřenosti oboru vzhledem ke sčítání a násobení (součtem i součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo): $a + b$ , $a \cdot b$
• Věta o asociativnosti sčítání a násobení (činitele při součtu/násobení můžeme libovolně sdružovat): $a + (b + c) = (a + b) + c$, $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
• Věta o komutativnosti sčítání a násobení (pořadí činitelů můžeme zaměnit): $a + b = b + a$, $a\cdot b = b \cdot a$
• Věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání (vynásobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme číslem každého sčítance): $a(b + c) = ab + ac$
• Věta o neutrálnosti čísla $1$ vzhledem k násobení: $1 \cdot a = a$

Ostatní operace v oboru přirozených čísel můžeme definovat takto:

Rozdíl $a - b$ dvou přirozených čísel $a, b$ je to přirozené číslo $x$, pro které platí $a = b + x$ Podíl $a \div b$ dvou přirozených čísel $a, b$ je to přirozené číslo $x$, pro které platí $a = b \cdot x$

Obor celých čísel $\Z$

Pro celá čísla platí stejné věty jako pro přirozená čísla, jsou však rozšířeny o další dve:

• jedna vyjadřuje uzavřenost oboru celých čísel vzhledem k odčítání: $a - b$ je celé číslo
• druhá vyjadřuje neutrálnost $O$ vzhledem k sčítání celých čísel: $0 + a = a$

Ke každému celému číslu $a$ existuje takové číslo $(-a)$, že platí $a+(-a) = 0$. Čísla $a, (-a)$ se nazývají čísla navzájem opačná.

Obor racionálních čísel $\Q$

Množina $Q$ věech racionálních čísel obsahuje právě ta čísla, jež lze vyjádřit ve tvaru zlomku $p/q$, kde $p$ je celé číslo a $q$ je přirozené číslo.

Tento zápis však není jednoznačný; každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku nekonečně mnoha způsoby krácením či rozšiřováním daného zlomku. Mezi všemi těmito vyjádřeními existuje jediné, které má tu vlastnost, že čísla $p, q$ jsou nesoudělná (jejich společným dělitelem je jenom číslo jedna). O takovém zlomku říkáme, že je vyjádřen v základním tvaru.

Základní věty, které platí pro operace s racionálními čísly jsou obdobné jako u přirozených čísel.

Při dělení $a \div b$, $b \neq 0$

Racionální čísla můžeme zapisovat ve tvaru:

• zlomku
• desetinného čísla
• nekonečného periodického rozvoje s vyznačenou periodou

Obor reálných čísel $\R$

Reálnými čísly nazýváme čísla, která vyjadřují délky úseček (při zvolené jednotkové úsečce), čísla k nim opačná a nulu. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla.

Množinu všech reálných čísel tvoří čísla racionální a čísla iracionální.

Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem, který je nekonečný a neperiodický.

Pro operace s reálnými čísly platí stejné věty jako pro operace s racionálními čísly. Jednou z důležitých vlastností množiny reálných čísel je to, že je to množina uspořádaná.

Absolutní hodnota reálného čísla

Absolutní hodnotu $|a|$ reálného čísla $a$ definujeme takto:

Je-li $a \geq 0$, pak $|a| = a$,
je-li $a \leq 0$, pak $|a| = -a$.

To znamená, že absolutní hodnota nezáporného čísla $a$ je rovna číslu $a$, absolutní hodnota záporného čísla $a$ je rovna opačnému číslu $-a$, přitom $-a$ je kladné číslo. Tedy pro každé reálné číslo $a$ platí $|a| \geq 0$.

Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku.

Tato vlastnost se zpravidla nazývá geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla $a$. Z uvedené vlastnosti vyplývá:

1. Pro všechna reálná čísla $a$ je $|a| \geq 0$, protože vzdálenost je vždy nezáporné číslo.
2. Pro všechna reálná čísla $a$ platí $|a| = |-a|$, neboť opačné číslo $-a$ má od počátku stejnou vzdálenost jako číslo $a$.

Vzdálenost obrazů reálných čísel $a,b$ na číselné ose je rovna $|a-b|$, resp. $|b-a|$.

Výrazy

Algebraický výraz je tvořen z konstant a proměnných, které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Výrazy - vzorce

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ $$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Výroky, množiny, základní typy důkazů

Výroky

Výroky jsou oznamovací věty, kterými se srozumitelně vyjadřuje něco, co může být jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Značíme je malými písmeny.

