Planimetrie

05 Feb 2023

• Rovinné útvary
  • Základní geometrické pojmy
    • Bod
    • Přímka
    • Polopřímka
    • Úsečka
    • Úhel
    • Dvojice úhlů
    • Konvexní útvar
  • Trojúhelníky
    • Vlastnosti trojúhelníku
    • Shodnost trojúhelníků
    • Podobnost trojúhelníků
  • Čtyřúhelníky
  • Kružnice, kruh
  • Euklidovy věty
    • Euklidova věta o výšce
    • Euklidova věta o odvěsně
  • Pythagorova věta
• Konstrukční úlohy
  • Množina bodů dané vlastnosti
  • Konstrukce trojúhelníků
  • Konstrukce čtyřúhelníků
• Zobrazení v rovině
  • Shodné zobrazení
    • Osová souměrnost
    • Středová souměrnost
    • Posunutí
    • Otočení
  • Podobné zobrazení
    • Stejnolehlost

---

Rovinné útvary

Základní geometrické pojmy, bod a přímka, vznikaly abstrakcí z hmotných objektů. Název geometrie znamenal původně zeměměřictví. Nyní je geometrie chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických objektů. Planimetrie studuje geometrické útvary v rovině.

Základní geometrické pojmy

V některých učebnicích se uvádí jako základní geometrické pojmy bod, přímka, rovina, popř. i sám prostor. Mezi základní útvary se někdy zahrnují i kružnice, trojúhelník a čtverec.

Bod

Bod je bezrozměrný základní geometrický útvar. Dle Euklidovských Základů je bod něco, co nemá části, nelze jej dále dělit. Všechny geometrické útvary jsou definovány jako množina bodů. Zpravidla nekonečně velká (pouze samotný bod je jednoprvková množina). Za bod lze považovat také úsečku nulové délky.

Přímka

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Speciální případ přímky je osa. Přímku lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Dvě různoběžné přímky - různoběžky - mohou mít nejvýš jeden společný bod, průsečík. Je-li $P$ průsečík různoběžek $a,b$, píšeme $a \cap b = \{ P \}$, příp. $P \in a \cap b$.

Daným bodem $A$ lze vést k dané přímce $p$ jedinou rovnoběžku.

Jsou-li dány dvě různé přímky $a,b$ a přímka $p$, která je protíná v různých bodech $A,B$, říkáme, že jsou přímky $a,b$ proťaty příčkou $p$. Příčka je název pro úsečky nebo přímky, které mají specifickou polohu k jednomu či několika útvarům.

Jestliže jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou $p$ přímek $a,b$ jsou úhly shodné, pak přímky $a,b$ jsou rovnoběžné.

Každým bodem $A$ lze vést k dané přímce $p$ jedinou kolmici $k$. Je-li $a \bot b$ a $a \bot c$, pak je $b \| c$.

Polopřímka

Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a je jejich společným počátkem.

Úsečka

Úsečku $AB$ tvoří všechny body přímky $AB$, které leží mezi body $A$, $B$ a body $A$, $B$.

Úhel

Dvě různé polopřímky VA, VB dělí rovinu na dva úhly $AVB$. Polopřímky VA, VB se nazývají ramena, bod V vrchol obou úhlů.

Pravý úhel je takový úhel, který je shodný se svým úhlem vedlejším.

Dvojice úhlů

Nejsou-li polopřímky VA, VB opačné, je jeden úhel $AVB$ průnikem polorovin $VAB$, $VBA$ a nazývá se konvexní úhel $AVB$, značíme $AVB$. Druhý úhel $AVB$ vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám $VAB$, $VBA$ a nazývá se nekonvexní úhel $AVB$, značíme $AVB$.

Konvexní útvar

Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka, spojující kterékoli dva body útvaru, je částí tohoto útvaru.

Trojúhelníky

Tři různé body $A$, $B$, $C$, které neleží v přímce, určují trojúhelník $ABC$.

Body $A$, $B$, $C$ jsou vrcholy trojúhelníku $ABC$, úsečky $AB$, $BC$, $AC$ jsou strany trojúhelníku $ABC$, konvexní úhly $BAC$, $ABC$, $BCA$ vnitřní úhly trojúhelníku.

Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky:

• různostranné neboli obecné, v nichž žádné dvě strany nejsou shodné
• rovnoramenné, které mají dvě strany (ramena) shodné, třetí strana se nazývá základna. Zvláštním případem rovnoramenných trojúhelníků jsou trojúhelníky rovnostranné, které mají všechny strany shodné

Podle velikosti vnitřních úhlů dělíme trojúhelníky na:

• ostroúhlé se všemi ostrými úhly
• tupoúhlé s jedním tupým úhlem
• pravoúhlé s jedním pravým úhlem

Součet vnitřních úhlů je úhel přímý

Vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.

Vlastnosti trojúhelníku

Trojúhelníková nerovnost:
Pro každé tři body $A$, $B$, $C$ platí trojúhelníková nerovnost $\lvert AB \rvert < \lvert AC \rvert + \lvert BC \rvert$, rovnost nastane, právě když bod $C$ leží na úsečce $AB$. V každém trojúhelníku platí:

• Součet každých dvou stran trojúhelníku je vetší než strana třetí.
• V trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana.

Střední příčka trojúhelníku je úsečka, spojující středy dvou stran trojúhelníku.

Každá střední příčka trojúhelníki je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje. Její délka je rovna polovině délky této strany.

Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku, se nazývá výška trojúhelníku. Označujeme je obvykle $v_a, v_b, v_c$.

Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě $O$, tzv. průsečíku výšek, kterému se také říká ortocentrum.

Těžnice trojúhelníku je úsečka, spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protější strany. Označujeme je obvykle $t_a, t_b, t_c$.

Těžniče trojúhelníku se protínají v jednom bodě zvaném těžiště trojúhelníku. Značíme $T$. Vzdálenost těžiště od vrcholu trojúhelníku je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice.

Každému trojúhelníku můžeme opsat i vepsat kružnici. Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku, obvykle ji označujeme $r$. Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku, obvykle ji označujeme $\rho$.

Osy stran trojúhelníku se protínají v jednom bodě, a to ve středu kružnice trojúhelníku opsané. Osy vnitřních úhlů trojúhelníků se protínají v jednom bodě, a to středu kružnice trojúhelníku vepsané.

Shodnost trojúhelníků

Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí. Shodnost trojúhelníků $\bigtriangleup ABC, \bigtriangleup A'B'C'$ zapisujeme $\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup A'B'C'$.

Říkáme tím, že při přemístění přejde bod $A$ do bodu $A'$, bod $B$ do bodu $B'$ a bod $C$ do bodu $C'$. Body $A,A'$ jsou k sobě příslušné, stejně tak $B,B'$ a $C,C'$.

Shodnost trojúhelníků zpravidla nezjišťujeme pomocí přemišťování. Stačí, přesvědčíme-li se o shodnosti některých stran a úhlů.

Platí:

• Věta sss: Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech stranách, jsou shodné.
• Věta usu: Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých této straně, jsou shodné.
• Věta sus: Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
  (známe ze základní školy)

Existuje však ještě jedno tvrzení o shodných trojúhelnících:

• Věta ssu: Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich.

Podobnost trojúhelníků

Pro každé dvě úsečky $AB, CD$ můžeme stanovit kladné číslo $k$, pro které platí $k = |AB| \div |CD|$ neboli $|AB| = k \cdot |CD|$. Číslo $k$ se nazývá poměr úseček $AB, CD$.

Definice podobnosti trojúhelníků:
Trojúhelník $A', B', C'$ je podobný trojúhelníku $ABC$, jestliže existuje kladné číslo $k$ tak, že pro jejich strany platí:

$$|A'B'| = k \cdot |AB|, |B'C'| = k \cdot |BC|, |C'A'| = k \cdot |CA|,$$

neboli

$$c' = k \cdot c, a'= k \cdot a, b' = k \cdot b$$

Číslo $k$ se nazývá poměr podobnosti trojúhelníků $ABC, A'B'C'$. Je-li $k > 1$, nazývá se podobnost zvětšení, je-li $k < 1$, jde o zmenšení. Je-li $k=1$, jsou oba trojúhelníky shodné. Podobnost trojúhelníků zapisujeme $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup A'B'C'$.

O podobnosti trojúhelníků lze rozhodnout nejen pomocí délek stran, ale i pomocí velikostí úhlů, a to podle vět $uu$ a $sus$:

• Věta $uu$: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech. V podobných trojúhelnících jsou všechny odpovídající si úhly shodné.
• Věta $sus$: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech.