Negace výroku v je výrok “Není pravda, že $v$”. Zřejmě platí:

• je-li výrok $v$ pravdivý, je výrok $\neg v$ nepravdivý
• je-li výrok $v$ nepravdivý, je výrok $\neg v$ pravdivý

Každý výrok může mít jednu z pravdivostních hodnot: PRAVDA (1, p), NEPRAVDA(1, p).

Výroky, ve kterých je číselný údaj vyjádřen slovy aspoň, resp. nejvýše:

Řekneme-li, že nějaká množina má aspoň $k$ prvků, znamená to, že počet jejích prvků je větší nebo roven číslu $k$.

Řekneme-li, že nějaká množina má nejvýše $k$ prvků, znamená to, že počet jejích prvků je menší nebo roven číslu $k$.

Konjunkce

Konjunkce libovolných výroků $a$, $b$ je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou “A”.

$$a \land b$$

Negace konjuknce dvou výroků je disjunkce negací $\neg a \lor \neg b$.

Konjunkce libovolných výroků $a$, $b$ je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky $a$, $b$.

Disjunkce

Disjunkce libovolných výroků $a$, $b$ vznikne spojením těchto výroků spojkou “NEBO”.

$$a \lor b$$

Negace disjunkce dvou výroků je konjunkce negací $\neg a \land \neg b$.

Disjunkce výroků $a$, $b$ je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků $a$, $b$.

Implikace

Implikace výroků $a$, $b$ je výrok, který vznikne spojením obratem “JESTLIŽE, PAK”.

$$a \implies b$$

Negace implikace dvou výroků je konjunkce výroku $a$ a negace výroku $b$ $a \land \neg b$.

Implikace je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky $a$, $b$ nebo když je výrok $a$ nepravdivý a výrok $b$ jakýkoli.

Z pravdivosti implikace $a \implies b$ nevyplývá pravdivost obrácené implikace $b \implies a$.

Implikace $a \implies b$ a obměněná implikace $b' \implies a'$ jsou ekvivalentní.

Ekvivalence

Ekvivalence výroku a, b vznikne přidáním slovního spojení “PRÁVĚ TEHDY KDYŽ”.

Ekvivalence libovolných výroků $a$, $b$ je konjunkce implikace $a \implies b$ a obrácené implikace $b \implies a$, tj. výrok $(a \implies b) \land (b \implies a)$.

$$a \leftrightarrow b$$

Negace ekvivalence dvou výroků je buď $\neg a \leftrightarrow b$ nebo $a \leftrightarrow \neg b$.

Ekvivalence je pravdivá pouze tehdy, když výroky $a$, $b$ jsou oba pravdivé neb oba nepravdivé.

Tautologie a kontradikce

Tautologie nastává, pokud je výrok vždy pravdivý. Kontradikce nastává, pokud výrok není nikdy pravdivý.

Kvantifikátory

Kvantifikátory slouží k vymezení prvků s nějakou vlastností. Po použití kvantifikátoru vznikají kvantifikované výroky.

1. Obecný kvantifikátor
   • říká, že daná vlastnost platí pro všechny prvky
   • značí se $\forall$
   • $\forall$ $n$ $\in N$: pro každé přirozené $n$ platí
   • negace: pro každý prvek platí $\rightarrow$ existuje jeden prvek, pro který neplatí…
   • Každá kočka je černá $\rightarrow$ Existuje alespoň jedna kočka, který není černá.
2. Existenční kvantifikátor
   • říká, že existuje alespoň jeden prvek s danou vlastností
   • značí se $\exists$
   • $\exists$ $x$ $\in R$: existuje alespoň jedno reálné číslo…
   • negace: existuje prvek, pro který platí $\rightarrow$ pro každý prvek neplatí…
   • Alespoň jeden má kalkulačku. $\rightarrow$ Nikdo nemá kalkulačku.

Množiny

Množinou rozumíme souhrn nějakých objektů (předmětů), které nazýváme prvky uvedené množiny. K vyjádření skutečnosti, že $x$ je prvkem množiny $A$, používáme zápis $x \in A$; $x$ není prvkem množiny zapisujeme $x \notin A$.

Množinu zapisujeme:

1. Výčtem prvků
   • nezáleží na pořadí prvků a každý z těchto prvků musí být ve výčtu zastoupen právě jednu

$$A = \{1, 2, 3,..\}$$

1. Uvedením charakteristické vlastnosti prvků množiny
   • Uvedeme takovou vlastnost, kterou mají všechny prvky množiny a kromě této množiny žádný jiný prvek tuto vlastnost nemá

$$A = \{x \in N; x \leq 3\}$$

Množina, která neobsahuje žádný prvek se nazývá prázdná množina a značí se $\emptyset$. B je podmnožinou A (zapisujeme $B\subset A$) právě tehdy, když každý prvek množiny B je zároveň prvkem množiny A. Každá množina je vždy o sobě sama podmnožinou $\emptyset \subset A$.

Rovnost množin

Množiny A, B se rovnají (zapisujeme $A = B$) právě tehdy, když každý prvek množiny A je prvkem množiny B a zároveň každý prvek množiny B je prvkem množiny A.

V případě, že množina $B$ je podmnožinou množiny $A$, zavádíme dále pojem doplněk množiny $B$ v množině $A$ (zapisujeme $B'$) a to jako množinu všech prvků z $A$, které nepatří do $B$.

Průnik množin $A, B$ (zapisujeme $A \cap B$ ) definujeme jak množinu všech prvků, které zároveň patří do obou množin.

Sjednocení množin $A, B$ (zapisujeme $A \cup B$ ) definujeme jako množinu všech prvků, které patří aspoň do jedné z množin $A, B$.

Rozdíl množin $A, B$ (zapisujeme $A \setminus B$ ) definujeme jako množinu všech prvků množiny $A$, které nejsou prvky množiny $B$.

Intervaly

Jsou to množiny zobrazené úsečkou, polopřímkou nebo přímkou na číselné ose. Krajní body k ní mohou ale nemusí patřit.

Intervaly mohou být:

• omezené - dají se na číselné ose znázornit úsečkou, dále je rozdělujeme na:
  • uzavřené - krajní body patří do množiny intervalu
  • otevřené - krajní body nepatří do množiny intervalu
  • polouzavřené - jen jeden krajní bod patří do množiny intervalu
• neomezené - zavádíme znak $\infty$, “jdou do nekonečna”

Definice, matematické věty, hypotézy, axiomy, důkazy

Definice je vymezení matematického pojmu pomocí pojmů základních nebo pojmů dříve definovaných.

Matematická věta je výrok, jehož pravdivost je dokázána.

Hypotéza je výrok, o němž nevíme, zda je pravdivý.

Axiomy jsou tvrzení, která se přijímají za pravdivá bez důkazů.

Důkaz je úvaha, která zdůvodňuje platnost matematické věty. Je to postup, jak z hypotézy udělat matematickou větu.

Matematické věty

V matematice jsou nejčastěji tyto typy matematických vět:

1. Věty, které mají tvar elementárního výroku, např.:

   druhá odmocnina ze dvou je číslo iracionální.

2. Věty, které mají tvar implikace, např.:

   rozmístíme-li do deseti přihrádek jedenáct předmětů, pak aspoň v jedné přihrádce jsou aspoň dva předměty.

3. Věty, které mají tvar ekvivalence, např.:

   počet prvočísel je nekonečný právě tehdy, když neexistuje největší prvočíslo.

Důkazy vět elementárního výroku

K důkazu těchto vět se obvykle používá přímý důkaz nebo důkaz sporem.

Přímý důkaz je založen na této vlastnosti implikace: Platí-li výrok $a$ a implikace $a \implies b$, platí i výrok $b$.

Důkaz sporem je založen na této vlastnosti implikace: Platí-li implikace $a \implies b$ a neplatí-li výrok $b$, neplatí ani výrok $a$.

Důkaz vět, které mají tvar implikace

K důkazu těchto vět se používá důkaz přímý, důkaz sporem a důkaz nepřímý.

Nepřímý důkaz věty $a \implies b$ spočívá v tom, že dokážeme obměněnou implikaci $\neg b \implies \neg a$, která je s implikací $a \implies b$ ekvivalentní.

Důkaz vět, které mají tvar ekvivalence

Platnost věty typu $a \leftrightarrow b$ se nejčastěji dokazuje tak, že se dokážou implikace $a \implies b$ a implikace $b \implies a$.

---