Čtyřúhelníky

$n$-úhelník, kde $n = 4$, se nazývá čtyřúhelník.

Čtyřúhelníky můžeme rozdělit do tří skupin: různoběžníky, lichoběžníky, rovnoběžníky.

1. Různoběžník je čtyřúhelník, jehož žádné dvě strany nejsou rovnoběžné.
2. Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné a zbývající dvě strany nejsou rovnoběžné. Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající dvě ramena. O lichoběžníku víme:
   • Jeho základny nejsou shodné, ramena mohou být shodná. Lichoběžník, jehož ramena jsou shodná, nazýváme rovnoramenný lichoběžník
   • Jen jedno rameno může být kolmé k základně. Pak je toto rameno kolmé i k druhé základně. Lichoběžník, jehož jedno rameno je kolmé k základně, nazýváme pravoúhlý lichoběžník.
   • Součet vnitřních úhlů při každém rameni lichoběžníku je úhel přímý. Střední příčka lichoběžníku je úsečka, spojující středy jeho ramen. Platí:
     • Střední příčka lichoběžníku je rovnoběžná s oběma základnami. Její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen.
3. Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. Podle velikostí úhlů můžeme rovnoběžníky dělit na pravoúhlé (obdélník a jeho speciílní případ čtverec), kosoúhlé (kosodélník a jeho speciální případ kosočtverec) a různostranné (obdélník, kosodélník). Základní vlastnosti rovnoběžníku jsou:
   • Protější strany rovnoběžníku jsou shodné.
   • Protější vnitřní úhly rovnoběžníku jsou shodné.
   • Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí; jejich společný bod je středem rovnoběžníku

Čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici, se nazývá tětivový - jeho strany jsou tětivami opsané kružnice.

• Součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý.

Čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový - jeho strany jsou tečnami vepsané kružnice.

• Součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníku jsou si rovny.

Čtyřúhelník, kterému lze opsat i vepsat kružnici, se nazývá dvojstředový.

Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou k sobě kolmé a jedna z nich (hlavní) prochází středem druhé (vedlejší). Je to tečnový čtyřúhelník.

Kružnice, kruh

Definice kružnice:

Je dán bod $S$ a kladné číslo $r$. Kružnice $k(S;r)$ je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu $S$ vzdálenost $r$.

Bod $S$ se nazývá střed kružnice, číslo $r$ je poloměr kružnice. Množina všech bodů (roviny), které mají od bodu $S$ vzdálenost menší nebo rovnu $r$ se nazývá kruh $K(S;r)$. Bod $S$ je střed kruhu, číslo $r$ je poloměr kruhu.

Úsečka $AB$, kde $A, B$ jsou dva různé body kružnice, se nazývá tětiva kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice:

• Přímka, jejíž dva body leží na kružnici, je její sečna, společné body $A, B$ jsou průsečíky.
• Přímka, která má s kružnicí jediný společný bod $T$, je její tečna, společný bod je bod dotyku.
• Přímka, která nemá s kružnicí žádný společný bod, je její vnější přímka.

Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu $AB$ je středem tětivy $AB$.
Tečna kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice.
Vzájemnou polohu přimky a kružnice charakterizuje také vzdálenost středu kružnice a přímky.

Vzájemná poloha dvou kružnic:

• Dvě kružnice, které mají společný střed, nazýváme soustředné, nemají buď žádný společný bod nebo jsou totožné.
• Pokud jsou kružnice nesoustředné, leží bu vně druhé, nebo mají vnější dotyk, nebo se protínají ve dvou bodech.

Euklidovy věty

Euklidovy věty byly odvozeny na základě podobnosti trojúhelníků

Euklidova věta o výšce

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků přepony.

$$v^2 = c_a \cdot c_b$$

Euklidova věta o odvěsně

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku.

$$a^2 = c \cdot c_a$$

Pythagorova věta

Pythagorova věta je bezprostředním důsledkem Euklidových vět.

V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnin délek obou odvěsen

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Konstrukční úlohy

Nejpoužívanější metodou řešení planimetrických konstrukčních úloh je metoda množin všech bodů dané vlastnosti, poté se používá také metoda algebraická a metoda geometrických zobrazení.

Množina bodů dané vlastnosti

Kružnice $k(S;r)$ je množina všech bodů, které mají od bodu $S$ vzdálenost $r$

Množina $M$ všech bodů roviny $\rho$, které mají danou vlastnost, je množina bodů, pro kterou současně platí:

1. Každý bod množiny $M$ má danou vlastnost.
2. Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny $M$.

Konstrukce trojúhelníků

Trojúhelník je zpravidla určen třemi vhodně zvolenými prvky. K určovacím prvkům počítáme jeho strany, úhly, výšky, těžnice, poloměry opsané a vepsané kružnice.

Konstrukce čtyřúhelníků

Při konstrukci čtyřúhelníků jde obvykle o konstrukci trojúhelníků, na které je čtyřúhelník rozdělen úhlopříčkami. K určovacím prvkům čtyřúhelníku patří jeho strany, úhly, úhlopříčky, úhel úhlopříček, výšky, poloměry opsané a vepsané.

Zobrazení v rovině

Zobrazení $Z$ v rovině je předpis, který každému bodu $X$ roviny přiřazuje právě jeden bod $X'$ roviny. Bod $X$ se nazývá vzor, bod $X'$ jeho obraz; zapisujeme $Z: X \rightarrow X'$

Body $X$, pro jejichž obrazy platí $X' = X$, se nazývají samodružné body zobrazení. Zobrazení, ve kterém je každý bod samodružný, se nazývá identita.

Shodné zobrazení

Zobrazení (v rovině) je shodné zobrazení, shodnost, jestliže obrazem úsečky $AB$ je úsečka $A'B'$.

Příklad s průsvitkou: Jestliže je třeba přemisťování obracet průsvitku, jde o nepřímou shodnost, neobrátíme-li průsvitku, jde o shodnost přímou.

Osová souměrnost

Je dána přímka $o$. Osová souměrnost s osou $o$ je shodné zobrazení $O(o)$, které přiřazuje:

1. každému bodu $X \notin o$ bod $X'$ tak, že přímka $XX'$ je kolmá k přímce $o$ a střed úsečky $XX'$ leží na přímce $o$.
2. každému bodu $Y \in o$ bod $Y = Y'$

Středová souměrnost

Je dán bod $S$. Středová souměrnost se středem $S$ je shodné zobrazení $S(S)$, které přiřazuje:

1. každému bodu $X \neq S$ bod $X'$ tak, že bod $S$ je středem úsečky $XX'$,
2. bodu $S$ bod $S' = S$.

Posunutí

Je dána orientovaná úsečka $AB$. Posunutí (translace) je shodné zobrazení $T(AB)$, které každému bodu $X$ přiřadí bod $X'$ tak, že orientované úsečky $XX'$ a $AB$ mají stejnou délku a jsou souhlasně orientované.

Otočení

Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je $\varphi$, a bod $S$. Otočení (rotace) je shodné zobrazení $R(S, \varphi)$, které přiřazuje:

1. každému bodu $X \neq S$ bod $X'$ tak, že $\lvert X'S \rvert = \lvert XS \rvert$ a orientovaný úhel $XSX'$ má velikost $\varphi$
2. bodu $S$ bod $S'=S$

Podobné zobrazení

Podobné zobrazení nebo také podobnost je geometrické zobrazení (v rovině), pro které existuje kladné číslo $k$ tak, že pro každé dvě dvojice bodů $A, A'$ a $B, B'$ vzoru a obrazu je splněn vztah $\lvert A'B' \rvert = k \cdot \lvert AB \rvert$.

Číslo $k$ se nazývá poměr podobnosti

Stejnolehlost

Je dán bod $S$ a reálné číslo $K (K \neq 0)$. Stejnolehlost (homotetie) se středem $S$ a koeficientem $K$ je zobrazení $H(S,K)$, které přiřazuje:

1. každému bodu $X \neq S$ bod $X'$ tak, že platí $\lvert SX' \rvert = \lvert K \rvert \cdot \lvert SX \rvert$; přitom pro $K > 0$ leží bod $X'$ na polopřímce $SX$, pro $K<0$ je bod $X'$ bodem polopřímky opačné k polopřímce $SX$
2. bodu $S$ bod $S' = S$

---